經歷定義的選擇過程提高表達和辨析能力
——以《角的認識》一課為例

章劍

【教學內容】

浙教版四年級上冊第51、52頁《角的認識》。

【教材分析】

教材給出了兩種角的定義，從角的靜態（從一點引出兩條射線所組成的圖形叫做角）、動態（角也可以看成是由一條射線繞著它的端點旋轉而成的圖形）兩個方向經歷科學、規范、抽象的角的概念的探究過程，是浙教版教材獨有的內容。

【教學過程】

一、回憶引入

學生自主作業：什么是角？

（用文字或畫圖等方法來說明什么是角）

表述一：

表述二：

表述三：

師：畫圖、文字、圖文并茂有什么好的地方？有什么不足的地方？（學生回答略）

師：同學們的見解有什么相同的地方，又有什么不同的地方？

相同：都有一個點，兩條線。

不同：角的邊有的同學說是線段，有的說是射線。

師：用線段比較好？還是用射線比較好呢？我們可以舉一些例子，看看射線和線段誰更合適用來定義角？

【設計意圖：回憶什么是角，了解學生角的概念掌握情況。繼而，讓學生對各種典型的表達進行評價，評價他人的同時，也是對自己概念理解和表達的反思，聚焦認知沖突：角的邊（線）到底用射線還是線段來表達，引導學生進行深層次的概念辨析。】

二、探索靜態角的概念

1.比較兩個滑梯的陡和平。

師：（出示滑梯圖）哪個滑梯比較陡？哪個比較平？為什么？

生：右邊的滑梯比較陡，因為這條線比較斜。

師：比較斜是什么意思？

生：像滑梯這樣比較陡，就是下面這個角比較大；比較平，就是角比較小。

生：張開得大，角比較大，滑梯就比較陡；張開得小，角比較小，滑梯就平。

【設計意圖：圖中特意增加一條水平線（地平線），幫助學生直觀理解所謂“比較斜”“比較陡”，亦可以用地平線和滑梯線組成角的大小來作參照和刻畫。】

2.比較三個滑梯的陡和平。

師：這里有三個滑梯，比較一下哪個滑梯最陡？

生：一樣陡。

生：第一個最陡。

生：第三個最陡。

師：有什么方法能清楚地知道哪個滑梯更陡？

生：可以通過重疊來比一比。

師：（演示課件重疊）哪個滑梯更陡？重疊以后你發現了什么？

生：滑梯的高矮不一樣，長短不一樣，但角的大小沒有變，其實是一樣陡的。

師：如果滑梯的兩條邊更長，那么角的大小？兩條邊再變長呢？

生：兩條邊線不管怎么延長，角的大小不變。所以，兩條邊以射線表達更好。

【設計意圖：在學生熟悉的滑梯情境里，幫助學生直觀感知邊的長度增加不影響角的大小。呼應學生前測作品中的困惑，角的大小既然與邊的長度無關，則兩邊可以往一個方向無限延長，用射線定義角更加合適。】

師：角的大小和兩邊張開大小有關，而和邊的長短無關。所以我們定義角用——

生：用射線比較好。角的兩邊可以無限延長。

【設計意圖：本課要學習的靜態角的概念和三年級直觀認識角的組成比較接近，將重點放在學生困惑的問題上：角的兩邊用線段還是射線來定義好？創設滑梯情境，引導學生借助直觀經驗，自主辨析明理，突破知識難點。同時，也有助于學生形成良好的學習信念：一切定義都有道理可循。】

三、探索動態角的概念

師：錢江新城的燈光秀上有兩個探照燈掃射形成了角——你會怎樣描述這個角的形成呢？

生：我覺得，這可以想象成一條射線繞著它的端點旋轉，形成了很多個角。

生：燈的位置就是射線的端點，射出的燈光就是一條射線，射線繞著端點慢慢旋轉，來到新的位置，和原來位置的射線形成了角。

師：真棒！我們除了可以從靜態角度分析角的組成，也可以從動態角度觀察。動態角是怎么形成的？請用手比劃一下。

【設計意圖：動態角的認識角度比較新穎，對于學生來說，比較陌生和抽象。設計探照燈掃射成角的場景，激活學生已有的生活經驗，激發動態想象。學生通過觀察探照燈掃射是如何形成角的，理解到一條射線繞著它的端點旋轉，可以形成各種各樣的角。最后，通過用手比劃，將動態角的形成形象化。】

