基于“數學理解層次”的教學路徑探索
——以《打電話》教學為例

莊旦丹

《數學課程標準》指出：“綜合與實踐”是一類以問題為載體，以學生自主參與為主的學習活動。在于培養學生綜合運用有關知識與方法解決實際問題，培養問題意識、應用意識和創新意識，積累數學活動經驗，提高解決現實問題能力。因此，教師在教學《打電話》一課時，切忌只關注“雙基”，更重要的是在綜合運用中，讓學生積累數學經驗，滲透數學思想。

一、巧借東風，開拓全新路徑

曹培英教授根據SOLO分類評價法，將數學理解分為“前結構水平”（不能恰當處理）、“單點結構水平”（能提出與學習任務相關的一個方面知識）、“多點結構水平”（能提出與學習任務有關的幾個獨立方面知識）、“關聯結構水平”（能把相關數學知識整合成一個連貫的整體結構）、“拓展抽象水平”（能把整體結構概念化為一個更高的抽象水平）五個層次。這五個層次能很好地顯示學生的認知水平，從而指導教師針對性地進行教學設計，這為本課教學提供了全新的路徑。

1.SOLO理論，引領前測。

測試對象：某校501班35名同學。

測試方法：問卷+訪談。教師不讀題，不提示，學生寫完就上交。

測試內容：教師接到一項緊急任務，需要盡快通知7位七彩小義工，如果采用打電話的方式，每分鐘通知1個人，怎樣通知最省時間？最少需要多長時間才能通知到每一個人？

測試要求：讀懂題意，獨立思考，先想一想，再寫一寫或畫一畫。

測試結果：33名同學用圖形、圖示、文字、符號等方式進行了解答，有2名同學無從下手。未給出答案或沒有考慮到同時打電話可以節省時間的人占28.6%；能考慮到接收到通知的學生可以同時打電話給其他同學占5.7%；能考慮到老師和學生可以同時打電話給其他同學，但仍有空閑占17.1%；能考慮到老師和學生可以同時打電話給其他同學，且沒有空閑占48.6%。

2.基于學情，精準施教。

課前調研，目的有二：一方面了解學生的真實想法和學習起點。在前測中發現，前兩個水平層次超過了30%，達到SOLO認知水平三即多點結構層次的學生有17.1%，達到SOLO認知水平四即關聯結構層次的學生達到了48.6%，第五個水平層次的學生一個也沒有。可以看出學生在策略的選擇上還是有一定的想法和基礎，但在圖示表征上卻存在著或多或少的缺陷，如表達過于繁瑣、圖示中缺少時間標注、過程不夠清晰等情況，此外還沒有達到抽象模型概念化水平。這些都為本節課的教學提供了寶貴的教學資源，也讓筆者意識到，將圖示表征優化，積累數學經驗，這是學生所需求的，也是他們今后學習數學非常重要的一種方法，同時還要通過教學使學生朝著更高的抽象化水平發展。另一方面以前測為素材展示給學生，用以對比、分析，針對性更強，節省了寶貴的課堂教學時間，提高了課堂效率。

二、思維可視，推進系統生長

借助SOLO分類評價理論進行水平層次分析后，筆者以撬動深度學習的杠桿解——思維可視化教學策略為抓手，把原本不可見的思考結構、思考路徑、思考方法展現出來，助力“數學理解層次”這一路徑系統生長。

1.建構衍生，單一到多元。

要讓那些僅憑直覺、思考單一的學生從第一、二階段上升到多點結構水平的第三階段，關鍵是通過思維可視，把抽象知識圖像化，把知識結構直觀化，從而發現本質屬性。

（1）聚焦“共讀”，突出個性特征。

我們可以發現前測中最主要的其實只有三種方法，即“7分鐘方案”、“4分鐘方案”和“3分鐘方案”。前測中的這三種情況只是個體的想法，在課堂上教師應該轉化為群體的“共讀”，讓學生明白原理，這樣才更有利于經歷探索最優化方案的過程。

【片斷1】解讀三種方案。

圖1

圖2

圖3

師：同學們課前已經解決過了打電話這個問題，老師進行了整理和分類，大致有這么三種方案。你看得懂嗎？

生1：圖1，老師一個接一個打電話通知學生，通知7位學生共需要7分鐘。

生2：圖2，第1分鐘：老師通知學生一。第2分鐘：學生一通知學生二，老師通知學生三。第3分鐘，學生三通知學生四，老師通知學生五。第4分鐘：學生五通知學生六，老師通知學生七。4分鐘內，7位學生都收到通知。

生3：圖3，老師在第1分鐘通知1個學生，第2分鐘老師又去通知一個學生，第1個學生通知又一個學生，第3分鐘老師再通知一個學生，剛才的2個學生也去通知（說的時候斷斷續續，不斷地配著手勢）……

