會當凌絕頂 一覽眾山小
——“軸對稱圖形”中的數學思想方法

文 丁建生

學習數學，我們既要學好知識，又要重視數學思想方法的掌握、能力的提升。知識解決了“是什么（What）”的問題，而數學思想方法解決的是“如何辦（How）”“為什么（Why）”的問題。當我們站在數學思想方法的高度審視問題時，知識就會貫通，問題就會關聯，問題解決就會快捷、簡便，也就會產生“一覽眾山小”的感覺。同學們在學習“軸對稱圖形”時有這樣的感覺嗎？

一、建構模型

例1如圖1，AB=AC，E、D分別在AB、AC上，且BD=BC，AD=DE=BE，求∠A的度數。

【解析】圖中有許多等腰三角形，我們應抓住“等邊對等角”。設∠EBD=x°，根據條件得∠EDB=∠EBD=x°，∠A=∠DEA=2x°，∠BDC=∠EBD+∠A=3x°，所以∠ABC=∠C=∠BDC=3x°。

在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°，即2x+3x+3x=180，所以∠A=45°

【反思】解本題的關鍵是把線段相等關系轉換成角相等的關系，再利用三角形內角和定理建立方程。其實，大量的翻折（軸對稱變換）中折痕等相關線段長度問題的求解都是通過尋找圖形中線段間的關系建立方程模型而實現的。請同學們在后續學習中細細體會。

例2如圖2所示，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線交于O點，過O點作EF∥BC交AB、AC于E、F。試猜想EF、BE、CF之間有怎樣的關系并說明理由。

【解析】猜想：EF=BE+CF。

理由：∵∠ABC、∠ACB的平分線交于O點，

∴∠ABO=∠CBO，∠ACO=∠BCO，又∵EF∥BC，∴∠CBO=∠BOE，∠BCO=∠COF，∴∠ABO=∠BOE，∠ACO=∠COF，∴BE=EO，CF=FO，∴EF=BE+CF。

【反思】“角平分線+平行”就構成了基本模型（圖3），其隱含著角相等、線段相等等結論。

變式：若將∠ACB的平分線改為∠ACB的外角平分線，其他條件不變，則上述結論還成立嗎？

例3如圖4所示，AB∥CD，BP和CP分別平分∠ABC和∠DCB，AD過點P且與AB垂直，若AD=8，則點P到BC的距離是（ ）。

【解析】由BP平分∠ABC，PA⊥AB，想到過點P作PE⊥BC于點E，所以PA=PE；又∵PA⊥AB，AB∥CD，∴PD⊥CD，而CP平分∠DCB，∴PD=PE?！郟E=PA=PD，又AD=8，∴PE=4。

【反思】無論是“求點P到BC的距離”，還是“P為∠ABC的平分線上的點”，都能促使我們過點P作垂線段PE，這就構成了角平分線中的基本模型（圖5），這個模型中有全等三角形、角相等、線段相等。我們在解題過程中既要迅速識別基本模型，也要善于構造基本模型。

本題中還有什么結論？（AB+CD=BC）如果去掉條件“且與AB垂直”，上述結論還成立嗎？

二、分類討論

例4在平面直角坐標系中，已知點A（3，-3）、P是坐標軸上一點，則使△AOP為等腰三角形的點P共有（ ）個。

【解析】點P可以在x軸或y軸上，三角形的腰和底未確定，需要討論（圖略）。

當以∠P為頂角，即PA=PO時，作線段AO的垂直平分線，與坐標軸有2個交點；當以∠A為頂角，即AO=AP時，以A為圓心、AO長為半徑畫圓，與坐標軸有2個交點；當以∠O為頂角，即OA=OP時，以O為圓心、OA長為半徑畫圓，與坐標軸有4個交點。故點P共有8個。

【反思】解決本題的關鍵是確定分類討論的方向。分類討論就是“化整為零，各個擊破”，討論時要確定一個“標準”進行，既不能重復，也不能遺漏。有時還要進行二次分類，如：一個三角形可被剖分成兩個等腰三角形，原三角形的一個內角為36°，求原三角形最大內角的可能性。請同學們嘗試著解決。

