基于單頻數據重構散射障礙的新型線性采樣方法

丁 濛

(北京信息科技大學計算機學院，北京 100101)

1 引言

散射及反散射的數學理論與計算一直是應用數學領域中的重要課題，其成果在地質勘探、無損探測、醫學成像等領域都具有廣泛的應用.散射研究入射波與介質的相互作用，而反散射則研究通過介質外部可測的波場探測其形狀或內部屬性.數學上，反散射主要研究解的唯一性、穩定性及設計高效、穩定的數值算法.目前，對該問題的研究，無論在唯一性方面還是在數值算法方面都取得了豐富的研究成果，例如基于遠場數據反演散射障礙的唯一性定理[1-4]、迭代優化型算法[5-7]及采樣型方法[8-11]等，詳細內容可參考相關專著[12-14].

線性采樣方法(LSM)是近年來反散射理論中一類非常流行的非迭代型重建算法，它由Colton 和Kirsch 于1996 年首先提出[9].其主要思想是考慮第一類算子方程

這里，F :L2(S2)→L2(S2)為定義在R3中單位球面S2上的遠場算子，u∞為散射場的遠場模式，它是定義在S2×S2上的解析函數，在實際中通常被認為是一個可觀測量.針對方程(1)，可證明如下定理.

定理1[9]若κ2＞0 不是-Δ 算子的Dirichlet 特征值，則對任意的z ∈D， ε ＞0，存在函數gz，ε∈L2(S2)，使得

且

1) 不需要先驗地知道障礙D 的物理性質；

2) 不需要數值求解正散射問題.

因此，近二十年來，LSM 被廣泛應用于一般偏微分方程反問題中，如文獻[15-17]等.然而，就像定理1 所描述的那樣，傳統的LSM 僅在κ2＞0 不是區域D 上-Δ 的Dirichlet 特征值時有效.那么自然地會產生“當κ2是-Δ 的Dirichlet 特征值時，LSM 是否依然有效？”這個問題.為了解決這一問題，文獻[18]首先借助修改邊界積分方程積分核的方式給出了一個變種的第一類遠場算子方程，并通過研究相應的遠場算子的性質，證明了改良后的LSM 在每個固定的波數下都是有效的.然而這種方式很難推廣到更為復雜的反散射問題中，例如半空間中障礙反散射問題、無界帶狀區域中障礙反散射問題等.

本文主要以Dirichlet 障礙為例，研究了一類反散射問題的數值計算方法，目的是在波數無任何先驗信息下，發展一種快速有效的新型線性采樣方法，并且使得該方法能夠很容易推廣到其他復雜情形.為此，本文在第2 節給出了散射問題的描述，并呈現了解的一些基本性質；然后，在第3 節給出了本文的主要結果及其證明，核心思想是通過引入帶阻尼邊界條件的輔助邊值問題，把原問題轉化為特殊入射波下的散射問題，從而可以建立起相應算子的單射及稠密性.

2 問題描述

令D 為R3中C2-光滑的有界區域，其邊界為?D.考慮平面波

入射到障礙D，則其散射由Helmholtz 方程所描述

其中f =-uinc.(3)式中的第三個條件被稱為Sommerfeld 輻射條件.

利用Green 公式及Sommerfeld 輻射條件，散射場us有如下漸近形式

定理2[14]對于f ∈H1/2(?D)，邊值問題(3)有唯一解us且滿足

現在引入算子Lf := u∞.由定理2 可知，L 是H1/2(?D)到L2(S2)上的有界線性算子.進一步地，關于L 也有如下性質.

3 主要結果及證明

本節將研究問題(3)的反散射問題，即通過測量遠場模式u∞反演障礙D 的位置和形狀，其目標是提出一類新型的線性采樣方法，使得該方法在任意給定的波數下都是有效的，同時又易推廣到其他情形.

令w :=us-ps，易驗證w 滿足如下問題

再令p:=uinc+ps及定義入射算子H :L2(S2)→H1/2(?D)：

則可以證明如下結果.

證明 為了證明H 的單射，引入函數

若存在g ∈L2(S2)使得Hg =0，則U|?D=0.再由p 與U 的定義可知，U 滿足如下問題

利用Green 定理及Holmgren’s 唯一性定理易得，當x ∈R3Bδ(x*)時，U(x)=0.又因為p=uinc+ps，所以

由(8)式可知其左端和右端同時為0.若不然，不難發現(8)的右端滿足Sommefeld 輻射條件，而左端不滿足Sommefeld 輻射條件，這導致了矛盾.然后，利用唯一延拓原理及文獻[13， 定理3.19]可得g =0.故H 為單射.

為了證明Range(H)在L2(S2)上的稠密性，根據泛函分析中的理論可知，這等價于證明H 的伴隨算子H*: H-1/2(?D) →L2(S2)是單射.為此，對于ψ ∈H-1/2(?D)，首先通過積分交換次序可得

其中H*定義為

上式的推導中已經利用了(5)的解的混合交互關系

時，散射解ps:=Gs(z，x)對應的遠場模式.

定義函數

下一步，引入新的遠場算子FM:L2(S2)→L2(S2)：

其中u∞與p∞分別對應于問題(3)和(5)中解的遠場模式.那么，本文提出的新型采樣方法主要基于求解第一類積分方程

針對方程(10)，可以得出如下的主要結果.

定理3(i) 若z ∈D，對任意的ε ＞0，存在gz，ε∈L2(S2)，滿足

證明 為了證明(i)，首先證明下面的充分必要條件

這矛盾于

再若z ∈?D，則

這也矛盾于

因此假設z /∈D 不成立，即z ∈D.故(11)式成立.

注意到，根據線性疊加原理得FM=-LH.這聯合(12)及L 的有界性進一步得

這里，C ＞0 是一個固定常數，僅依賴L 的范數.

這是個矛盾.因此

其解可表示為如下形式

其中(μn，ψn，φn)為算子L 的奇異值系統.注意到，根據文獻[12， 定理2.13]，fα是相應的Tikhonov 泛函的極小值.因此，對于給定的δ ＞0，通過選擇正則化參數α，下式成立

再利用Picard 定理，可得

另一方面，由于Range(H) 在H1/2(?D)中是稠密的(引理2)，所以存在函數gz∈L2(S2)，使得對于給定的ε ＞0，

再聯合(14)及(15)式可得

最后，類似于情形(i)，容易證明