一道習題引發的思考
——《數圖形》教學與反思

徐登池

【教學內容】

蘇教版四年級上冊練習十三第2題。

【教學過程】

一、復習舊知，引入新課

師：數一數，下圖中有多少條線段？在作業紙上用不同顏色的彩色鉛筆圈畫。

展示學生作業。

生：有AB、AC、AD、BC、BD、CD，一共6條。

生：AB、BC、CD、AC、BD、AD，也是6條。

師：兩位同學匯報時都說得很有序。我們在數線段的時候，有兩種數的方法，可以從最左邊的一個點依次數，還可以從最短的一段一段地數。

師：我們已經學會了數線段的方法。在平時的學習中，還會遇到數角、數三角形、數長方形。今天這節課我們繼續來研究數圖形的知識。

【設計意圖：通過復習二年級的數線段的知識，幫助學生回顧之前所學內容。以往教學中，都是用鉛筆連一連、畫一畫，學生在觀察的時候不容易區分。本節課通過用不同顏色的彩色鉛筆畫，呈現學生不同的畫法，讓他們看得更加一目了然，同時也復習了兩種數的方法，為本節課的內容做好知識遷移?！?/p>

二、探究方法，發現規律

下圖各有多少個角？

教師提出要求：先畫一畫，再數一數，并用算式表示。把你的想法記錄在作業紙上。

預設學生出現的方法：

（1）無序。會有遺漏的。

（2）有序。①從一條邊數起。②從一個角組成的角數起。

師：（呈現一個無序的作業）這樣畫可以嗎？

生：不行，有漏掉的。

師：為了做到不重復、不遺漏，我們要有序地數。

師：（呈現兩種有序的不同的畫法）說說你們是怎樣有序地數出角的個數的？

生：我以圖②為例，從最左邊的這條射線數起，有3個角；再從左邊第二條射線數起，有2個角；最后從左邊第三條射線數起，有1個角。一共有3+2+1=6個角。

生：我以圖③為例，最小的角一共有4個，兩個小角組成的稍大一點的角有3個，三個小角組成的再大的角有2個，四個小角組成最大的角有1個，一共有4+3+2+1=10個。

師：（兩位同學邊指邊說）大家聽明白了嗎？

生：（齊）明白了。

師：仔細觀察這兩位同學的作業，你有什么發現？

生：我發現數角和數線段是一樣的。

生：都有兩種不同的數法?？梢詮囊粭l邊數起，也可以從一個角組成的角數起。

師：（追問）仔細觀察射線的條數和算式，你有什么發現？

生：我發現算式都是從一個數開始，每次加的數比前一個數少1，一直加到1。

師：（指著算式）第一個數這里是2，這里是3，這里又是4。怎么回事？

生：第一個數比射線的條數少1。

生：先數出射線有幾條，然后減去1，最后再依次加到1就可以了。

師：如果有n條射線，一共可以組成多少個角？你能像這樣用算式表示嗎？

生：1+2+3+4+5+6……加不完。

生：可以加完，應該是1+2+3+…+（n-1）。

師：根據上面三幅圖得到的這個結論，僅僅是我們的猜想，需要打個問號。到底成不成立，還需要進一步舉例驗證。

出示要求：自己在作業紙上畫，比黑板上的射線條數要多。

生：（邊說邊指）我畫了7條射線，一共有6+5+4+3+2+1=21個。

生：我畫了6條，一共有15個。

……

師：有沒有同學舉的例子不符合這個規律的？

生：（齊）沒有。

師：那剛才猜測的這個規律是存在的，n條射線組成圖形的角的總個數=1+2+3+···+（n-1）。

師：剛才用畫一畫、數一數的方法找到了射線的條數和角的個數之間的規律。

【設計意圖：讓學生經歷有序數的過程，形成有序思考的思維品質。同時，也讓學生初步感受數角的方法和數線段的方法類似。并通過對比，發現規律。最后讓學生經歷“提出猜想—舉例驗證—得出結論”的規律探究過程?！?/p>

三、直接運用規律

1.數三角形。

（1）第一層次。

課件演示：出示一個點A，再出示一條由若干條線段組成的圖形，然后A點和線段上的五個點依次連接。

師：你能用剛才數角或數線段的方法很快數出一共有多少個三角形嗎？

生：我發現數三角形和剛才的數角是一樣的。

生：可以從最左邊的三角形數起，△ABC、△ABD、△ABE、△ABF；再從左邊第二個數起，△ACD、△ACE、△ACF；以此類推，還有△ADE、△ADF、△AEF。一共10個三角形。

生：還可以這樣數，最小的三角形有4個，分別是△ABC、△ACD、△ADE、△AEF；第二小的有3個，分別是△ABD、△ACE、△ADF；較大的有2個，分別是△ABE、△ACF；最大的有1個，△ABF。一共也是10個。

師：現在來看看，數三角形和數線段、數角在方法上有什么相同點？

生：數三角形的方法和數線段、數角是一樣的。

（2）第二層次。

師：剛才好多同學覺得數角和數三角形太簡單了，現在老師要增加難度，想不想挑戰？

提問：如果再加一條線段，你知道一共有多少個三角形嗎？加兩條呢？看誰算得快！

生：拆分。如：把左圖拆成兩個大三角形，右圖就拆成三個大三角形。然后按照數線段或數角的方法數。

（4+3+2+1）×2=20

生：橫著數和斜著數結合起來。如左圖，最下面的一條線段上有BC、BD、BE、BF、CD、CE、CF、DE、DF、EF共10條線段，斜著數有AG、AB、GB共3條線段，但這里只有AG、AB兩條線段可以與橫著的線段組成三角形。

