深度學(xué)習(xí)：縱向數(shù)學(xué)化是必由之路
——對(duì)《點(diǎn)陣中的規(guī)律》深度學(xué)習(xí)再思考

焦波（特級(jí)教師）

【理論感悟】

弗賴登塔爾認(rèn)為“數(shù)學(xué)化”分橫向數(shù)學(xué)化和縱向數(shù)學(xué)化兩種。橫向數(shù)學(xué)化是“把生活世界引向符號(hào)世界”，縱向數(shù)學(xué)化是“在符號(hào)世界里，符號(hào)的生成、重塑和被使用”。在他看來，數(shù)學(xué)化就是指人們運(yùn)用數(shù)學(xué)的方法觀察現(xiàn)實(shí)世界，分析研究各種具體現(xiàn)象，并加以整理組織，這個(gè)過程就是數(shù)學(xué)化。簡(jiǎn)單地說，運(yùn)用數(shù)學(xué)方法組織現(xiàn)實(shí)世界的過程就是數(shù)學(xué)化。看來，“數(shù)學(xué)化”既是數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)的目的，也是實(shí)現(xiàn)教學(xué)目的之手段。這樣，一般人們將橫向數(shù)學(xué)化理解為將現(xiàn)實(shí)與數(shù)學(xué)建立聯(lián)系，將縱向數(shù)學(xué)化則理解為是建立抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，常常包含著抽象和形式化就不難理解了。比較而言，我們認(rèn)為縱向數(shù)學(xué)化有時(shí)更能發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)。

【實(shí)踐再思】

兩年前，本人申報(bào)的省級(jí)課題《基于學(xué)生核心素養(yǎng)培養(yǎng)的教學(xué)與評(píng)價(jià)研究》已于2019年底順利結(jié)題，但在核心素養(yǎng)背景下，如何通過數(shù)學(xué)教學(xué)努力提升學(xué)生思維的深刻性，即引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深度學(xué)習(xí)，培育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的話題從未停止。一年來，我們團(tuán)隊(duì)結(jié)合以上理論感悟和教學(xué)實(shí)踐，一直在進(jìn)行深度學(xué)習(xí)的探討。下面就選用北師大版五年級(jí)上冊(cè)“數(shù)學(xué)好玩”中綜合實(shí)踐《點(diǎn)陣中的規(guī)律》這一課，以團(tuán)隊(duì)成員洪喬和魏峰兩位教師執(zhí)教、研討的教學(xué)實(shí)錄為例，談?wù)劷虒W(xué)中如何“引導(dǎo)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，滲透模型思想，培育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”的實(shí)踐和再反思。

一、以疑誘思，深在激發(fā)求知欲望的心動(dòng)中

教師的真正本領(lǐng)，不在于他是否會(huì)傳授知識(shí)，而在于他怎樣傳授知識(shí)，是否能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，喚起學(xué)生的求知欲望，使其興致盎然地參與到學(xué)習(xí)過程中來。教師要學(xué)會(huì)構(gòu)造“一方池塘”，讓學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)、自我成長(zhǎng)；要善于點(diǎn)燃“一束火焰”，讓學(xué)生思維啟迪、自覺成長(zhǎng)。

在實(shí)錄（一）中，洪老師新課伊始，就開展“人機(jī)大戰(zhàn)”看誰算得快的計(jì)算比賽活動(dòng)，動(dòng)作快的用計(jì)算器算和口算快的用腦算都比不過教師的速度，從而讓學(xué)生產(chǎn)生好奇，教師再揭示答案是用“數(shù)形結(jié)合”的方法把計(jì)算題轉(zhuǎn)化成了正方形，導(dǎo)入新課，學(xué)生躍躍欲試地進(jìn)入主動(dòng)學(xué)習(xí)、積極探索的狀態(tài)。在實(shí)錄（二）中，魏老師先通過課前看圖交流，（圖一讓學(xué)生通過不同的角度看到兩張側(cè)臉和瓶子，圖二通過旋轉(zhuǎn)得到不同的人臉）這樣從不同角度觀察得到不同結(jié)果的課前熱身活動(dòng)，既點(diǎn)題，又調(diào)動(dòng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性；緊接著開展“課前10秒鐘挑戰(zhàn)極限”的活動(dòng)，讓學(xué)生感到驚訝，認(rèn)為不太可能快速得到正確結(jié)果。教師話鋒一轉(zhuǎn)，“我們今天就是要把這種不可能變成可能，變成一定能！”

