基于MMC拓?fù)鋬?yōu)化方法的開洞深梁拉壓桿模型研究

喬文正，陳國榮

(1.呂梁學(xué)院建筑系，山西 呂梁 033000；2.河海大學(xué)力學(xué)與材料學(xué)院，江蘇 南京 211100）

1 引言

為了建立一種結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化和CAD的直接聯(lián)系，2014年大連理工大學(xué)郭旭教授提出了一種顯式的結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化方法，即基于可移動變形組件(moving morphable components，簡稱 MMC)拓?fù)鋬?yōu)化方法[1]。該方法采用由具有顯式幾何參數(shù)的、能夠在設(shè)計(jì)空間中自由移動并變形的組件作為描述結(jié)構(gòu)拓?fù)涞幕驹兀ㄟ^這些組件的移動、膨脹、收縮、交叉和重疊來實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)的拓?fù)涞淖兓渲薪M件的重疊和隱藏機(jī)制是實(shí)現(xiàn)拓?fù)渥兓年P(guān)鍵所在；2016年郭旭教授又進(jìn)一步發(fā)展了與可移動可變形組件相對偶的、采用可變形孔洞作為設(shè)計(jì)基元的可變形孔洞法[2](moving morphable voids，簡稱MMV)。該方法采用B-樣條函數(shù)來描述結(jié)構(gòu)中的孔洞的邊界形狀，結(jié)構(gòu)的優(yōu)化的變量為孔洞的顯式的幾何參數(shù)。顯式框架的拓?fù)涿枋龇椒ㄒ唤?jīng)提出，迅速得到了國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注。關(guān)于拓?fù)鋬?yōu)化的研究進(jìn)展，詳見文獻(xiàn)[3]。

拉壓桿模型(strut-and-tie models，簡稱STM)將混凝土梁的力學(xué)行為簡化為一個理想化的鉸接桁架，提供了一個靜力允許的荷載傳遞路徑。STM特別適用于混凝土結(jié)構(gòu)中D區(qū)域的設(shè)計(jì)。STM的理論基礎(chǔ)最早可追溯到連續(xù)體結(jié)構(gòu)的極限分析[4]。根據(jù)極限分析的下限理論，STM是一個僅滿足構(gòu)件和結(jié)點(diǎn)平衡和屈服條件的安全的下限解。

在實(shí)際工程中，深梁由于使用功能的原因，經(jīng)常需要開洞。開洞深梁不僅是一類典型的D區(qū)域，還具有較復(fù)雜的應(yīng)力分布。開洞深梁的拉壓桿模型研究具有重要的理論和實(shí)際意義。關(guān)于開洞深梁的拉壓桿模型的研究，學(xué)者采用了多種不同的方法，如荷載路徑法[5,6]、基于性能的漸近結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法[7,8]、固體各向同性材料懲罰方法[9]和基于試驗(yàn)的方法。文獻(xiàn)[10]首次采用基于MMC的拓?fù)鋬?yōu)化方法產(chǎn)生拉壓桿模型，將顯式的思想引入到拉壓桿模型中，獲得了成功。但對于開洞的復(fù)雜構(gòu)件還未開展相應(yīng)的研究。相比于傳統(tǒng)的拓?fù)鋬?yōu)化方法，MMC的優(yōu)化方法克服了諸如鋸齒的邊界、網(wǎng)格依賴性和棋盤格現(xiàn)象等數(shù)值困難，而且設(shè)計(jì)變量數(shù)大為減少，提高了優(yōu)化求解效率。

通過開洞深梁算例，采用基于MMC的拓?fù)鋬?yōu)化方法產(chǎn)生可靠的STM。基于圖像處理技術(shù)，提出一種自動的提取方法實(shí)現(xiàn)從拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果到STM的自然過渡，盡可能地減少人為干預(yù)。

2 可移動變形拓?fù)鋬?yōu)化方法

2.1 結(jié)構(gòu)的拓?fù)涿枋龊瘮?shù)

在MMC的拓?fù)鋬?yōu)化中，結(jié)構(gòu)的拓?fù)涿枋龊瘮?shù)xs（x）可由下式表達(dá)：

和構(gòu)件拓?fù)涿枋龊瘮?shù)xi（x）為：

式中：Ωs和?Ωs是 nc個組件所占的區(qū)域的內(nèi)部和邊界，Ωs為設(shè)計(jì)域D0的一個子域；Ωi和?Ωi分別是第i個組件區(qū)域的內(nèi)部和邊界。

