數(shù)形結(jié)合重設(shè)計，學(xué)力提升增效益

李佳

摘要：為有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)質(zhì)量，促進學(xué)生盡早形成發(fā)展性學(xué)習(xí)思路，教師可嘗試以形輔數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生進行整體性學(xué)習(xí)，以數(shù)助形，助力學(xué)生進行實踐性學(xué)習(xí)，讓學(xué)生自覺地從知識結(jié)構(gòu)化、整體化視角出發(fā)，利用數(shù)形結(jié)合，更清晰地去解決數(shù)學(xué)問題，最終養(yǎng)成數(shù)形結(jié)合的思維模式。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合;整體性;實踐性;發(fā)展性

浙教版七上教材教學(xué)建議中明確指出，借助數(shù)軸讓學(xué)生經(jīng)歷有理數(shù)乘法法則的發(fā)生過程。由此，筆者從七上“2.3.1有理數(shù)的乘法”有效情境的創(chuàng)設(shè)中得出思考：（1）結(jié)合學(xué)生小學(xué)所學(xué)“數(shù)的乘法”，不難得出3×2=3+3=6，繼而利用數(shù)軸得出“乘法就是求相同數(shù)的和”這一結(jié)論：

（2）通過3×2=6可以推理出（-3）×2=（-3）+（-3）=-6，

在數(shù)軸上應(yīng)表示為：? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，

數(shù)擴充到有理數(shù)后，一方面，（-3）×2可以看成是兩個-3的和;另一方面，單從負(fù)號表示的意思來看，它就是3×2這個整體數(shù)式的相反數(shù)。（3）啟發(fā)學(xué)生通過比較3×2=6與（-3）×2=-6兩式，尤其需要注意左邊乘數(shù)符號的變化引起右邊結(jié)果的變化，從而悟出“改變相乘兩數(shù)中一個乘數(shù)的符號時，其積就變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)”。（4）在（3）的結(jié)論下，通過比較3×（-2）與3×2兩式，猜想它們的結(jié)果有怎樣的關(guān)系。（5）最后在（3）（4）的基礎(chǔ)上，學(xué)生通過比較得出

（-3）×（-2）與3×（-2）兩式結(jié)果之間的關(guān)系，從而歸納出乘法法則。這就是借助數(shù)軸，讓學(xué)生理解原來基礎(chǔ)上數(shù)的負(fù)號即為原數(shù)方向的反方向，讓學(xué)生考量數(shù)軸的實際意義，正確認(rèn)識“正負(fù)”即表示一對意義相反的量。

一、“數(shù)軸”概念的引入

眾所周知，數(shù)擴充到有理數(shù)后，二者最大的區(qū)別就是出現(xiàn)了負(fù)數(shù)，而詮釋負(fù)數(shù)最好的工具是數(shù)軸。數(shù)軸在規(guī)定了原點和正方向以后，就對數(shù)做了定性的分類，原點右邊的數(shù)為正數(shù)，原點左邊的數(shù)為負(fù)數(shù)，這正是進一步學(xué)習(xí)不等式邊界值取值范圍題型中經(jīng)常用到的“簡易數(shù)軸”。在給數(shù)軸定性的基礎(chǔ)上，我們同時進行定量的學(xué)習(xí)，再給數(shù)軸加上第三要素——單位長度，數(shù)軸的三要素就齊了。數(shù)軸由無數(shù)個點組成，對于每一個有理數(shù)，在數(shù)軸上都能找到唯一確定的點和它一一對應(yīng)，而有理數(shù)的學(xué)習(xí)，可以通過它們在數(shù)軸上點的位置來刻畫（實數(shù)亦是如此），由此，學(xué)生對抽象知識的學(xué)習(xí)有了形的直觀，并且力求讓學(xué)生在知識的理解、掌握和運用上時刻不忘它的形（數(shù)軸上的點），具象化相關(guān)數(shù)學(xué)問題，以數(shù)形結(jié)合的方式更好地理解所學(xué)知識。另外，數(shù)軸也是檢驗學(xué)生是否真正理解、掌握相關(guān)數(shù)學(xué)知識的一個有效手段。

除簡易數(shù)軸外，直角坐標(biāo)系更是實現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的有效途徑。笛卡爾發(fā)明的直角坐標(biāo)系是經(jīng)緯網(wǎng)確定物體位置局部的一個縮影，能有效提高將圖形量化的可能性，將圖形和數(shù)對有機結(jié)合起來，成功實現(xiàn)從一維到二維的轉(zhuǎn)變。直角坐標(biāo)系里的每個點都對應(yīng)一個數(shù)對 ，這極其有利于學(xué)生數(shù)形思維的形成。其實，無論是數(shù)軸上點與數(shù)的對應(yīng)，還是直角坐標(biāo)系里點與數(shù)對的對應(yīng)，都是數(shù)形結(jié)合的有機體現(xiàn)。

二、整體觀念的思考

筆者從運算之間的聯(lián)系進行思考，發(fā)現(xiàn)加、減、乘、除、乘方、開方之間的關(guān)系非常緊密，可以說每種運算里都有加法的影子，其中乘法是相同加數(shù)的和，可以把它看作特殊的加法。一旦認(rèn)識到乘法其實是加法的簡便計算，在有理數(shù)乘法運算法則的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生已經(jīng)借助數(shù)軸成功得出“兩個正數(shù)相乘就是求兩個對應(yīng)相同正數(shù)和”的結(jié)論，繼而從“負(fù)號”所表示的實際意義即為“相反”出發(fā)，讓學(xué)生領(lǐng)悟“-3”中的負(fù)號僅表示“下降”的意思，即為向數(shù)軸原點的左邊移動。同時，讓學(xué)生借助生活中具有相反意義的量，如“向右和向左”“盈利和虧損”“收入和支出”等來理解負(fù)數(shù)，明確一旦規(guī)定正方向，負(fù)數(shù)就出現(xiàn)了。

