高中數學圓錐曲線解題中構造法的使用

宋百慶

◆摘 ?要：構造法指在題解過程中通過構造一個合適的中介來找到解決問題的方法，它是數學教學中的一種基本方法，可以簡化圓錐曲線問題，降低解題難度。基于此，本文具體分析了高中圓錐曲線解題過程中構造法的運用方法。

◆關鍵詞：圓錐曲線;構造法;解題思路

構造法是數學中的一種基本思想方法，指在題解過程中通過構造一個合適的中介來找到解決問題的方法。圓錐曲線是高中數學學習中的重難點，學生需要在解題過程中不斷總結經驗，尋找更加高效的解題方法與解題思路。構造法是圓錐曲線中常見的一種解題方式，甚至在解題過程中起到了十分關鍵的作用，下面我們將具體分析構造法在高中圓錐曲線解題過程中的使用方法。

一、構造命題

當所需要解決的圓錐曲線問題已知條件中并沒有給出明確的依據，需要學生自己通過推導或總結相關命題，從而解決問題的構造方法就叫做構造命題法。構造命題的正確性是構造命題法在解決圓錐曲線中的最關鍵因素，需要學生在日常學習中深入掌握相關命題。為了讓學生在構造命題法的應用中更加靈活，一方面教師要在圓錐曲線中融入大量構造命題的案例分析，讓學生掌握解決圓錐曲線問題的方法，獲得更多的思考與解決問題經驗。另一方面，教師應注重對學生能力的培養，提高學生使用構造命題解決問題的意識，幫助他們養成良好的解題習慣。

例1：設橢圓方程為[（x-2t）29+（y+t2）29=1]，試求其中心軌跡關于M（-1，1）對稱圖形軌跡方程式。

分析：在解決這道問題時，我們就需要采用構造命題法，首先要引用命題，從題目已知中可知方程f（x，y）關于點M（[x0，y0]）對稱曲線方程為[2x0-x，2y0-y=0]。設橢圓的中心為（x，y），根據題目的已知我們可知，x=2t，y=[t2]，將其帶入到方程中我們可得橢圓中心軌跡方程為f（x，y）=[x2+4y=0]，由此可得（-2-x）2+4（2-y）=0，因此其軌跡方程為（x+2）2=4（2-y）。該題目已知條件中并沒有明確告訴我們曲線方程中關于點對稱的方程式，此時采用構造命題的方式可以快速幫助我們找到解題的關鍵，進而獲得有效的解題思路。

二、構造函數

函數是高中階段學習的重點內容，學生在面對函數問題時也不會陌生。在解決圓錐曲線的問題時，我們可以充分利用函數的特點，通過構造函數的方式來解決最大值、最小值的問題。因此，構造函數也是構造法在圓錐曲線中常見的應用方法。幫助學生掌握構造函數的方法需要教師注重日常教學中對圓錐曲線常用函數進行詳細的講解，幫助學生掌握函數構造的方法。[2]同時，還要加強對例題的講解，引導學生快速找到解決問題的突破口。

例2：已知圓[C1：x2+（y-2）2=1]，直線l：y=-1，有一動圓C與C1外切，且與直線l相切。

1.求動圓圓心C的軌跡M的方程

2.直線l與軌跡M在第一象限相切，其切點為p，直線l的斜率為k，過點作直線l的垂線恰好經過點A（0，6），并與軌跡M相交于點Q（P與Q不重合），設S為[?POQ]（O為坐標原點）的面積，求S值為多少。

分析：該例題的第一問主要通過判斷圓C的位置來確定y+1>0，第二問則利用了構建導函數的方式來得出直線方程，從而求得切點坐標。

三、構造圖形

構造圖形法是指在解決數學題目時通過題目已知條件來構造出聯系已知和所求內容的圖形來解決問題的方法。構造圖形法的使用對學生幾何思維水平要求較高，需要充分利用圖形的最直觀特點，融合邏輯思維與形象思維。

例3：已知[F1]、[F2]是橢圓上的兩個焦點，且橢圓上存在一點P使[∠F1PF2=90°]，求離心率e的范圍。

分析：解決該問題我們可以采用兩種方法

通過對比這兩種解題方法我們可以看出，第一種方式就是我們所說的構造圖形的方法，這種方式從幾何的角度去進行問題的分析，與第二種方法相比大大降低了運算量，省去了許多不需要進行計算的步驟，更加適合與計算能力較差的學生，同時也可以提高學生在解題過程中的效率。

四、構造方程

構造方程實際上就是要通過問題的結構特征和數量關系來發掘出其中所包含的已知和位置因素，從而巧妙解決圓錐曲線問題。[3]在使用構造方程的方法時，我們需要對題目的已知進行充分的分析，掌握已知條件中所給出的數量關系，然后在根據方程思想、方程根的定義等方程知識來解決問題。

五、構造不等式

不等式學習一直都是高中數學教學階段中的重難點，其涉及的知識內容較多，且解題過程相對來說比較復雜。在圓錐曲線的問題中經常會出現求取值范圍的案例，此時融入不等式的知識內容將會起到事半功倍的效果。例5：已知橢圓C的方程為，O為原點。橢圓上存在一點B。若直線y=2上存在一點A，且OA垂直與OB，求橢圓C的離心率以及AB的最小值。

分析：這道例題共兩問，第一問橢圓C的離心率可以根據已知中的橢圓方程直接求得。因此本題的難點主要在第二問上。因為題目已知中所給出的A點坐標比較特別，且B點為橢圓上的一點，所以我們可以根據兩條直線之間的垂直關系來找到兩個坐標之間的關系，然后在根據直線長度坐標計算方法進行化解，構造出不等式關系，通過求解不等式來求得AB之間的最小值。

六、結論

構造法是解決圓錐曲線問題時常用的一種方法，熟練掌握構造法將對提高解題質量與解題效率起到積極的作用。但同時，對于高中生來說想要真正的做到牢固掌握和靈活運用并不容易。特別是圓錐曲線問題本身難度就大，構造法的應用更是對高中生的一項挑戰。為了讓學生更好的掌握構造法的使用方法，教師必須要加強對這一解題方法的重視程度，有意識的在學生解題過程中培養他們的解題能力。

參考文獻

[1]林春花.探討高中數學圓錐曲線解題中構造法的應用[J].黑河教育，2020（04）：24-26.

[2]王競.構造法在高中數學解題中的應用方法[J].課程教育研究，2018（48）：146.

[3]洪云松.高中數學圓錐曲線解題中構造法的使用[J].農家參謀，2017（13）：160.