兩位教師以形式各異的“以疑誘思”開始教學(xué)，有異曲同工之處，都有效地激發(fā)了學(xué)生的求知欲望，讓深度學(xué)習(xí)的真正發(fā)生成為可能，這既是“敲門磚”，又是“承重墻”。

二、以形助數(shù)，深在生成符號(hào)模型的探究中

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的建模，實(shí)際上就是讓學(xué)生經(jīng)歷縱向數(shù)學(xué)化和再創(chuàng)造的過程。培育模型思想的重要策略是讓學(xué)生參與建模過程，在模型的探究、構(gòu)造中讓學(xué)生的思維深度發(fā)生。

在實(shí)錄（一）中，洪老師為了讓學(xué)生易于理解，調(diào)整教材，先探究較簡(jiǎn)單的，不會(huì)出現(xiàn)多種符號(hào)模型（算每個(gè)點(diǎn)陣總點(diǎn)數(shù)的算式）的三角形點(diǎn)陣規(guī)律。將形象的三角形點(diǎn)陣表示為抽象的算式，引導(dǎo)學(xué)生觀察數(shù)（數(shù)列）與形（點(diǎn)陣）之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，學(xué)生的思維在算式表示中“頓悟”，順利地實(shí)現(xiàn)了由形到數(shù)的第一次轉(zhuǎn)化，使學(xué)生對(duì)分類找規(guī)律有所領(lǐng)悟。有了前面的鋪墊，對(duì)于教材中的正方形點(diǎn)陣規(guī)律，洪老師大膽放手，讓學(xué)生自主探索，深化三種方法找規(guī)律。在此過程中，既培養(yǎng)了學(xué)生從不同角度去發(fā)現(xiàn)問題、概括規(guī)律的能力，又讓學(xué)生感悟由于形（劃分形式）的不同，帶來式（規(guī)律的模式）的各異，使學(xué)生在數(shù)與形的多次對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)化中深化模型思想。在實(shí)錄（二）中，魏老師先課件出示10×10閱兵實(shí)景圖，形象化地把士兵的兵陣變成一個(gè)點(diǎn)陣，這樣從現(xiàn)實(shí)世界到符號(hào)世界的轉(zhuǎn)換就是橫向數(shù)學(xué)化的過程。再通過三個(gè)活動(dòng)，從不同的角度揭示同一個(gè)點(diǎn)陣三種不同的規(guī)律。

我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾經(jīng)說過：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微。”以上兩位教師始終以“數(shù)形結(jié)合”為主線，從不同的角度用“觀察、嘗試與猜測(cè)”的方法，先幫助學(xué)生建立直觀模型與抽象算式之間的聯(lián)系，使抽象算式有了幾何直觀的支撐；再?gòu)暮?jiǎn)單到復(fù)雜，逐一引導(dǎo)學(xué)生找各組算式之間的內(nèi)在聯(lián)系，分析數(shù)字模型，發(fā)現(xiàn)模型規(guī)律；最后讓學(xué)生借助表象，進(jìn)行想象，形成抽象，用語言表述算式，并將規(guī)律符號(hào)化，提煉通項(xiàng)公式。借助“形”的結(jié)構(gòu)來探究“數(shù)”的規(guī)律，而且用數(shù)學(xué)語言和符號(hào)（通項(xiàng)公式）重塑蘊(yùn)含其中的數(shù)學(xué)模型，這種從特殊上升到一般，將事物與現(xiàn)象聯(lián)系起來加以考察，探究規(guī)律的縱向數(shù)學(xué)化過程，既是實(shí)現(xiàn)抽象的基本途徑，又是深刻揭示事物與現(xiàn)象的內(nèi)在規(guī)律與本質(zhì)的有效策略；既有利于學(xué)生歸納與概括能力的提升，又有利于模型思想的滲透和代數(shù)思維的形成。