生4：我被你弄暈了，到底誰打給誰啊？

生3：那我上來指一指，不指還真說不清楚（邊說邊走上講臺）。

（2）逐步完善，優化表征方法。

從“共讀”方案這個環節筆者發現，前兩種方案學生解讀起來比較輕松，在3分鐘方案的解讀中遇到了一些困難。其實在前測中，有3分鐘畫得很完美的學生，但是非常少，更多的是像圖3這樣有待修正的表征。這正是學生的難點所在，也是本節課很好的切入口。

【片斷2】優化“3分鐘方案”。

師：看來3分鐘的這種方案無論是觀察，還是表達都有些困難，請大家動動腦筋，看有什么方法可以讓大家一眼就看清楚，每一分鐘是打給誰的呢？

生1：我仿照圖1，在○內寫上數字編號表示學生，這樣的圖別人易懂。

生2：我借鑒圖2，用一、二、三等數字表示學生，用1、2、3等數字表示第幾分鐘，便于表達。

師：這位同學把剛才前面兩種方案中編號的方法用到3分鐘方案，使表達更加方便，能夠舉一反三，真棒。我們再想一想，畫圖的時候除了編號，還有什么辦法能讓別人一眼就看清楚每一分鐘的變化？怎樣改進比較好？

生3：還可以把每一分鐘新收到通知的學生放在同一列對齊，這樣更加清楚。

師：太棒了，那么就請同學們發揮聰明才智，在練習紙上再畫一畫，使你的畫圖更加清楚、更加完美。

學生修改后選取典型作品展示，全班交流。

從學生后期的作品中筆者發現，正是因為有了前面不能方便地“觀察”、“表達”這種內需，才能更好地激發學生去質疑、去思考、去完善。讓畫圖從錯到對、從粗到細、從模糊到清晰，在不斷嘗試、反思、分析的過程中，優化表征方法。在畫圖的過程中初步認識到每分鐘新通知的人數就是上一分鐘知道消息的總人數，為建立數學模型積累豐富的數學活動經驗。

2.關聯整合，散點到聯法。

從第三階段到第四階段，是一個較大的飛躍，關鍵是通過思維可視，把隱性知識顯性化，把解題規律模型化，通過關聯整合，從知識層深入到理解層。

（1）分層對比，提煉關鍵要素。

通過畫圖表征、說理，理解各種方案內涵，剖析各種方案的設計原理，在對比中明晰最優化方案。在這里，三種方案涉及到兩個層次，第一個層次：“7分鐘方案”只有教師在逐個通知，其他兩個方案都是教師和學生同時通知；第二個層次：3分鐘的方案不僅是同時通知，還不空閑。因此就需要將三種方案進行分層對比，在互譯的過程中進行進一步體驗，形成知識的結構化。

【片斷3】對比三類方案，明白“最少”時間的關鍵。

師：很好，大家對原有的圖又有了新的改進，這樣可以使我們的思維更加清晰。那么對于這三種方案你有什么想說的？哪種比較費時，其他幾種呢？

（1）三類分兩類（提煉“同時”）。

師：為什么后兩種方案可以節省時間？

生：第一種只有老師在打，后兩種是師生共同參與。（板書：同時）

（2）4分變3分，少在哪里（提煉“不空閑”）。

師：后兩種方案老師和學生都同時打了，第三種方案為什么會少1分鐘呢？少在哪里呢？

生：圖2的方案，老師通知4位學生，其中3位學生各通知1位學生，還有學生二沒有發揮作用。

生：圖3的每一位先收到通知的學生都不空閑。圖1的學生都是空閑的，圖2在第3分鐘內，學生二出現空閑狀態。

師：最優的方案是，充分發揮每一位同學的作用，沒有人空閑。（板書：不空閑）

師：還有沒有比3分鐘更少的？為什么？

生：每位同學都發揮了作用，不閑著，所以3分鐘最省時。

師：2分鐘后收到信息的4個人都在打電話，所以3分鐘最省時。那第4分鐘又有多少人接到新的通知呢？為什么？第5分鐘呢？

生：第4分鐘8人接到新通知，前面已經知道的8個人可以同時通知。

師：第9分鐘呢？

生：一下子算不過來啊。

（2）歸納推理，理解數學模型。

數學模型的真正建立必須依賴于學生自己的歸納，在教學中，筆者并沒有直接問學生發現了什么規律，而是讓學生思考“第4分鐘新通知了多少人”，讓學生再次自覺運用“讓知道消息的人都去通知”這個問題的本質去進行解釋。然后教師再讓學生思考：“9分鐘一共通知了多少人？學生從初悟規律的小竊喜，一下就被“卡住”了，這時適時出示表格，引導學生探究奧秘，自然而然地歸納出數學模型。