若采用直線型骨架厚度二次變化的組件形式（見圖1），從而可得到xi（x）的具體表達(dá)式如下：

圖1 直線骨架型組件簡圖

式中：x和y分別為整體坐標(biāo)系中設(shè)計(jì)域內(nèi)點(diǎn)的橫和縱坐標(biāo)；x'為局部坐標(biāo)系中設(shè)計(jì)域內(nèi)點(diǎn)的橫坐標(biāo)；x0i和y0i分別為整體坐標(biāo)系中第i個組件的中心點(diǎn)橫和縱坐標(biāo)；Li和θi分別為第i個組件的半長軸和傾斜角(從x軸正方向逆時針旋轉(zhuǎn)）；p為超橢圓表達(dá)式中的參數(shù)，此處取6。

總之，在MMC的拓?fù)鋬?yōu)化中，結(jié)構(gòu)的拓?fù)淇梢杂靡粋€設(shè)計(jì)向量來唯一地確定，其中 di=（x0i，y0i，Li，h1，h2，h3，θi）T。

2.2 問題的列式

一般來說，用求解體積約束下柔度最小化的拓?fù)鋬?yōu)化問題來間接地獲得混凝土拉壓桿模型。

式中：C和V分別是優(yōu)化問題的柔度目標(biāo)函數(shù)和體積約束函數(shù)；ε（·）表示線性應(yīng)變張量，E表示組件的彈性張量。F和T分別表示組件的體力和Neumann邊界上的面力；u和v分別是在域上的位移場和定義在域，且為允許域子域的相應(yīng)的試函數(shù)；是Dirichlet邊界上的給定的位移；V0和分別是設(shè)計(jì)域體積和給定的體積百分比上限；ud是設(shè)計(jì)變量d的容許集。E和μ分別是混凝土材料的彈性模量和泊松比。為了簡化，此處取=0。

2.3 數(shù)值實(shí)現(xiàn)

2.3.1 有限單元分析

采用虛擬材料模型來實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化，材料的虛擬彈性模量為：

式中：ω是一個控制正則化大小的參數(shù)；α是一個較小的正數(shù)，其目的是確保整體剛度矩陣的非奇異性，通常取α=0.001。因此，式（6）中的目標(biāo)函數(shù)、等式和不等式約束函數(shù)可進(jìn)一步表示為：

2.3.2 設(shè)計(jì)靈敏度

基于梯度的最優(yōu)化算法中，需求目標(biāo)和約束函數(shù)對設(shè)計(jì)變量的導(dǎo)數(shù)，即為靈敏度分析。用a表示任意一個設(shè)計(jì)變量，則目標(biāo)和約束函數(shù)的靈敏度分別為：

式中：ke和K分別為單元和整體剛度矩陣；ue為單元位移列向量；NE為有限單元總數(shù)。

3 從拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果到拉壓桿模型

3.1 概述

從拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果到拉壓桿模型的提取過程，最重要的是要保留他們之間的拓?fù)湟恢滦浴Ｊ艿轿墨I(xiàn)[11,12]的啟發(fā)，采用一種自動的提取過程實(shí)現(xiàn)從拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果到拉壓桿模型的自然過渡。該方法的本質(zhì)是一種基于像素的圖像處理技術(shù)，該過程主要分兩個階段：細(xì)化階段和提取階段。圖2為提取方法的流程。

圖2 提取方法流程

3.2 細(xì)化階段

在細(xì)化階段，拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果的彩色圖像首先被轉(zhuǎn)換成灰度圖，然后再轉(zhuǎn)換黑白二值圖像。運(yùn)用圖像處理的細(xì)化算法[13]，可以從黑白二值圖像中生成具有單像素寬度的骨架曲線。該細(xì)化算法的基本思想是迭代地刪除位于邊緣的像素，直到在不改變拓?fù)涞那疤嵯拢瑳]有多余的像素可以被刪除，從而生成具有單像素寬度的骨架曲線。

