中學數(shù)學教學中反例的作用

韋玉球 任北上 李智群

[摘 要] 反例在中學數(shù)學教學中具有較大的作用，文章介紹了反例的重要性，以及在教學中構造反例的原則和方法。通過論述反例在教學中的作用，指出合理運用反例可加深學生對數(shù)學概念的理解，幫助學生發(fā)現(xiàn)問題，很好地培養(yǎng)和訓練學生的思維能力等，并給出了運用反例的同時也需要注意的兩個問題。

[關鍵詞] 思維能力;反例;應用

[基金項目] 2018年廣西高等教育本科教改項目（2018JGB372）;2018年度廣州華軟軟件學院科學研究、教育教學研究項目（KY201805）;2019年廣州大學華軟軟件學院“質量工程”建設項目（SPGKK201901）

[作者簡介] 韋玉球（1981—），女，廣西都安人，研究生，副教授，研究方向為數(shù)學教育及課堂有效教學;李智群（通信作者）。

[中圖分類號] G633.6 ? ?[文獻標識碼] A ? ?[文章編號] 1674-9324（2020）43-0303-04 ? ?[收稿日期] 2020-03-17

一、引言

在數(shù)學的發(fā)展史中，反例的應用占有及其重要的地位[1]。新課標的改革也提出了在中學數(shù)學教學中應用反例教學的要求也越來越高。數(shù)學反例是指一個數(shù)學命題在滿足已知條件情況下不成立的具體例子。在中學階段，數(shù)學知識的應用是鍛煉中學生抽象邏輯思維的關鍵，在現(xiàn)實的學習和實踐中常常有這樣一個經驗：當對一個問題苦思冥想卻難以解決時，可以從另一個方面切入，它往往是取得了成功的驚喜[2]。數(shù)學學習過程是不斷發(fā)現(xiàn)問題并且解決問題的過程，有時候學生解決數(shù)學問題時因考慮不周全而容易出錯，可以通過構建適當?shù)姆蠢寣W生對知識產生非常深刻的理解，而且依靠實證和反例能突出知識的真實性和嚴謹性。在數(shù)學系統(tǒng)研究中，常常會總結出一系列結論，當結論錯誤或者不成立時，巧用反例就可以被推翻[3]。在這個階段，學生的思維能力還處于逐步形成過程，思考問題還不夠全面，學習思維不夠活躍難免會出現(xiàn)錯誤的判斷。反例在教學上的作用可以讓學生發(fā)現(xiàn)錯誤并且及時糾正錯誤，達成積極探索真理、把握數(shù)學知識科學性的目標?；谛抡n改要求，重視反例教學，經過對反例在中學數(shù)學教學的作用的進行研究，推廣反例在中學數(shù)學課堂上的廣泛使用。

二、反例的概念及其教學功能

反例，簡言之就是選擇一個滿足已知條件的例子來說明該命題的結論不成立[4]。在中學階段，反例通常用于判斷命題的真假性，學生在數(shù)學問題解決中辨別真假數(shù)學命題時，短時間內無法根據原命題定義進行驗證，可以通過應用反例來說明。

（一）深化概念教學的有效手段

數(shù)學概念在中學數(shù)學中屬于核心內容。數(shù)學概念教學是一項艱巨的教學任務，這就要求教師在繁重的教學工作中能夠靈活改變教學方式，采用不同的教學方法來引導學生學習，使學生能夠在理解的基礎上加強識記數(shù)學概念，通過不斷的應用進一步加深對數(shù)學概念的理解并且能夠用確切的、簡潔的語言來敘述數(shù)學概念。數(shù)學概念具備一定的抽象性，只從字面上的含義和正面舉例說明還不足以能夠讓學生正確地理解數(shù)學概念，還需要換不同教學方式或通過舉出反例來加深學生對數(shù)學概念的理解并掌握。由于中學生目前的認知水平和思維能力還不能很明確地觀察出概念的本質特征。所以在講授數(shù)學概念時，教師要善于運用典型的反例指出學生在理解數(shù)學概念時常常會出現(xiàn)的易錯點，促進學生深刻理解相關數(shù)學概念的本質特征。讓學生動腦思考，從正、反兩個方面比較和驗證形成的數(shù)學概念，找出對數(shù)學概念理解不足的地方，強化對概念的深度理解。總而言之，反例在課堂上的合理應用有助于學生更加精確地理解和把握概念，掌握概念的實質[5]。