師：為什么GB這條不算？

生：因為下面組成的是梯形，不是三角形。由此得出一共有：10×2=20個。

師：原來，數三角形和數角的方法是一樣的。本來很復雜的問題，找到規律就變得容易了。

【設計意圖：通過數三角形的個數，使學生進一步體會到按一定的規律去數可以不重復、不遺漏，同時感受到數角和數三角形的方法的相同之處。并抽象出算式模型，進一步培養思維的靈活性和有序性。同時，在原有知識的基礎上，歸納總結數多行圖形的方法，并讓學生逐步掌握遇到復雜圖形時，如何能有序、不重復、不遺漏地數?！?/p>

四、靈活運用規律

1.數長方形。

師：在平時的學習中，還會遇到有關長方形的問題。

（1）下圖中一共有多少個長方形？

生：我是先數長上面有6個長方形，寬上面有3個。一共就是3×6=18個。

師：為什么寬上面有3個？我只看到了2個??？

生：上下兩個小長方形可以合成一個大長方形。

師：原來還隱藏了一個，我們在數的時候可要數仔細了。

生：我還可以當成數線段，長上面一共有6條線段，寬上面一共有3條線段，每條線段都對應一個長方形，一共是3×6=18個。

師：觀察這兩個圖形，從外形看都是兩層，為什么一個是每層的個數乘2，另一個是每層的個數乘3？

生：長方形中上面和下面兩個小的都是長方形，上下合起來的圖形也是長方形；而三角形的下面部分不是三角形。所以一個是每層的個數乘2，另一個是每層的個數乘3。

師：如果再加一行呢？你是怎么數的？

生：6×3=18個。

生：6×4=24個。

生：不對，寬上面不是3個，也不是4個，而是6個，應該是6×6=36個。

師：到底誰對誰錯？問題出在哪里？

生：我來上去指一下。

師：看明白了嗎？

生：明白了。最小的長方形就有3個，兩個小長方形組成的長方形有2個，三個小長方形組成的大長方形有1個，一共有6個。

師：（追問）那你覺得在數的時候，要提醒大家注意什么？

生：一定要做到有序，這樣才能不重復，也不遺漏。

【設計意圖：通過數長方形的過程，讓學生感受到方法是一樣的，但是與數三角形是有區別的，數長方形時要注意一些隱藏的長方形，做到有序，不重復、不遺漏。這樣既充分調動了學生的學習積極性，又能使學生在原有的基礎上有更大的提高。】

五、拓展延伸

師：今天學習了數圖形，回憶一下，我們是怎么學習的？

師：希望同學們能運用今天學習的方法解決生活中更多更復雜的數圖形的問題。

【設計意圖：課堂總結不僅回顧了數線段、數角、數三角形、數長方形的方法，更重要的是讓學生體會到數學知識之間的聯系，數學方法靈活運用的樂趣，在學生心中“種”下了“有序思考”的數學思想?！?/p>

【課后反思】

本節課以《射線、直線和角》課后的一道習題為契機，把這一類的題型進行整合、分類，在教學中讓學生有了類意識，并能熟練掌握處理這一類問題的方法。從而在學習中不斷感受到數學知識之間的聯系，逐步建立數學模型，感受數學思想。

1.抓住本質，有序思考。

本節課以“數”為主，創設了不同的圖形。課中，重點調動學生的學習積極性，讓全體學生都主動參與到學習中。皮亞杰說過：“思維是從動作開始的，切斷了活動與思維之間的聯系，思維就不能發展?！闭n前，讓學生準備彩色鉛筆，目的是讓學生在畫的過程中能一目了然地看出其他同學數的方法，更能體現是否有序，同時也避免了重復、遺漏等問題。通過數角的活動，教師提出“你覺得他的方法好嗎？”“按這樣的方法數一數有什么好處？”隨著學生思維的碰撞，“不重復、不遺漏”水到渠成，在后期的學習過程中“有序”數學思考得以生根。

2.自主探索，遷移方法。

通過交流，學生已經初步掌握了數角的方法，并能合理地遷移到數三角形和數長方形的學習中。發現雖然圖形不同，但是數的方法是相同的。同時在學習數三角形和數長方形的過程中，進一步發現它們在數法上也略有不同，從而真正做到收放自如。

3.體現多種數學思想方法。

數學思想方法是數學的靈魂，數學方法的適當滲透比知識更重要。在這節課中體現了多種數學思想方法。

（1）“有序思考”。

在數角時，出示各種錯誤資源，讓學生評價、討論有什么好的辦法可以不重復、不遺漏，學生給出按順序、分類數，很好地體現“有序思考”的數學思想。

（2）“化繁為簡”。

在課的一開始，通過數角、數簡單的三角形，學生掌握了數的方法，在學習數多行三角形時，學生發現不需要再一條一條畫了，可以用算式直接表示。通過從簡單的問題開始研究，給學生滲透“化繁為簡”的數學思想。

總之，本節課能夠在教材的基礎上，創造性地整合教材，充分發揮學生的主體地位，讓學生親歷探索的過程，使學生掌握有序思考的方法，體會到學數學、用數學的樂趣，使數學核心素養真正在課堂教學中落地生根。

（“第十二屆小學教學特色設計大賽”獲獎作品選登）