基于FN—SPA模型的降雨徑流預測

黃建國，王東明

(1.安徽水利水電職業技術學院 基礎部，安徽 合肥 231603；2.皖西學院 金融與數學學院，安徽 六安 237012)

降雨徑流是指落到地面的降雨，除去蒸發、地表和地下調蓄的水量，通過地面徑流、表層流和地下流匯集到出口斷面的匯流過程。影響降雨徑流的因素很多，如降雨量、降雨時間、地形地貌、土壤濕度等等。因此，降雨徑流的預測是一個比較困難的過程。目前國內外降雨徑流的預測方法可歸納分為數學物理模型、概念模型和黑箱模型，如瞬時單位線法[1]、綜合單位線法、等流時線法、調蓄函數法、tank模型、人工神經網絡模型等等[2-3]，但各種預測方法都有一定的局限性。泛函網絡(Functional Networks，簡稱FN)是一種“灰箱”模型，具有很好的非線性逼近能力。集對分析(SetPair Analysis，簡稱SPA)具有很好的信息預處理能力。為了提高降雨徑流的預測精度，把泛函網絡與集對分析結合起來，提出了一種FN—SPA模型。計算機仿真結果顯示，與神經網絡模型相比較，在預測降雨徑流洪峰流量時，該模型的預測精度更高。

1 FN—SPA模型理論

1.1 泛函網絡簡介

1998年Castillo E.提出了泛函網絡[4]，它是對神經網絡的推廣。一個典型的泛函網絡模型主要組成如下：1)輸入單元層。它是輸入數據的一層單元，如圖1中的{x1,x2,x3}。2)泛函神經元。每個泛函神經元是一個計算單元，對一個或多個輸入的信息進行處理產生輸出，如圖1的{f1,f2,f3}。3)中間存儲單元。它存儲由神經元產生的信息，如圖1中的{x4,x5}。4)一個輸出層。輸出網絡的結果，如圖1中的{x6}。5)有向連接線。它們連接輸入層、中間層神經元和輸出層，如圖1中的箭頭表示，箭頭的方向表示信息流的方向。

圖1 典型的泛函網絡模型

1.2 泛函網絡學習算法

可分離泛函網絡為目前應用最廣泛的泛函網絡之一，可分離是指它的表達式為輸入變量分離作用效果的組合。用于FN—SPA模型的可分離泛函網絡如圖2，它的輸出函數為

(1)

圖2 用于FN—SPA模型的可分離的泛函網絡結構

利用最小化誤差平方和的方法來優化網絡系數aik，

(2)

式中，tj為第j個訓練模式輸出。

為了得到唯一的網絡表達式，需要給出一些泛函網絡的初始值。設泛函網絡的初始值為fi(x0)=ui0，i=1,…,n。

(3)

對(3)式求偏導，可得

訓練泛函網絡就是求解(4)、(5)組成的方程組。

1.3 集對分析

集對分析是趙克勤先生在1989年提出的一種處理不確定性問題的理論和方法[6]。四元聯系數是對組成集對的兩個集合特性作同一性、偏同性、偏反性和對立性分析，用聯系數來刻畫兩個集合的聯系程度，其聯系度的表達式為

(6)

式中，N為集合的特性總數；A為同一性個數；B為偏同性個數；C為偏反性個數；D為對立性個數；i∈[0, 1]；j∈[-1, 0]；k=-1。

1.4 FN—SPA模型原理

FN—SPA模型的輸入變量有總降雨量x1、降雨歷時x2、河道基流x3、單位時間平均降雨量x4，……，xn。把需要預測值所對應的輸入作為B集合，即B={x1,x2,…,xn}。將歷史資料時間序列樣本集的輸入分別作為At，即At={xt1，xt2,…,xtn}，t=1,…,m。按照聯系數的大小，在A1，A2，……，At中，尋找與B集合最為相似的k個集合，把這k個集合和其對應的輸出作為訓練集。由于訓練集的輸入與需要預測值的輸入條件類似，即減少了極端數據作為訓練樣本對預測結果帶來的不利影響，因此預測的結果相對會更精確一些。