在函數(shù)概念學習過程中，教師在課堂上讓學生驗證兩個相應集合間的關系是否構成函數(shù)，要善于引導學生應用反例進行驗證，看學生是否能準確掌握函數(shù)概念。如果是函數(shù)則必須嚴格符合定義，若不構成函數(shù)關系，可引導學生舉出反例來進行說明，如集合A中某元素在集合B中無相對應的項或者有多個元素與之對應，說明這兩個集合不構成函數(shù)關系。經過舉反例這個過程，學生就能夠更好理解函數(shù)的概念。

（二）反例是鑒別假命題的常用工具

在數(shù)學命題的教學中，教會學生掌握正確判斷命題真假的方法很重要。數(shù)學命題一般由兩個部分構成：條件和結論。換句話說，如果滿足命題中對應的條件，就會得到某些相應結論。在中學階段，學生的思維能力還不夠完善，在分析命題時往往會忽略句子中某個關鍵詞的適用范圍，只是單單記住結論，這不利于學生鑒別命題的真與假。教師在教學過程中，善于引導學生借助反例這個正確判斷命題真與假的有效工具。

在教學過程中，讓學生判斷命題“兩個連續(xù)函數(shù)之積是連續(xù)函數(shù)，那么它的逆命題也一定成立”是真命題還是假命題。遇到這樣一個命題學生很難從正面判斷它的真假性，這時就可以通過舉反例來說明。例如：

易證明f（x），g（x）在區(qū)間（-∞，+∞）內處處不連續(xù)，這就說明了兩個連續(xù)函數(shù)之積是連續(xù)函數(shù)的逆命題一定成立是假命題。這樣一個反例教學過程就可以準確判斷該命題是假命題，所以在數(shù)學課堂中引入反例教學，能提高學生辨析命題真假性的能力[6]，還能增強學生解題思路的靈活性和判斷命題真假的準確性。

（三）反例是糾正錯誤的有效方法

三、在中學數(shù)學教學中反例的構造原則和構造方法

（一）構造原則

構建一個反例就是給出一個具體例子，這個例子可以說明命題不成立。在中學數(shù)學教學中構造反例應當遵循兩個基本原則：（1）構造的例子必須符合命題的條件;（2）結論與命題結論相反，即否定性原則。此外，構建的反例可以是簡單和直接的，能夠準確解釋問題，避免復雜性，或解釋問題不明確[8]。

（二）構造方法

1.特例構造法。特殊和一般屬于一種對偶關系，它們彼此相對卻又相互依存。可以利用兩者之間的相關度構造反例，用特殊的例子或者證明來否定一般結論，這種方式叫做反例的特例構造法[9]，在反例的構造中持有很重的比例。

例1.無理數(shù)的無理數(shù)次冪還是無理數(shù)，這個命題是否成立？

分析：初看這個問題，很多學生無從下手，通過構造特例可以判斷該命題是否成立。

2.性質構造法。性質構造就是根據反例本身性質特征，按一定的數(shù)學知識技能進行反例構造。

例2.判斷周期函數(shù)是否一定有最小正周期。

學生從正面理解有一定的困難，此時教師可以引導學生構造反例。

如判斷f（x）=1，x是有理數(shù)-1，x是無理數(shù)是否存在最小正周期？

設T為任意有理數(shù)，當x為有理數(shù)時，x+T也為有理數(shù)，x為無理數(shù)時，x+T也為無理數(shù)。則有f（x+T）=1，x+T是有理數(shù)-1，x+T是無理數(shù)

即：f（x）=f（x）+T，則f（x）以任意有理數(shù)T為周期，但有理數(shù)中不存在最小正有理數(shù)，所以f（x）最小正周期不存在[5]31。

3.直觀構造法。直觀構造法也可看作是形象構造法，主要針對的是幾何方面的數(shù)學問題或數(shù)形結合問題，它是在聯(lián)系問題的幾何圖形基礎上，結合圖形的特征構造的反例[10]。

