廣東高職高考橢圓綜合題的解題舉例

文/佛山市順德區李偉強職業技術學校 韋 生

廣東省高職高考是招收中等職業學校畢業生的選拔性考試，數學科考試旨在測試考生對數學的基礎知識、基本技能和基本的數學思想方法的掌握程度，對知識的認知要求分為了解、理解和掌握三個層次。近幾年來，高職高考數學試題對橢圓知識的考查一般安排在第24題，是數學卷的壓軸題，其中，第2小題學生得分率低、區分度高，因此，如何教學橢圓綜合題，我們認為應注意以下問題。

一、正確理解概念定義，獲取解題思路

2015年廣東高職高考題第24題。

例1：已知中心在坐標原點，兩焦點F1,F2在x軸上的橢圓E的離心率為4/5，拋物線y2=16x的焦點與F2重合.

(1)求橢圓E的方程;(2)若直線y=k(x+4)(k≠0)交橢圓E于C,D兩點，試判斷以坐標原點為圓心，周長等于△CF2D的圓O與橢圓E是否有交點？請說明理由.

(1)直線y=k(x+4)(k≠0)交橢圓E于C,D兩點，包含以下事實：

隱含直線過橢圓的焦點F1，△CF2D周長等于=4a=20。

(3)判斷圓與橢圓是否相交辦法有兩種。

由以上解題過程可知，正確理解題設條件，揭示條件蘊含的數學事實是成功解題的基礎。

二、掌握基本技能，簡化解題過程

2019年廣東3+證書高職高考題第24題。

例2：已知橢圓的一個焦點為F(1,0)，且橢圓經過點P(0,1)，線段AB經過原點，A,B為橢圓上的點，且AF//PB.

(1)求橢圓的方程;(2)求三角形PAB的面積.

三角形PAB的面積怎么求？

首先，明確目標；

其次，選取解題方案：

求出AB距離，點P到直線AB距離，求出面積。

方法2：由橢圓以原點為對稱中心，上述解法改進為：

設點A(x,y),B(-x,-y),向量AF//向量PB，有y=x-1,又點A,B為橢圓上的點,

也可以挖掘題設，線段PB過橢圓的左焦點得出直線AB的斜率，求出三角形面積。

由上述幾個解題方案看出，課堂教學要注意強化學生的解題信心，其次要使學生熟練掌握相應題型的解題基本思路和基本運算技能。比如，方法1解方程組有一定難度，學生如果沒有強烈成功求解的欲望，就會容易放棄。方法2抓住橢圓為中心對稱圖形才能發現點A,B的坐標關系，才能夠成功解題。方法3需熟悉直線上點的橫縱坐標關系，才能夠成功解題。

三、掌握基本題型解法，增多解題方案

2018年廣東高職高考題第24題。

(1)求橢圓C的標準方程;(2)設點P為橢圓C上任意一點，求cos∠F1PF2的最小值.

與這類問題最有可能關聯的方法是轉化為二次函數求值或利用均值定理求解。

二次函數求法：

PF1+PF2=6,PF1=m,PF2=6-m

均值定理求法：

PF12+PF22=36-2PF1*PF2

當且僅當PF1=PF2=3時取等號，即最小值-1/3。

有些學生表示會寫表達式但不會討論。

方法1：由余弦定理，很容易書寫出cos∠F1PF2表達式，引入字母表示：

方法2需要熟悉均值定理，通過類比聯想到a2+b2≥2ab,a+b=6,但也需要通過對分式進行化簡求出答案。

在相應數學思想方法的指導下，熟練掌握基本題型解法基礎，可通過類比找到解題思路，增加解題方案，提高解題能力。上面的例題都需要化簡才能得出結論，因此教學應引導學生明確化簡目的，講清每一步的解題思路，才能接近解題目標，更好地培養學生的化簡能力。

又如2013年廣東高職高考題第23(2)題。在平面直角坐標系xOy中，直線x=1與圓x2+y2=9交于兩點A和B，記以AB為直徑的圓為C，以點F1(-3,0)和F2(3,0)為焦點，短半軸長為4的橢圓為D。(1)求圓C和橢圓D的方程。(2)證明：圓C的圓心與橢圓D上的任意一點的距離大于圓C的半徑。

四、等價轉化條件，簡化解題過程

2017年廣東高職高考題第24題。

(1)求橢圓的方程；(2)設點P為第一象限位于橢圓C上的一點，過點P和F2的直線交Y軸于點Q，若QF1⊥QF2，求線段PQ的長．

常規解法：

當解題思路受阻或運算過程過于繁雜，就應該回到題設，重新閱讀題目或將問題轉化、分解，結合解題目標，對條件、題設、相關定理、方法重新排列，獲取成功解題信息。

比如，通過觀察圖形，分解問題，得出新的解法。

如果注意力集中在焦距F1F2與∠OF2Q=45°,注意力集中在點P在橢圓，會聯想到橢圓的定義——PF1+PF2=6，進而合情合理地連接PF1,考慮三角形PF1F2,PF1+PF2=6,加之k=1,角PF2F1=135度，求PQ長變成求PF2+F2Q= PF2+2，從而得出新的解題方案：

在三角形PF1F2中，由余弦定理，設PF2=m,PF1=6-m,

五、注意聯想，獲取解題思路

2016年廣東高職高考題第24題。

(1)求橢圓C的方程；(2)求橢圓C上的點到直線L:y=x+4的距離的最小值和最大值.

“橢圓的參數方程”在中職教材作為選學內容安排，甚至沒有安排這部分學習，用方法1求解對學生來說有難度,因此，需探索新的解題思路，可以通過以前做過的類似題目尋找解題方案。

例6：求圓(x-4)2+(y+2)2=25上的點到直線x-y+2=0的最大距離和最小距離.

分析：圓心為(4,-2),圓心到直線x-y+2=0為d，數形結合知，圓上的點到直線最小距離為d-r,最大距離為d+r。

將上述方法直接運用，用原點替代圓心求出d，橢圓沒有半徑r,所以不存在d±r，由此探索新的解題方法：

數形結合，圓心到直線的距離與圓的交點應該是切點，如下圖所示。將圓上的點到直線的距離轉化為兩條平行線間的距離問題。

設與直線x-y+2=0平行的直線為x-y+m=0

例5新的解法為：平行線距離。將問題背景轉化為橢圓，即：

六、歸納總結，獲取同類問題解題方法

通過改變問題條件，修正解題方法，獲取一類問題的解法，提高學生分析解決問題的能力。

例7：

如果對題2條件改變，改為∠F1PF2=α，則得到更為普遍的結論。

數學問題的解決離不開知識、技能技巧、數學方法的積累，對中職學生來說，既要加強對知識的正確理解與積累，又要加強對解題活動的總結。結合上述實例借助圖形輔助的思路發現，體驗解題活動就是“動員與組織、辨認與回憶、分離與組合”知識方法的提取過程，因此，需要總結如何才能順利調動大腦已有的數學知識方法來解題，優化知識方法的“存儲”，達到易于“提取”的目的，從而提高解題能力。