從一題多解教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的多種能力

劉云輝 曹麗娟

一題多解是對同一個問題從不同的思考角度出發(fā)，去解答同一個問題。一題多解能快速地整合所學(xué)過的基本知識，重要的是能培養(yǎng)學(xué)生細致的觀察力、有條理的推理能力和創(chuàng)造性的思維能力。本文通過一道幾何證明題的多種思路方法，提煉出證明多道同一題型的方法，提高推理能力，起到舉一反三、觸類旁通的效果，真正地發(fā)展初中學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的能力。

一、學(xué)生的現(xiàn)有認知水平與目標

《三角形內(nèi)角和定理》是北師大版八年級上冊第七章《平行線的證明》最后一節(jié)內(nèi)容，是在學(xué)生學(xué)習(xí)了證明的必要性和平行線的性質(zhì)與判定的基礎(chǔ)上進行學(xué)習(xí)的。學(xué)生現(xiàn)有的知識技能基礎(chǔ)和認知水平特點是：七年級下冊已經(jīng)初步學(xué)習(xí)過三角形內(nèi)角和定理，對定理的直觀驗證認識比較深刻。在本章中又學(xué)習(xí)了證明的必要性、平行線的判定定理、性質(zhì)定理及其證明等，掌握了檢驗數(shù)學(xué)結(jié)論的常用方法，具有初步的幾何意識、一定的邏輯思維能力和推理能力。

二、問題提出

探究活動一：三角形內(nèi)角和定理 ?三角形內(nèi)角和等于180°

你還記得這個結(jié)論的探索過程嗎？（1）如果我們只把∠A移到∠1的位置，你能說明這個結(jié)論嗎？如果不移動∠A，那么你還有什么方法可以達到同樣的效果？（2）根據(jù)前面給出的基本事實和定理，你能用自己的語言說說這一結(jié)論的證明思路嗎？并用比較簡潔的語言寫出這一證明過程與同伴進行交流。

三、問題解決

已知：△ABC.

求證：∠A+∠B+∠C=180°.

對于三角形內(nèi)角和定理這些學(xué)生已經(jīng)探究過的結(jié)論，可以先引導(dǎo)學(xué)生回顧原來的探究和驗證過程。

下面一一介紹三角形內(nèi)角和定理的幾種證法。

證法一分析：延長BC到D，過C做射線CE∥AB，這樣相當于把∠A移到∠1的位置，∠B移到∠2的位置.

證明：如圖，延長BC至D，過C點作CE∥AB.

∵ CE∥AB，

∴ ∠1=∠B（兩直線平行，同位角相等），

∠2=∠A（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）.

∵ ∠ACB+∠2+∠1=180°（平角的定義），

∴ ∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代換）.

師問：你還能用其他方法證明三角形內(nèi)角和定理嗎？

學(xué)生王小明答：把三個角“湊”到A處，他過點A作直線EF∥BC.

證法二：如圖，過點A作EF∥BC，則∠1=∠B，∠2=∠C.

∵ ∠1+∠BAC+∠2=180°（平角的定義），

∠1=∠B，∠2=∠C（已知）.

∴ ∠BAC+∠B+∠C=180°（等量代換）.

證法三：如圖，在BC邊上任取一點D，過D作DE∥AB交AC于E，作DF∥AC交AB于F.

∵ DE∥AB（已知），

∴ ∠1=∠B，∠2=∠4（兩直線平行，同位角相等），

（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）.

∵ DF∥AC（已知），

∴ ∠3=∠C，∠A=∠4（兩直線平行，同位角相等），

（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）.

∴ ∠2=∠A（等量代換）.

又∵∠1+∠2+∠3=180°（已知），

∴ ∠A+∠B+∠C=180°（等量代換）.

證法四：過點A作AD∥BC（如圖）

∵ AD∥BC（已知），

∴ ∠1=∠C，∠DAB+∠ABC=180°（兩直線平行，同位角相等），（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）.

∴ ∠BAC+∠B+∠C=∠DAB+∠ABC=180°（等量代換）.

