追根溯源 明晰錯因

文 古作軍

“軸對稱圖形”是初中數學的重要內容之一。一些同學在學習時，由于沒有弄清知識概念的來龍去脈，對于知識概念理解不準，常會出現這樣或那樣的錯誤。下面就“軸對稱圖形”這一章的一些易錯點進行剖析，希望能讓同學們明晰錯因，從而達到防止解題犯錯的目的。

一、對軸對稱圖形的相關概念模糊不清

例1下列說法中：①兩個全等三角形合在一起是一個軸對稱圖形；②等腰三角形的對稱軸是底邊上的中線；③等邊三角形一邊上的高就是這條邊的垂直平分線；④一條線段可以看作是以它的垂直平分線為對稱軸的軸對稱圖形。正確的有（ ）。

A.1個 B.2個 C.3個 D.4個

【錯解】C。

【錯解剖析】軸對稱圖形的來源有二：一是一個圖形沿著一條直線折疊，直線兩旁的部分互相重合，這個圖形是軸對稱圖形；二是把成軸對稱的兩個圖形看成一個整體，這個圖形是一個軸對稱圖形，而不是隨意把兩個圖形合在一起。我們明確了這些，就可以斷定①是錯的。對稱軸是一條直線，而等腰三角形底邊上的中線是一條線段，二者屬性不一致，所以它不能稱之為對稱軸，所以②是錯的。垂直平分線的實質也是一條直線，等邊三角形一邊上的高是一條線段，所以③是錯的。④的說法符合軸對稱圖形的定義，所以④是正確的。

【正解】A。

二、不能準確甄別軸對稱圖形

例2下面四個圖形分別是節能、節水、低碳和綠色食品標志，在這四個標志中，是軸對稱圖形的是（ ）。

【錯解】A或B或C。

【錯解剖析】軸對稱圖形具有如下特點：軸對稱圖形是一個圖形；把這個圖形沿著一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合。只要明白這些，就會得出正確答案。

【正解】D。

三、對稱軸尋找不全

例3如圖1，由4個小正方形組成的田字格中，△ABC的頂點都是小正方形的頂點。在田字格上畫與△ABC成軸對稱的三角形，且頂點都是小正方形的頂點，則這樣的三角形（不包含△ABC本身）共有（ ）。

A.1個 B.2個 C.3個 D.4個

【錯解】B。

【錯解剖析】直接利用已知圖中已有的線段所在的直線為對稱軸，只能找到兩條對稱軸，也就是說此時只能找到兩個三角形。但是當我們把田字格的對角線連接起來時，對角線所在的直線也能成為對稱軸，因此可得到第三個三角形。

【正解】如圖2，得到的三角形有三個，所以選C。

四、錯放變換后的位置

例4如圖3，把一個正方形三次對折后沿虛線剪下，則所得圖形大致是（ ）。

【錯解】A。

【錯解剖析】不能按照規定要求去操作，導致把剪下的位置弄錯，從而出現錯誤的展開圖。

【正解】C。

五、等腰三角形分類討論不正確

例5一個等腰三角形的兩邊長分別是3cm和7cm，則它的周長是______。

【錯解】13cm和17cm。

【錯解剖析】已知等腰三角形的兩邊，求它的周長。在不知道哪邊是腰、哪邊是底的情況下，我們要分兩種情況討論，在每一種情況中還要注意驗證能否構成三角形。

【正解】17cm。

例6已知一個等腰三角形的兩角分別是（2x-2）°、（3x-5）°，求這個等腰三角形各角的度數。

【錯解】此題分兩種情況：若（2x-2）°為頂角，得x=24，三角形的三個內角分別是46°、67°、67°；若（3x-5）°為頂角，得x=27，三角形的三個內角分別是76°、52°、52°。

【錯解剖析】利用等腰三角形的性質解題時，易犯考慮不全面的這一典型錯誤。從表面上看，這道題分兩種情況來計算，但實際上還有一種情況沒有考慮到，即這兩個角都不是頂角。

【正解】此題應該分三種情況。除了上述兩種情況外，若（2x-2）°和（3x-5）°都不是頂角，則3x-5=2x-2，得x=3，三角形的三個內角分別是172°、4°、4°。

例7等腰三角形一腰上的高與另一腰所成的夾角為50°，則這個等腰三角形的頂角是______°。

【錯解】40。

【錯解剖析】等腰三角形的高可能在三角形的內部，也可能在三角形的外部。本題應分類討論：等腰三角形的高在三角形的內部時（銳角三角形），頂角為40°；等腰三角形的高在三角形的外部時（鈍角三角形），頂角為140°。

【正解】40或140。