四、探索讀角寫角的方法

師：你能比較這兩個動態角的大小嗎？有什么好辦法讓別人一聽就明白你在說哪一個角呢？

生：可以把一個角叫角1，一個角叫角2。

生：可以把一個角叫角A，一個角叫角B。

依言標上數字和字母——

師：如果共用一個頂點的角有好幾個，怎樣區分呢？

引導討論：僅用頂點字母無法區分，只能添加邊上的字母——頂點字母放在中間。

師：你知道怎么畫角嗎？畫一個角，給畫好的角取一個名字。

生：畫兩條射線，這兩條射線要從一個點出發。

生：先畫一個頂點，再從一個頂點出發畫兩條射線。

生：可以用數字或者字母來標記角，頂點字母放中間。

【設計意圖：數學常識的教學也要給學生自主創造和辨析的機會。創設幾個角共用頂點的情境，引導探討如何表示這些角，自然地想到要用其他相關字母。再從角的字母表示思考，從所示符號中，能看出角的頂點嗎？能看出角的邊嗎？進一步體會書寫規則的合理性。】

五、探索判斷角、比較角的方法

1.找直角。

師：用一個圓片，不借助其他工具，你能創造出一個直角嗎？

生：像這樣將一個圓對折又對折得到的角就是直角。

師：你在哪里見過直角？

生：三角板上有直角。

生：我們剛才做的活動角也可以變成一個直角。

生：數學書上有直角。

2.判斷活動角。

師：怎么判斷在活動角上找到的角是直角呢？

生：用三角尺上的直角，或用圓折出的直角比，如果角的兩條邊都和標準的直角重疊了，就是直角。

師：怎么判斷銳角和鈍角呢？

生：頂點重合，一條邊（始邊）重疊，另一條邊（終邊）在直角邊里面就是銳角；另一條邊（終邊）在直角邊外面就是鈍角。

動態演示：觀察射線旋轉到什么位置形成直角、銳角和鈍角？

3.鞏固練習。

（1）直接目測比較：鈍角＞直角＞銳角。

（2）同樣是銳角或者鈍角，怎樣比較大小呢？

重疊法比較：借助活動角比較∠2和∠7或∠5和∠6的大小。

（3）如果沒有活動角，我們還能怎么比較角的大小？（量角器）

【設計意圖：從特殊的直角開始形成重疊（重合）比較的經驗，進一步推廣到一般角的比較。利用活動角來判斷角，在應用中再認識動態角，突破教學難點。在此基礎上，初步滲透量角器的測量原理，量角的過程就是與量角器上對應角重合的過程。】

六、小結

師：今天這節課學了什么？什么叫角呢？

師：這是個靜態角，你能把它看成動態角嗎？

生：角AOB可以看作是動態角，就是射線OA繞著它的頂點O旋轉到OB的位置所形成的角。

【設計意圖：小結中體現了學生理解和表達的四個水平層次，水平1：能用自己的語言來描述角；水平2：能用靜態角或動態角的定義來描述角；水平3：能用靜態角和動態角的定義從不同角度來描述角；水平4：能將靜態角轉化成動態角。】

【課例綜述】

概念教學常常比較枯燥，如何讓學生有興趣學，而且還能發展高階思維，提升數學素養，本課嘗試從以下兩方面來實現。

一、重視學生數學表達能力的培養

語言是思維的外殼。數學語言能力與數學思維互為表里，息息相關。關注學生的表達：通過傾聽學生的表達，了解他們的思維水平；通過改進學生的表達，提升他們的認知深度。具體來說：1.引入環節。回憶什么是角，用文字、畫圖等方法來說明什么是角？側重于書面的、形象的表征。2.判斷角，比較角，讓學生利用三角尺中的直角、圓上的直角、活動角等來說明判斷的依據。3.小結環節。課的最后，學生對“什么是角”的表述體現了他們理解和表達能力的四個水平層次。

二、重視學生數學辨析能力的培養

數學概念往往基于具體、形象而又要超越直觀，作出理性的抽象，為進一步推理、生發新概念、新命題做準備。教學中，積極創設學生熟悉的生活情境，在此基礎上引導學生反思、想象，辨析數學概念。具體來說：1.聚焦認知沖突，通過滑梯陡峭程度的討論，理解為什么用“射線”定義角。2.創設燈光秀情境，感知角的動態形成，突破角的動態定義。3.創設共用頂點角的情境，深化討論角的表示方法，感悟數學規定的合理、簡潔。4.從判斷直角到測量角的度數，聚焦邊的重合情況，體會角的大小的本質。