從初一“數(shù)的認(rèn)識”開始，無論是“有理數(shù)”“有理數(shù)的運算”乃至“實數(shù)”，每節(jié)課的學(xué)習(xí)里面都有一個共同的載體，那就是數(shù)軸。像相反數(shù)、絕對值的概念，里面都有數(shù)軸的影子。

數(shù)軸規(guī)定往右為正，往左為負(fù)，這樣分類討論的思想也就有了。對于學(xué)生來說，分類討論并不陌生。比如，小學(xué)典型的分類討論：分母相同，比分子;分子相同，比分母。再如，“絕對值等于5的數(shù)”，絕對值是一個正數(shù)，答案有2個;絕對值等于0，答案有1個;絕對值等于負(fù)數(shù)，無解。這與將在之后學(xué)習(xí)中遇到的“平方根”“一元二次方程”“二次函數(shù)圖象與x軸交點個數(shù)”頗為類似，“2個解”“1個解”“無解”的結(jié)論充分促進學(xué)生理解數(shù)與數(shù)量的關(guān)系，提升運算結(jié)果分析、類比、歸納等方面的能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感。另外，數(shù)軸上的任意一對相反數(shù)，距離原點兩側(cè)均勻分布，用對稱的眼光來看，每一對相反數(shù)都關(guān)于原點對稱，這也十分有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形思維。

三、以形輔數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生整體性學(xué)習(xí)

例：已知二次函數(shù)y=x2-2x-3

（1）求函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)、對稱軸和與坐標(biāo)軸交點的坐標(biāo)，并畫出函數(shù)的大致圖象;

（2）自變量x在什么范圍內(nèi)時，y隨著x的增大而增大？何時y隨著x的增大而減少？并求出函數(shù)的最大值或最小值;

（3）已知（-2，y1），（1，y2），（? ? ?，y3）是拋物線y=x2-2x-3上的點，試比較y1，y2，y3的大小;（圖象法解二次函數(shù)）

（4）根據(jù)y=x2-2x-3圖象，求出一元二次方程x2-2x-3=0的解;

（5）若一元二次方程x2-2x-3=k有兩個不相等的實數(shù)根，求k的取值范圍;（函數(shù)中的方程問題）

（6）結(jié)合二次函數(shù)y=x2-2x-3圖象，說出關(guān)于x的不等式x2-2x-3>0的解;（函數(shù)中的不等式問題）

（7）根據(jù)圖象，求關(guān)于x的不等式x2-2x>x的解。（兩個函數(shù)間的位置關(guān)系）

從以上例題不難得出，在整個解題過程中，由數(shù)到代數(shù)的演變是一個難點，學(xué)生往往很難理解式中字母所代表的一般意義以及字母系數(shù)與未知數(shù)之間的站位。其實，一個未知數(shù)已經(jīng)涉及方程的學(xué)習(xí)，涵蓋兩個未知數(shù)（變量）就是函數(shù)的學(xué)習(xí)了，這是一個量變的過程，并不是一蹴而就的。當(dāng)然，無論是方程還是函數(shù)，它們之間相互聯(lián)系、相輔相成。其中，代數(shù)問題圖化法，往往能使抽象問題具象化，實現(xiàn)數(shù)學(xué)的直觀想象，使復(fù)雜問題變得簡單，從而達到事半功倍的效果。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的推理建模是一件很有意思的事情，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光看問題，把生活問題數(shù)學(xué)化、數(shù)學(xué)問題函數(shù)化，讓函數(shù)法成為通式、通法。正所謂“數(shù)少形時少直觀，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合實在妙，數(shù)學(xué)問題難變易”，數(shù)“形”的學(xué)習(xí)，外延至“型”的討論，讓學(xué)生充分了解數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)用過程中，根據(jù)預(yù)判選定的解決數(shù)學(xué)問題的知識和方法，這也就是通常我們常說的建模。

本文以數(shù)軸展開討論，結(jié)合課堂教學(xué)實例，一方面，展示數(shù)形結(jié)合這一重要的數(shù)學(xué)思維，利用數(shù)軸幫助學(xué)生更好地理解正負(fù)數(shù)的抽象意義，掌握數(shù)的擴充，以便圍繞數(shù)軸，得到算理、算法;另一方面，數(shù)軸規(guī)定向右為正，運用“往右為正，往左為負(fù)”這一準(zhǔn)則，引導(dǎo)學(xué)生進行歸納，遷移得出另一重要數(shù)學(xué)思想——分類討論，使學(xué)生養(yǎng)成多角度思考問題的習(xí)慣。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)本身就是一個尋找聯(lián)系、建立關(guān)系的過程，數(shù)形結(jié)合針對空間形式及數(shù)量關(guān)系之間的關(guān)系進行探究，使代數(shù)問題幾何化、圖形問題代數(shù)化得到了實現(xiàn)，促使學(xué)生進一步學(xué)會用數(shù)學(xué)知識解決生活中的實際問題，從生活中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題、提出問題，繼而將自己所學(xué)的數(shù)學(xué)知識運用于問題的解決，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合應(yīng)用能力。

參考文獻：

吳波.以形建數(shù)，培養(yǎng)數(shù)感[J].湖北教育（教育教學(xué)版），2020（09）.

（責(zé)任編輯：韓曉潔）