例5如圖6所示，點O是等邊△ABC內一點，將△BOC繞點C按順時針方向旋轉60°得△ADC，連接OD。已知∠AOB=110°。

（1）求證：△COD是等邊三角形；（2）當∠BOC=150°時，試判斷△AOD的形狀，并說明理由；（3）探究：當∠BOC為多少度時，△AOD是等腰三角形。

【解析】（1）由旋轉不變性，得△BOC≌△ADC。∴CO=CD，又∵∠DCO=60°，∴△COD是等邊三角形。

（2）∵∠BOC=∠ADC=150°，∠ODC=60°，

∴∠ADO=∠ADC-∠ODC=90°，

∴△AOD是直角三角形。

（3）設∠BOC=x°，又∠DOC=∠CDO=60°，∠AOB=110°，則∠ADO=x°-60°，∠AOD=190°-x°，當OA=OD時，190-x+2（x-60）=180，所以x=110；當AO=AD時，190-x=x-60，所以x=125；當DA=DO時，2（190-x）+x-60=180，所以x=140。

【反思】本題中三個小問題的解決都不需要等邊△ABC這一條件，只要BC=AC，結論仍然成立。在第（3）問的解決中，就是以哪個角為頂角展開討論的。根據∠ADO和∠AOD的表達式即知其和為定值130°，則∠DAO=50°，以此為基礎來討論就很簡單。

三、轉化思想

例6如圖7所示，在四邊形ABCD中，∠BAD=110°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分別找出一點M、N，使△AMN的周長最小，此時∠AMN+∠ANM的度數為 。

【解析】要使△AMN的周長（即AM+MN+AN）最小，我們聯想到“兩點之間線段最短”。

由∠B=∠D=90°，分別作A關于BM、DN的對稱點P、Q，連接PM、QN，由對稱性得AM=PM、AN=QN，∴AM+MN+AN=PM+MN+QN，顯然當P、M、N、Q共線，即M、N在線段PQ上時，PM+MN+QN取最小值。這時∠AMN=2∠PAM，∠ANM=2∠QAN，又∠AMN+∠ANM+∠MAN=180°，∠PAM+∠MAN+∠NAQ=110°，所 以 ∠AMN+∠ANM=140°。

【反思】本題的思路是：欲求兩角的和，必須先求出使AM+MN+AN最小的“狀態”。求線段和的最小值，一般是將其轉化為一條線段的長度，即“化折為直”。如何轉化？用軸對稱變換。通過對稱點的轉化作出圖形。整個解題過程就是不斷轉化問題的過程。

例7如圖8，已知等腰三角形ABC的底邊BC上有一個動點P，PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB。

（1）求證：PD+PE=CF；

（2）若點P運動到BC的延長線上，那么PD、PE和CF有什么數量關系？寫出你的猜想并加以證明。

【解析】（1）方法一（截長）：過點P作PM⊥CF于 M，∵PD⊥AB，CF⊥AB，∴四邊形PDFM為矩形，∴PD=FM，又∵△ABC中AB=AC，∴∠B=∠ACB，而 PM∥AB，∴ ∠B=∠MPC，∴∠MPC=∠ACB，又∵∠PMC=∠CEP，PC=PC，∴△PMC≌△CEP，∴PE=CM，∴PD+PE=CF。

方法二（補短）：延長DP至N，使PN=PE，連接CN，易證明△PEC≌△PNC，DN=FC，所以PD+PE=CF。

【注】方法二中的輔助線的另一種做法是：將△PEC沿PC翻折至△PNC處。

（2）圖略。觀察并猜想：PD-PE=CF。證明留給同學們自行探索。

【反思】要證明線段和、差問題，常常是通過“截長、補短”將問題轉化成證明線段相等。本題也可以連接AP，這時三條線段PE、PD、CF的“角色”發生了轉變，可看成是三個三角形的高，用面積關系來證明會更簡潔。

數學思想方法的學習是高層次的學習。同學們在學習每一個知識點時要挖掘其隱含的數學思想；在學習每一章節時要及時發現、歸納其中的數學方法；在解決每一個問題時，要善于運用、反思其中的數學思想方法。