三、以數(shù)解形，深在重塑神美結(jié)構(gòu)的關(guān)聯(lián)中

鄭毓信教授說：“數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的教學(xué)，不應(yīng)求全，而應(yīng)求聯(lián)。”教學(xué)中，我們提倡教師要引導(dǎo)學(xué)生以聯(lián)想和結(jié)構(gòu)的方式去學(xué)習(xí)新知，通過建構(gòu)將知識(shí)內(nèi)部本身所具有的關(guān)聯(lián)和結(jié)構(gòu)進(jìn)行個(gè)性化的再關(guān)聯(lián)、重建構(gòu)，從而形成自己新的知識(shí)結(jié)構(gòu)，這是深度學(xué)習(xí)的重要特征。

教學(xué)中，兩位教師都能引導(dǎo)學(xué)生用聯(lián)系的眼光，探索三種規(guī)律間的轉(zhuǎn)化，深刻領(lǐng)悟數(shù)學(xué)內(nèi)部之間的融合關(guān)系。實(shí)錄（一）中，洪老師在固化新知中，先探索三個(gè)算式間的聯(lián)系，學(xué)生小組合作，得出通過移多補(bǔ)少或重新配對(duì)可以變成4個(gè)4，再揭示比賽獲勝的秘訣是看算式想幾乘幾的點(diǎn)陣。學(xué)生能準(zhǔn)確回答人機(jī)大戰(zhàn)中六個(gè)算式各是幾乘幾的點(diǎn)陣，這是對(duì)已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)的再現(xiàn)，對(duì)自己的知識(shí)結(jié)構(gòu)的重塑。尤其是實(shí)錄（二）中，魏老師讓學(xué)生自主歸納出得數(shù)都等于25的三個(gè)“形異神同”的算式后，魏老師引導(dǎo)學(xué)生在觀察、比較“形異”的過程中，體會(huì)“5×5”的簡(jiǎn)潔性；再借助于“移多補(bǔ)少”的轉(zhuǎn)化，體驗(yàn)三個(gè)模型間的統(tǒng)一性。此時(shí)，魏老師獨(dú)具匠心的編了一段“小詩”來表示這種統(tǒng)一性，“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同。只要移多補(bǔ)補(bǔ)少，大小相等皆明了”；這樣以數(shù)解形，不僅優(yōu)化了學(xué)生的代數(shù)思維，還彰顯了數(shù)學(xué)本身的魅力和神奇，使“數(shù)形結(jié)合”模型思想的“數(shù)學(xué)味”更濃厚。

四、以展延課，深在遷移思想方法的應(yīng)用中

實(shí)錄（一）中，洪老師第一次延伸是在策略運(yùn)用中，放手讓學(xué)生自主探究長(zhǎng)方形點(diǎn)陣，使學(xué)生研究數(shù)要觀察形的模型思想得到延伸，數(shù)形結(jié)合的策略得以形成；第二次延伸是在結(jié)課欣賞中，讓學(xué)生再次回到生活——奧運(yùn)擊缶，氣勢(shì)磅礴；閱兵方陣，英姿颯爽……果然是哪里有數(shù)學(xué)，哪里就有美！數(shù)學(xué)美把自然規(guī)律抽象成一幅簡(jiǎn)潔準(zhǔn)確的圖像；第三次延伸是設(shè)計(jì)一個(gè)點(diǎn)陣，給了學(xué)生極大的創(chuàng)造空間。實(shí)錄（二）中，魏老師通過課件展示，由平面點(diǎn)陣拓展到空間中，為學(xué)生插上想象的翅膀，拓展了視野，延伸了思維。

以上，把學(xué)生的課堂學(xué)習(xí)延伸到課外，鏈接到學(xué)生已有的相關(guān)生活經(jīng)驗(yàn)，使得原本陌生的數(shù)學(xué)知識(shí)與學(xué)生熟知的生活情景自然對(duì)接，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系，使學(xué)生“數(shù)形結(jié)合”的模型思想在知識(shí)的遷移中、被使用中得以升華，也凸顯了數(shù)學(xué)文化的價(jià)值和數(shù)學(xué)自身的魅力。

本文系安徽省2017年教育科學(xué)研究項(xiàng)目立項(xiàng)課題《基于學(xué)生核心素養(yǎng)培養(yǎng)的教學(xué)與評(píng)價(jià)研究》（項(xiàng)目編號(hào)：JK17015）的終結(jié)性成果之一。