證法五：如圖，過點A任作一條射線AD，再作BE∥AD，CF∥AD.

∵ BE∥AD∥CF（已知），

∴ ∠1=∠3，∠2=∠4（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），

∠EBC+∠BCF=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）.

∴ ∠BAC+∠ABC+∠ACB=∠EBC+∠BCF=180°（等量代換）.

小結(jié)：大部分學(xué)生根據(jù)以前的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，將三角形三個內(nèi)角轉(zhuǎn)化成一個平角或一對同旁內(nèi)角，容易找到其中的一種或兩種證明方法。此時組織學(xué)生說出推理過程，補充完善證明方法，歸納出證明三角形內(nèi)角和定理的基本數(shù)學(xué)思想是轉(zhuǎn)化，具體方法是借助平行線轉(zhuǎn)化角，積累活動經(jīng)驗。最后以三種解法中添加輔助線位置的特殊性，激發(fā)學(xué)生質(zhì)疑，為探究二的進行埋下伏筆。

四、聯(lián)系拓廣

探究活動二：（經(jīng)過三角形邊上任意一點做平行線）

教師活動：激發(fā)質(zhì)疑，個別指導(dǎo)，組織學(xué)生展講和反思。一定要經(jīng)過三角形的頂點做平行線嗎？

學(xué)生活動：

1. 探尋輔助線經(jīng)過的點的位置有幾種可能;

2. 獨立思考，完成經(jīng)過三角形邊上任意一點做平行線的證明定理;

3. 借助投影儀，進行班級展講;

4. 反思此法與探究一的異同。

設(shè)計意圖：通過問題，激發(fā)質(zhì)疑，引領(lǐng)學(xué)生進行有條理的思考。在學(xué)生展講的過程中進行適時點撥，在復(fù)雜圖形中分解基本圖形，培養(yǎng)學(xué)生的識圖能力。充分認識探究二與探究一的異同，增強學(xué)生的辨析能力。

探究活動三：（經(jīng)過三角形內(nèi)或外任意一點做平行線）

教師活動：組織學(xué)生思考、小組交流、操作演示、班級展講。

學(xué)生活動：

1. 先獨立思考理，然后組內(nèi)交流;

2. 借助紙片操作，演示三個內(nèi)角拼成平角的過程;

3. 對三次探究進行系統(tǒng)反思。

設(shè)計意圖：探究三重在讓學(xué)生體會，不論圖形怎樣變化，解決問題的基本思想和方法不變，不同的是拼成平角的位置不同而已。讓學(xué)生在不斷辨析中增強識圖能力，認識證明該定理的本質(zhì)所在，提高學(xué)生的邏輯推理能力。

五、幾點思考

1. 抓住證明方法的共性

通過以上幾個問題，我們力圖在更為豐富多樣的證明中，讓學(xué)生感受到這些證明方法的共性：通過添加輔助線，將角“搬”“湊”到一起;同時，也給學(xué)生一個學(xué)習(xí)方法的引導(dǎo)，使學(xué)生對本節(jié)課的探究形成整體認識，盡可能尋求多樣的解決問題的方法。

2. 兼顧證明與探索思考，發(fā)展學(xué)生的推理能力

添加輔助線是教學(xué)中的一個難點，如何添加輔助線則應(yīng)允許學(xué)生展開思考并爭論，展示學(xué)生的思維過程，然后在老師的引導(dǎo)下達成共識。

3. 關(guān)注學(xué)生的過程，給予評價和肯定

我們要注重考查學(xué)生證明意識的建立，考查他們是否積極地獨立思考，解決問題的過程中能否主動尋求多樣的方法。在證明思路的發(fā)現(xiàn)、證明格式的規(guī)范和以及推理的嚴密性中培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力、語言表達能力和分析歸納能力，發(fā)展學(xué)生的抽象邏輯思維等方面需要關(guān)注并且通過激勵性的評價，促進學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識解決數(shù)學(xué)問題的能力，從而發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的能力。