【片斷4】填寫表格，探索“打電話”的規律。

師：看來第9分鐘同學們遇到了些困難，那么就請同學們帶著這個問題填一填表格，看看能不能發現其中的奧秘所在。

時間（分）123456789知道通知總人數248163264128256512知道通知總學生數137153163127255511

學生填寫表格（讓填完的一個學生板書）。

師：你是怎么想的？

生1：我發現知道通知總人數-1=知道通知總學生數。

生2：我還發現下一分鐘接到通知總人數是上一分鐘知道通知總人數的兩倍。

反饋時教師適時提問：第3分鐘的8人怎么來的？學生數呢？第6分鐘呢？

生3：第3分鐘的8人是第2分鐘知道通知的總人數乘2，也就是2×2×2，也就是3個2相乘。

生4：第6分鐘知道通知的總人數就是6個2相乘。

師：那你知道n分鐘知道通知的總人數嗎？

生5：n個2相乘，我在課外書上看到過，就是2的n次方。

生6：知道通知學生的總數就是2的n次方－1。

3.深化突破，直觀到抽象。

從關聯結構的第四階段到拓展抽象的第五階段，關鍵是通過思維可視，把零散知識系統化，把核心知識發散化，從而讓思維的路徑更加清晰。

（1）活化資源，豐富表征載體。

利用表格表征，學生能較好地理解模型。但反過來，告知通知的人數求時間，逆向思考是有一定難度的。“打電話”的區間感受比較抽象，僅僅通過表格這種“文字表征”的圖示化是不夠的。利用數軸，豐富表征載體，將時間和學生數聯系起來，更加直觀。進度條的設置，也讓學生更好地感受到哪怕比每一分鐘人數的最大值多1，也應該算在下一分鐘。

【片斷5】結合數軸，探索區間中“片”數量。

填一填：通知28個小義工，如果老師采用打電話的形式，每分鐘通知1人，至少需要（）分鐘才能通知到每一個人？如果通知64個小義工，需要（）分鐘呢？

生1：通知28個義工需要5分鐘，因為4分鐘的時候總共也就16個人知道通知。通知64個小義工需要6分鐘，表格里可以找到。

生2：第6分鐘可以通知第32人~63人，它是有范圍的。所以通知28個小義工是5分鐘，通知64個小義工不是6分鐘，6分鐘的64人還得把老師除掉。

師：64個小義工需要幾分鐘大家有點爭議，那我們請數軸來幫幫忙吧。

師：我們知道，老師知道信息后，第1分鐘通知了1個人，第2分鐘又新通知了2個人……看一看數軸（圖4），你有什么發現？

圖4

圖5

生3：我發現每分鐘新知道通知的人數在翻倍。

生4：同一分鐘的人數顏色相同，翻倍的正好是前一分鐘知道通知的總人數。

師：老師的上面為什么標著0？第2分鐘總共有4人知道信息，為什么標3？

生5：因為老師去通知別人的，所以算學生數得把他除去。

師：第5分鐘呢？標31還是32？

師：下一次標在哪里？老師用進度條表示，哪里停由你們提醒老師。（圖5）

師：64個人是第幾分鐘？

生6：64個人應該是第7分鐘。

（2）挖掘內涵，彰顯思維價值。

在數軸的圖示表征中，學生已經到達了一個興奮點。這時就要抓住契機，進一步挖掘“數軸表征”內涵，通過猜想、推理、驗證，讓“倍增”潛移默化地植入學生心中，推動發展性理解。

【片斷6】數形結合，理解倍增。

（1）如果老師采用打電話的形式，每分鐘通知1人，30分鐘最多大約可以通知（）人？

①1000②100萬③10億

師：通知64個人需要7分鐘，猜一猜30分鐘可以通知幾個人？

生1：我覺得人數很多，可能會有1000人。

生2：下一分鐘新收到通知的人數應該是之前的人數乘2，要乘好多個2。所以我覺得數很大，可能會是100萬。

師：連續不斷地乘2，30分鐘要乘幾次？（2的30次方）

圖6

師：這里有一張工具量表，讀一讀這個數字。230=1073741824（圖6）。

生3：天吶，居然可以通知10億多人，太難以想象了。

師：我國人口13．9億，幾分鐘能都通知到？在2的30次方和2的31次方之間，所以時間是31分鐘（圖7）。31分鐘通知到全中國人，你有什么感覺？

圖7

師：那70億人呢？（倍增）

小結：想想不可思議，實際上是真實規律。

在思維可視化策略的支持下，以形象直觀的圖示和動態的展示過程，形成特有的教學路徑，從而提高數學理解層次，促進學生深度學習，為數學學習積累基本數學活動經驗。這就是讓學生終身受益的教學路徑。