注重模型思想解決數學問題
——以《積相等（二）》一課為例

湯雷萍

模型思想是《數學課程標準（2011年版）》中十個核心詞之一，是學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑。在教學中怎樣讓學生經歷模型思想的建立過程？怎樣讓學生學會用模型思想解決現實生活或具體情境中抽象出的數學問題？這是這節課需要思考的核心問題。因此在教學設計中緊緊圍繞模型思想創設教學環節，將常見的工程問題、單價問題、速度問題緊緊與幾何模型相關聯，引導學生尋找具體情境中的數量關系，并通過與幾何模型建立聯系，體會并逐步建立模型思想。

【教學過程】

一、借助幾何圖形找模型

師：（出示1個正方形）老師變個魔術，（變成2個正方形）它們的大小是一樣的。現在我把①號正方形平均分成3份，②號正方形平均分成4份，你能根據圖寫出一個等量關系式嗎？

師：你們能看懂這個等量關系式嗎？誰能來解釋一下？

生：長方形乘3就是①號正方形，三角形乘4就是②號正方形，①號和②號是相等的，所以這個等式成立。

師：假如①號正方形中1個長方形表示8，則②號正方形中1個三角形表示多少？

生：先算出①號正方形，3×8=24，②號正方形和①號正方形一樣大，所以24÷4=6。（板書：3×8=24，24÷4=6）

師：利用剛才的等量關系，老師這樣寫能理解嗎？

（板書：8×3=△×4）

生：可以。1個△=8×3÷4=6。

【設計意圖：本節課的重點是讓學生能借助幾何圖形來建立積相等的數學模型，理解積相等關系，進而解決生活中的一類數學問題。教學先讓學生從兩個相等的正方形中尋找等量關系，寫出積相等的式子，再有意識地利用積相等關系去解決相應的數學問題。幾何直觀是解決問題強有力的工具之一，從幾何圖形的關系中引入，為學生解決問題提供表象和方法的支撐。】

二、探究問題，進一步建立模型思想

1.合作學習。

師：這節課我們繼續用積相等的知識來解決生活中的數學問題，請看問題，根據題目意思寫出等量關系式，再列式解答。

（1）出示題目：加工一批零件，師傅每天加工28個，3天可以完成。如果讓徒弟單獨加工需要4天才能完成，徒弟每天加工多少個零件？

（2）集中反饋學生的作業。

師：請先觀察這幾個等式，你同意嗎？你認為最能體現題目意思的是哪些等量關系式？

生：我不同意第②種方法，雖然這個數量關系公式是對的，但是沒有最佳體現題目意思，這也不是一個等量關系式。

生：我同意第③種方法，他用圖表示出了師傅3天做的總量=徒弟4天做的總量。

生：我同意第①種方法，師傅3天做的就等于徒弟4天做的，和第③種方法一樣。

生：我認為第④種方法也很好，和第①種方法意思相同。

師：也就是說，其實方法①③④要表達的意思是一樣的，那選一個關系式的話，我們選——

生：第④種方法，積相等的關系式。

【設計意圖：讓學生在具體情境中尋找并表征等量關系，在比較中得出積相等關系式，逐步滲透模型思想。】

師：（板書：師傅每天加工的×3天=徒弟每天加工的×4天）這又是一個積相等的關系式。請觀察，與剛才圖形中得到的積相等關系式比較，有什么聯系？

生：師傅每天加工的就相當于①號正方形中的1份，3天就是3份，而徒弟每天加工的則是②號正方形中的1份，4天就是4份。他們加工的總量是相等的。

生：（指著黑板板書說）①號正方形中的1個長方形就相當于師傅每天加工的28個，3個長方形就是3天；②號正方形中的1個三角形就相當于徒弟每天加工的數量，4個三角形就是4天，師傅和徒弟的總量是相等的。

【設計意圖：結合具體情境問題，把等量關系式與幾何圖形中的等量關系式進行對比，尋求關聯，溝通代數表達式和幾何模型，豐富學生對積相等的關系理解，并積累數量關系分析的經驗和工具，有利于促進學生對數量關系的概括和推理。】

2.自主學習。

師：積相等的知識可以解決很多問題。先補充問題，再寫出等量關系式，最后解決問題。

出示：一筆錢可以買單價50元的A商品12件，B商品單價是60元，__________？

生：我找到等量關系式是：A商品單價×12件=B商品單價×（），它們的總價相等。所以先求總價，再除以單價就等于數量。

師：我們又得到了一個新的等量關系式，［板書：A商品單價×12件=B商品單價×（數量）］那么這個等量關系式跟剛才的幾何圖形中的等量關系有聯系嗎？

【設計意圖：學會學習就是學會遷移與應用。基于之前學習中掌握的知識和積累的經驗，學生能比較容易地補充所求的問題，并且順利寫出數量關系的等式。學生能正確地補充問題，說明已掌握數量之間的積相等關系，能夠在水平變化的情境中進行識別和應用。】

三、拓展練習，鞏固模型思想

1.自主編題：從杭州東站到上海虹橋機場，小汽車的速度是84千米/時，中巴車的速度是56千米/時，小汽車需要行駛2小時，中巴車需要行駛3小時。

學習要求：（1）根據提供的信息，把其中一個信息變成問題，編一道題目。（2）先寫等量關系，再解答。

2.尋求聯系：結合幾何圖形，說說有什么聯系？

【設計意圖：自主編題對數量關系的分析要求進一步提高，特別地，在不同的問題情境中講述相同數量關系的故事，需要一定的抽象能力。讓學生根據速度×時間=路程這個數量關系，路程一定，則可以得出“小汽車速度×2小時=中巴車速度×3小時”這個等量關系式，只要已知其中三個信息，則可以求出另一個信息。把講述不同故事的應用問題與幾何圖形建立聯系，充分利用幾何直觀理解數學模型。】

3.結合板書，回顧：有人說，今天我們做了四道題目，有人說，其實我們只做了一道題。對此，你能說說自己的想法嗎？

（學生觀察思考后很快發現工程問題、單價問題和路程問題這三道題都可以和幾何圖形題聯系起來，都用了積相等的知識）

【設計意圖：歸納、概括出一類問題的統一模型，突顯積相等的模型，強化學生的模型思想。幾何直觀在模型思想的建立中發揮了獨特的作用。】