四、反例在中學數(shù)學教學中的作用

（一）可以加深學生對數(shù)學概念的理解

數(shù)學概念是數(shù)學最基本的知識，只有掌握好數(shù)學概念，才能在后續(xù)數(shù)學學習路上走得更加順暢。概念本身具備著高度的科學性、嚴謹性和抽象性，在教學過程中教師要讓學生明白數(shù)學概念是如何形成的，將數(shù)學概念的形成過程放在首位[11]，引導學生從不同角度用不同的方法來辨析數(shù)學概念，適當發(fā)揮反例的作用，幫助學生從不同方位鞏固相關數(shù)學概念，從而深化對數(shù)學概念的理解。

函數(shù)單調性的概念屬于抽象性數(shù)學概念，如果教師在授課過程中只是按照教材內容單純向學生灌輸函數(shù)單調性的概念，卻不注重概念的形成過程，學生就無法理解這樣形式化的概念是如何形成的。學生最終將無法做到真正理解函數(shù)單調性的概念，在解題中容易就會出現(xiàn)混亂，也會對今后的函數(shù)學習中產生影響。必要時，教師可以通過具體的反例來幫助學生加深對函數(shù)單調性概念的理解。在正、反例對比中明確函數(shù)單調性概念的本質特征。

五、在中學數(shù)學教學中使用反例應注意的問題

（一）注意使用反例的時機

在數(shù)學教學過程中合理使用反例教學的一個前提是學生對所學的知識有一定的理解和掌握程度，在學生能夠靈活掌握正例的基礎上，才能正確地展示反例。才能更好地開展教學活動。教師在教學過程中使用反例把握好時機，能夠有針對性地幫助學生解決數(shù)學問題，注意引入反例的合理性，使其用在關鍵之處[14]。

首先，學生學習比較難掌握的數(shù)學概念時，常常會因為概念太抽象而辨析不清造成在解題時容易出現(xiàn)錯誤，此時教師在教學活動中巧妙使用反例可以使概念特征簡單化，更能讓學生容易理解。因而在恰當?shù)臅r機使用反例可以讓學生減少出錯的概率，提升學生解題的能力，從而提高學生的學習效率。

其次，學生在思考數(shù)學問題時，常常認為自己的解題思路是非常正確的，苦思冥想也難以發(fā)現(xiàn)其中錯誤。此時，教師就應該抓住教育時機，引導學生用一個簡單的反例來發(fā)現(xiàn)錯誤。如在學習因式分解后，學生知道m(xù)（a+b）=ma+mb，那么學生可能就會理所當然認為m÷（a+b）=ma+mb也是正確的，這時候可以應用簡單的反例來進行解釋說明，當m=36，a=3，b=9時，顯然m÷（a+b）≠m÷a+m÷b。恰當?shù)囊敕蠢M行教學能讓學生及時發(fā)現(xiàn)錯誤，從而對所學的數(shù)學知識更加印象深刻。

（二）注意使用反例的程度

使用反例教學不是盲目追求反例能快速解決數(shù)學問題，而是在施教過程中可以選擇簡單的反例來加深學生對知識的理解。學生的思維方式存在差異性，對知識的接受能力不同，教師在教學中強調反例，可能會給學生帶來心理壓力。而且教師在教學過程中，總是強調使用反例，學生會產生知識錯亂，遇到實際問題時不知道是該采用什么方法來解決問題比較好。如果學生無法構造反例時，就會片面覺得自己得出結論都是錯的，也會讓學生覺得構造反例是一個困難又復雜的過程，從而不愿意將反例應用到解決問題中。所以掌握好使用反例的程度，才會取得理想的效果。

六、結束語

在新課標的背景下反例的重要性更加突出，在數(shù)學教學課堂中合理的反例應用是幫助學生解決數(shù)學難題強有力的工具。目前，中學數(shù)學教師在數(shù)學課堂上使用反例教學頻率不高，使用反例的作用來組織教學的意識程度并不強。教師不常利用反例開展教學是因為教師對反例的作用理解不到位以及學生構建反例有一定的困難，有時候反例的使用會使學生更難以理解相關的數(shù)學知識。教師在使用反例時必須考慮學生已有的知識水平程度和數(shù)學思維建構體系，才能很好地運用反例。建議教師在教學過程中結合實際設計多種多樣的反例融入課堂教學活動，這樣不僅能在教學活動中提升教學效果和教學水平，還能培養(yǎng)學生使用反例的意識以及數(shù)學理解能力。

參考文獻

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