3.3 提取階段

在提取階段，首先是檢測可能的結(jié)點(diǎn)，形成候選結(jié)點(diǎn)（用藍(lán)色方形點(diǎn)表示）圖；其次去除多余的結(jié)點(diǎn)，形成最終結(jié)點(diǎn)(用綠色圓形點(diǎn)表示）圖；最后確定各結(jié)點(diǎn)的連接關(guān)系，形成拉壓桿模型圖，從而完成提取階段的工作。

4 數(shù)值算例

采用基于MMC的拓?fù)鋬?yōu)化方法，首先對開洞深梁進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化，從而獲得最優(yōu)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)；其次實(shí)現(xiàn)從拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果到STM的自動提取。

基于MMC的拓?fù)鋬?yōu)化采用MATLAB拓?fù)鋬?yōu)化代碼[14]，最小化算法采用著名的移動漸近線法[15]。圖3為開洞深梁計(jì)算簡圖。

圖3 開洞深梁

有限單元分析中，混凝土彈性模量采用30088 MPa，泊松比采用0.15，采用平面四邊形等參單元，單元邊長均為100 mm，單元總數(shù)為3300個。深梁厚度為100 mm，體積百分比上限取0.35。

圖4為開洞深梁拓?fù)鋬?yōu)化過程。在MMC的優(yōu)化過程中，采用36個組件，設(shè)計(jì)變量數(shù)為252個。隨著迭代次數(shù)的增加，這些組件通過移動、膨脹、收縮、相交和重疊來實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)拓?fù)涞淖兓罱K達(dá)到收斂要求。經(jīng)過342次迭代，最小柔度目標(biāo)函數(shù)值為45.59 kJ，最優(yōu)拓?fù)湟妶D4(d）。相比較于傳統(tǒng)的隱式的拓?fù)鋬?yōu)化方法，一方面克服了一些傳統(tǒng)的數(shù)值問題，如網(wǎng)格的依賴性、鋸齒的邊界、灰度單元的存在和棋盤格現(xiàn)象等。另一方面，相比于傳統(tǒng)的優(yōu)化方法，設(shè)計(jì)變量數(shù)從3300減少到252個，與優(yōu)化相關(guān)的求解效率會大幅提高。圖5為目標(biāo)和約束函數(shù)收斂過程曲線。

圖6為拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果的黑白二值圖像和對應(yīng)的骨架曲線，圖7為候選結(jié)點(diǎn)圖和由最終結(jié)點(diǎn)產(chǎn)生的拉壓桿模型圖。關(guān)于算法實(shí)現(xiàn)的細(xì)節(jié)詳見文獻(xiàn)[11]。圖7中紅色圓點(diǎn)表示的結(jié)點(diǎn)為荷載作用和簡支支座的位置。需要指出的是，大部分的直接生成的拉壓桿模型并不能直接使用，有時需要進(jìn)行人為的微小改動來使得拉或壓桿與邊界平行或垂直，有時甚至需要添加適當(dāng)?shù)臈U件形成幾何不變體系。鑒于這種改動因人而異，此處并沒有給出改動后的拉壓桿模型圖。

圖4 開洞深梁拓?fù)鋬?yōu)化過程

圖5 收斂過程曲線

圖6 最優(yōu)拓?fù)涞暮诎锥祱D像和骨架曲線

圖7 候選結(jié)點(diǎn)圖和由最終結(jié)點(diǎn)產(chǎn)生的拉壓桿模型圖

5 結(jié)論

將MMC的拓?fù)鋬?yōu)化方法與混凝土拉壓桿模型相結(jié)合，重點(diǎn)研究了開洞深梁的拉壓桿模型。借助圖形處理技術(shù)，采用一種自動提取方法實(shí)現(xiàn)了從拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果到STM的自然過渡。通過開洞深梁算例，得出以下結(jié)論：

①基于MMC的拓?fù)鋬?yōu)化方法可以可靠且高效地產(chǎn)生開洞深梁的拉壓桿模型；

②不但避免了灰度單元、網(wǎng)格依賴性和鋸齒的邊界等數(shù)值困難，而且優(yōu)化求解效率更高；

③基于圖像處理技術(shù)，實(shí)現(xiàn)了從拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果到STM的自動化提取，盡可能減小了人為因素的影響。