用好數軸不言“愁”

文江蘇省無錫市梅里中學七年級（13）班 甄 璽

進入初中后，我們學習了有理數這一章。有理數這個名字聽起來比小學里學的內容高大上了許多，它是整數（正整數、0、負整數）和分數（正分數、負分數）的統稱，是整數和分數的集合。在這章里，我們還認識了有理數的好朋友——數軸，它幫助我們解決了很多困擾，讓我們一起來看一看吧！

例1數軸上表示數m與n的點之間的距離可以表示為|m-n|。

（1）若|x- 5|=3，求x的值。

（2）A、B為數軸上的兩個動點，點A表示的數是a，點B表示的數是b，且|a-b|=6（b＞a）。點C表示的數是-2。若A、B、C三點中的某一個點到另外兩個點的距離相等，求a、b的值。

【解答】第（1）題很簡單。|x- 5|=3表示代表x的點到代表5 的點之間的距離為3，所以x=2或8。

第（2）題因為|a-b| =6（b＞a），所以點A和點B之間的距離為6，點B在點A的右側。題目中并沒有說A、B、C哪個點在中間，所以要分類討論。

如圖1，若點C到點A與到點B的距離相等，因為點C表示的數為-2，|a-b| =6，所以點A與點B到點C的距離都是3。則a=-2-3=-5，b=-2+3=1。

圖1

如圖2，若點A到點C與到點B的距離相等，因為點C表示的數為-2，AB之間距離為6，所以a=-2+6=4，b=a+6=10。

圖2

如圖3，若點B到點C與到點A的距離相等，因為點C表示的數為-2，所以b=-2-6=-8，a=b-6=-14。

圖3

綜上所述，a=-5，b=1 或a=4，b=10 或a=-14，b=-8。

由此看來，做有關數軸的題目時，一定要細心。別看數軸表面平淡無奇，也許暗藏玄機，不止一解呢。

例2在數軸上A點表示數a，B點表示數b，C點表示數c，b是最小的正整數，且a、c滿足|a+ 2|+（c-7）2=0。

（1）a=______，b=______，c=______；

（2）若將數軸折疊，使得A點與C點重合，則點B與數______表示的點重合；

（3）點A、B、C開始在數軸上運動，若點A以每秒1 個單位長度的速度向左運動，同時，點B和點C分別以每秒2 個單位長度和4 個單位長度的速度向右運動，假設t秒鐘過后，若點A與點B之間的距離表示為AB，點A與點C之間的距離表示為AC，點B與點C之間的距離表示為BC。則AB=______，AC=______，BC=______。（用含t的代數式表示）

（4）在（3）的前提下，請問：3BC-2AB的值是否隨著時間t的變化而改變?若變化，請說明理由；若不變，請求出它的值。

【解答】（1）b是最小的正整數，所以b=1。|a+2|+（c-7）2=0 是一個典型的“0+0”模型，因為|a+2 |≥0，（c-7）2≥0，所以a+2=0，c-7=0，則a=-2，c=7。

（2）折疊后點A和點C重合，則折痕表示的數到A和C的距離相等，所以折痕處表示的數是2.5，而B表示1，則與點B重合的點到2.5的距離也就等于1到2.5的距離，則與點B重合的點表示的數為4。畫出數軸則能一目了然，同學們不妨自己動手試一下。

（3）這一問條件比較多，畫一個數軸把條件標一下，如圖4，這樣可以很輕松地得出AB=3t+3，AC=5t+9，BC=2t+6。

圖4

（4）這一問有兩種做法，可以分別是從數的角度和形的角度出發。

從數的角度：由題可得，開始移動后，A表示-2-t，B=1+2t，C=7+4t。

所以3BC-2AB=3［（7+4t）-（1+2t）］-2［（1+2t）-（-2-t）］=12。因此值不變，為12。

從形的角度：由（3）可得，BC=2t+6，AB=3t+3。

所以3BC-2AB=3（2t+6）-2（3t+3）=12。因此值不變，為12。

在做一些信息量大，條件繁多的題目時，把條件標注在圖上，會簡單很多哦。有的題目不止一種解法，我們要善于選擇最簡單的解法。

怎么樣？看了這兩題后，是不是覺得借助數軸，題目會簡單了許多？快去找以前難倒你的題目試試看吧！

教 師 點 評

進入初中代數的開篇，同學們走進了有理數的世界，為了更好地探究有理數的相關知識，我們引進了一個新的數學工具——數軸。在數軸上我們進行了數的分類，數的大小比較；認識了相反數，絕對值；我們還研究了有理數的加、減、乘、除、乘方……然而，數軸上兩點間的距離問題與動點問題，卻是本章中最有難度和最為經典的題目。小作者從兩個點的距離，到三個點之間的距離，再到動點間的距離，逐步推進，由易到難，分別從數與形兩個角度對此類題進行分類解剖，可謂循序漸進，娓娓道來。只要大家細細揣摩，定能理清思路，掌握打開此類題的正確方式，也定能將有理數這一章學好學會！