從形美出發向神美邁進
——《點陣中的規律》教學實錄（二）

魏峰

【教學內容】

北師大版五年級上冊第98頁。

【教學過程】

一、課前交流

師：今天的數學課就從好玩的圖片開始，（如下圖）你看到什么了？

（圖一讓學生通過不同的角度看到兩張側臉和瓶子，圖二通過旋轉得到不同的人臉）

二、設疑導入

師：你能在10秒鐘內說出下面式題的答案嗎？

師：同學們是不是覺得這是不可能的事情呢？今天我們就是要把這種不可能變成可能，變成一定能。

三、探求規律

1.引入點陣。

師：（課件出示10×10閱兵實景圖）同學們都見過閱兵的場景嗎？今天我們學習的圖形就隱藏在這些圖中，你看這些士兵的隊伍排得多整齊，如果把一個士兵看作一個點，那么這個兵陣就變成了一個點陣。這節課我們一起來研究點陣中的規律。（板書課題）

師：這個正方形有點大，我把它變小一點，可以去掉一些點，（邊演示邊問）去掉了多少？再去掉一些，又去掉了幾個點？……

2.探索正方形點陣排列的規律。

●活動一：

屏幕上出現4×4的點陣。

師：現在這個點陣簡單多了，你會列式計算出這個點陣嗎？

生：4×4。

師：按這樣的排列規律，前面一個點陣是什么樣的？再前面的呢？看來這組點陣有規律啊，到底有什么規律呢？誰來說一說？

生：這些點陣都是正方形，每行的點數與每列的點數相同。

生：從左往右看，后一個點陣的點數都比前一個點陣的點數多。

師：圖中的四個點陣各有幾個點？

生：第一個點陣有1×1＝1個點，第二個點陣有2×2＝4個點，第三個點陣有3×3＝9個點……

師：這組算式有什么共同的特點呢？

生：是第幾個點陣，每橫排就是幾個點，算式就是幾乘幾。

師：那么第五個點陣呢？第十個點陣呢？第n個點陣呢？

（板書：n×n）

小結：剛才我們是橫著看每排有幾個點和有幾排，很快算出了每個點陣中的點子數。是第幾個點陣就用幾乘幾。

●活動二：

師：剛才我們用橫線分的方法發現了點陣中的規律，那么能不能換個角度觀察和思考，也用一組有規律的算式表示這一組點陣中的點子總數呢？這個任務我們分小組合作完成。

（學生自主或合作探究，教師巡視了解情況）

◆展示交流1：

生：我是用斜線劃分的。

師：用斜線劃分了幾個區域？每個區域的點子數是什么樣的規律呢？這組算式有什么共同的特點呢？

生：如第二個點陣就從1加到2再加回來，第3個點陣就從1加到3再加回來……

生：就是從1開始，連續的自然數相加，是第幾個點陣就加到幾，再反加到1。

◆展示交流2：

師：大家還有不同的方法嗎？還能換個角度去思考嗎？

生：我是用折線拐彎分的。如第二個點陣，用折線把點陣劃分了2個區域，點子總數是1＋3＝4。

師：第三個點陣呢？

生：點子總數是1＋3＋5＝9。

師：第四個點陣呢？

生：點子總數是1＋3＋5＋7＝16。

師：每個點陣的算式有什么規律呢？

生：都是奇數相加。

師：從奇數幾加起？加幾個？是隨意的幾個奇數相加嗎？

生：從奇數1加起，連續的奇數相加。

生：不是隨意的幾個奇數相加。

生：第幾個點陣就從1開始加幾個連續奇數。

小結：用折線把點陣分為了幾個區域，每個區域的點子數都是奇數個，算式都是從1加起，是第幾個點陣就加幾個連續的奇數。

3.回顧方法。

師：（大屏出示點陣圖，三種算式）回顧一下，我們一開始是怎樣研究點陣的？是化繁為簡，從10×10的點陣簡化到4×4、3×3、2×2、1×1。我們用橫著看、斜著看、折著看三種不同的方法、不同的角度發現了不一樣的規律。如果點陣繼續增加是不是還會有這樣的規律呢？那我們一起試著往后再看一個點陣圖好嗎？后一個點陣是幾乘幾呢？

生：橫線分，列式為5×5；斜線分，列式為1+2+3+4+5+4+3+2+1；折線分，列式為1+3+5+7+9。

師：為什么三個不同的算式的結果都是25？

生：都是同一個點陣。

師：你喜歡哪一種方法？為什么？

生：我喜歡第一種方法。因為計算簡便。

師：這三種算式有什么內在聯系？

生：對于算式“1+2+3+4+5+4+3+2+1”我們可以用移多補少的方法變成5個5相加，就是5×5。

生：對于算式“1+3+5+7+9”我們也可以用移多補少的方法變成5個5相加，也是5×5。

師：由于觀察的角度不一樣，對于同樣一個點陣（教師指向第五個點陣），算點子總數：橫著看算式是5×5，斜著看算式是1+2+3+4+5+4+3+2+1，折線拐彎看算式是1+3+5+7+9。但結果都是25，還發現三個算式有內在聯系，正所謂“橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同，只要移多補補少，大小相等皆明了”啊！

師：第六個點陣你能用三種方法列出算式嗎？第九個呢？第n個呢？

四、內化規律

1.10秒鐘挑戰極限。

師：現在是一開始出現的10×10點陣圖。下面的算式你能快速算出結果嗎？

1+2+3+4+5+……10+……+4+3+2+1=？

1+3+5+7+9+…19=？

師：你怎么這么快？

生：這兩個算式就是我們自己研究的斜著看和折著看的計算方法。

師：10秒挑戰還有最后一題，誰來試試？

生：10000。

師：就是幾乘幾的點陣？

生：100×100的正方形點陣。

師：了不起。看來不可能的事同學們居然做到了，把有規律的算式與點陣建立了聯系，數形結合，化難為易，化抽象為形象。數形結合是一種非常重要的數學思想。（板書：數形結合）接下來，我們繼續接受挑戰吧！

2.下面各點可以擺成正方形的點陣嗎？

A：32個點B：36個點C：48個點

D：81個點E：100個點F：1000個點

師：36個點是幾乘幾的點陣？81呢？100呢？

3.連一連。

五、總結提升

1.回顧總結。

師：學完本課，有什么收獲？

2.拓展延伸。

師：除了剛才我們看到的正方形點陣、三角形點陣、長方形點陣這些平面上的點陣，數學家還將研究領域拓展到空間中。（課件出示以下平面及空間點陣）漂亮吧，可以說點陣應用于生活的方方面面，生活中處處有數學。

師：同學們，我們要學會用數學的眼光去觀察世界，用數學的思維去思考世界，用數學的語言去表達世界。