2 FN—SPA模型算法

step 1. 預留部分歷史資料時間序列為檢測集。將最后l個歷史資料時間序列作為檢測集，其余的歷史資料時間序列都作為樣本數據。

step 2. 構建集對Bi與At。將檢測集中第i個預測值所對應的輸入作為集合Bi，即Bi={xi1，xi2,…,xin}。把各樣本數據的輸入作為集合{At},t=1,…,m，其中At={xt1，xt2,…,xtn}。

step 3.計算集合Bi與每一個集合At的聯系數。如果|Ati-Bi|≤15%Bi，認為分量Ati與分量Bi具有同一性；如果15%Bi<|Ati-Bi|≤25%Bi，認為分量Ati與分量Bi具有偏同性；如果25%Bi<|Ati-Bi|≤35%Bi，認為分量Ati與分量Bi具有偏反性；如果35%Bi<|Ati-Bi|，認為分量Ati與分量Bi具有對立性。逐一對集合Bi與每一個集合At的同一性、偏同性、偏異性和對立性進行分析，計算出Bi與每一個集合At的聯系數。按照聯系數的大小，在A1，A2，……，At中，找出與Bi集合最為相似的k個集合，將此集合與其對應的輸出作為訓練集。

step 4. 數據歸一化處理。歸一化方法：

(7)

式中，X為原始數據；Xmax為原始數據的最大值；T為變換后的數據，即目標數據。

step 5. 網絡訓練。首先給出任意兩兩相互線性獨立的函數組成的系統，即網絡基函數φ(x)=(φ1(x),φ2(x),…,φr(x))。其次，將訓練集中歸一化的數據輸入泛函網絡，進行網絡訓練，得到最佳的網絡參數。

step 6. 網絡逼近能力檢測。利用最佳的網絡參數，把Bi={xi1，xi2,…,xin}輸入網絡，得到所預測的第i個時間序列的洪峰流量。

3 計算機仿真

應用FN—SPA模型對降雨徑流進行預報的實例資料是來源日本一柳(Ichiyanagi)先生在日本中部大井川河上游某地區降雨徑流資料[7](P100-101)。將歷史資料分成樣本數據集和檢測樣本數據集，如表1和表2。

表1 樣本數據集

表2 檢測樣本數據集

計算兩個集合聯系度時，把總降雨量、降雨歷時、河道基流和單位時間平均降雨量作為集對的元素。(6)式中，i和j分別取0.5與-0.5。選取降雨歷時、河道基流和單位時間平均降雨量作為網絡訓練輸入變量。采用φi(x)=(1,x)作為泛函網絡的基函數。為了便于求解最優網絡參數，同時也發揮泛函網絡是灰箱的優點，設網絡函數為

(8)

式中，x為降雨歷時；y為單位時間平均降雨量；z為河道基流；ai為網絡參數，i=1,…,5。網絡的初始值設為：F(0,0,z)=z。

仿真的結果見表3。由表3可知，FN—SPA模型對降雨徑流洪峰流量預測的精度要高于人工神經網絡模型，說明FN—SPA模型預測降雨徑流洪峰流量是有效的，而且預測精度更高。

表3 預報誤差

4 結語

本文的FN—SPA模型是對降雨徑流洪峰流量預報方法的一種探索。FN—SPA模型優點是既利用集對分析量化解決不確定性問題，又利用泛函網絡良好非線性逼近能力。仿真的結果顯示FN—SPA模型預測精度更高，表明該模型預報降雨徑流是有效的。

FN—SPA模型還存在一些不足：集對分析中，i和j具體選取什么值最優，目前還沒有理論指導。在集合At中，具體界定哪些集合與B相似，還處于經驗階段。泛函網絡基函數的選取也缺乏理論指導。