把握本質(zhì) 釋疑解惑

文 陳 俊

第2章 軸對(duì)稱圖形

領(lǐng) 銜 人：丁建生

組稿團(tuán)隊(duì)：南京師范大學(xué)第二附屬初級(jí)中學(xué)

生活中有很多軸對(duì)稱圖形，我們也能從中感受到“對(duì)稱美”。本章的重點(diǎn)就是利用軸對(duì)稱探索線段的垂直平分線，角的平分線以及等腰三角形、等邊三角形的有關(guān)性質(zhì)和判定；難點(diǎn)是理解線段垂直平分線，角平分線以及等腰三角形、等邊三角形相關(guān)性質(zhì)和判定產(chǎn)生的過(guò)程。我們只有把握好其本質(zhì)，才能有效地抓住重點(diǎn)，破解難點(diǎn)。

一、軸對(duì)稱性質(zhì)的應(yīng)用

例1如圖1，點(diǎn)P是△ACB外的一點(diǎn)，點(diǎn)D、E分別是△ACB兩邊上的點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于CA的對(duì)稱點(diǎn)P1恰好落在線段ED上，點(diǎn)P關(guān)于CB的對(duì)稱點(diǎn)P2落在ED的延長(zhǎng)線上，若PE=2.5，PD=3，ED=4，則線段P1P2的長(zhǎng)為______。

【解析】利用軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)得出PE=P1E，PD=P2D，進(jìn)而利用DE=4，得出P1D的長(zhǎng)為1.5，即可得出P1P2的長(zhǎng)為4.5。

【點(diǎn)評(píng)】解本題的本質(zhì)在于掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)，挖掘其隱藏條件，即PE=P1E，PD=P2D。

二、線段垂直平分線性質(zhì)的應(yīng)用

例2如圖2，在△ABC中，PM、QN分別垂直平分AB和AC，BC=6cm，∠BAC=100°。求△APQ的周長(zhǎng)與∠PAQ的度數(shù)。

【解析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到PA=PB，QA=QC，則△APQ的周長(zhǎng)可轉(zhuǎn)化為PB+PQ+QC，即BC的長(zhǎng)，為6cm；易知∠PAB=∠B，∠QAC=∠C，∠B+∠C=80°，則∠PAQ=∠BAC-（∠PAB+∠QAC）=100°-（∠B+∠C）=20°。

【點(diǎn)評(píng)】本題的本質(zhì)在于掌握線段垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等。注意：這里的距離指的是點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離，也就是兩點(diǎn)之間線段的長(zhǎng)度。我們?cè)谑褂迷撔再|(zhì)時(shí)必須保證兩個(gè)前提條件：一是垂直于這條線段，二是平分這條線段。

三、角平分線性質(zhì)的應(yīng)用

例3如圖3，在四邊形ABCD中，AB=CD，BA和CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，若點(diǎn)P使得△PAB與△PCD的面積相等，則滿足此條件的點(diǎn)P有多少個(gè)？

【解析】因?yàn)锳B=CD，若使△PAB與△PCD的面積相等，則點(diǎn)P到AB和CD的距離相等。所以作∠E的平分線，除點(diǎn)E，這樣的點(diǎn)P有無(wú)數(shù)個(gè)。

【點(diǎn)評(píng)】角平分線的性質(zhì)是角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。本題的本質(zhì)在于逆用角平分線的性質(zhì)：到角兩邊的距離相等的點(diǎn)在角平分線所在的直線上。牢記：角平分線的性質(zhì)是證明線段相等的一個(gè)比較簡(jiǎn)單的方法；當(dāng)遇到有關(guān)角平分線的問(wèn)題時(shí)，通常過(guò)角平分線上的點(diǎn)向角的兩邊作垂線，構(gòu)造相等的線段。

四、等腰三角形的性質(zhì)和判定應(yīng)用

例4如圖4，已知AB=AC=BD，則∠1與∠2的關(guān)系是（ ）。

A.3∠1-∠2=180°B.2∠1+∠2=180°C.∠1+3∠2=180°D.∠1=2∠2

【解析】由AB=AC，設(shè)∠B=x°，則∠C=x°。由AB=BD得，∠1=∠BAD=90°，根據(jù)外角性質(zhì)，可得∠2=∠1-∠C=90°°。通過(guò)觀察兩式，可得3∠1-∠2=180°，故選A。

【點(diǎn)評(píng)】解本題的本質(zhì)在于掌握等腰三角形的“等邊對(duì)等角”性質(zhì)，即等腰三角形的兩底角相等。提醒：用字母表示角的度數(shù)，從而“以解代證”，可以使解題過(guò)程清晰明了。

例5如圖5，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，BE平分∠ABC，G為EF的中點(diǎn)。求證：AG⊥EF。

【解析】只要證明AF=AE，利用等腰三角形的“三線合一”的性質(zhì)即可解決問(wèn)題。證明過(guò)程留給同學(xué)們自行探索。

【點(diǎn)評(píng)】解本題的本質(zhì)在于熟練掌握等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)以及“等角對(duì)等邊”的應(yīng)用。等腰三角形底邊上的高線、中線及頂角平分線重合。

五、等邊三角形的判定與性質(zhì)的應(yīng)用

例6如圖6，點(diǎn)P、M、N分別在等邊△ABC的各邊上，且MP⊥AB于點(diǎn)P，MN⊥BC于點(diǎn)M，PN⊥AC于點(diǎn)N。（1）求證：△PMN是等邊三角形；（2）若AB=12cm，求CM的長(zhǎng)。

【解析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出∠A=∠B=∠C，又因?yàn)椤螹PB=∠NMC=∠PNA=90°，則∠PMB=∠MNC=∠APN。根據(jù)平角的定義，即可得出∠NPM=∠PMN=∠MNP，所以△PMN是等邊三角形；（2）易證△PBM≌△MCN≌△NAP，得出PA=BM=CN，PB=MC=AN，從而求得BM+PB=AB=12cm。根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，得出2PB=BM，即可求得PB的長(zhǎng)，進(jìn)而得出CM的長(zhǎng)。

【點(diǎn)評(píng)】解本題的本質(zhì)在于掌握等邊三角形的性質(zhì)和判定。等邊三角形的性質(zhì)是：等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，并且具有3條對(duì)稱軸；等邊三角形是等腰三角形，具有等腰三角形所有性質(zhì)；等邊三角形的每個(gè)角都等于60°。等邊三角形的判定：三邊相等的三角形是等邊三角形；三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；有兩個(gè)角是60°的三角形是等邊三角形；有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形。

同學(xué)們，理解問(wèn)題的本質(zhì)，充分挖掘題目中的隱藏條件，就找到了解題關(guān)鍵。相信你們?cè)诮窈蟮膶W(xué)習(xí)中，一定會(huì)透過(guò)問(wèn)題表象看到問(wèn)題本質(zhì)，從而達(dá)到釋疑解惑的目的。