高考數學二輪復習中導數及其應用的思考

徐國軍

【摘要】導數是高中數學教學重點重點內容，也是歷年高考部分的難點內容。其所有知識點在近年來高考題目中幾乎全部涉及到。并且習題形式綜合性較強、難易穿插，各種創新試題層出不窮，可以看出，導數已經成為高考命題中的一大熱點，需要學生在數學二輪復習中重點關注。因此，本文針對高考數學二輪復習中導數及其應用進行思考，希望能夠為廣大教育工作者提供參考借鑒，為提高學生學習能力奠定良好基礎。

【關鍵詞】高考 ? 數學 ? 二輪復習 ? 導數 ? 應用

【中圖分類號】G633.6【文獻標識碼】A【文章編號】1992-7711（2020）28-157-01

引言

導數是高考數學科目重點考察內容之一，需要教師和學生引起高度重視。保證學生通過復習能夠深刻掌握知識點、靈活運用知識點，從而輕松解答各種題型。在數學二輪復習過程中，教師需要以培養學生創新能力和問題解決能力為主，使學生能夠深刻記憶和掌握導數概念、四則運算、常用函數的導數以及導數應用等難點內容和重點內容。

一、確定高考數學二輪復習中導數極其應用的復習目標

在高中數學二輪復習過程中，學生通過一輪復習已經對導數及其應用相關概念有基本掌握，教師需要在此基礎上明確教學重點，樹立教學目標，使學生能夠在學習過程中有目標、有計劃的進行復習。具體來說，在導數極其應用復習教學過程中，教師首先可以將復習重點劃分為為：導數的概念、四則運算、常用函數的導數以及導數的應用幾點內容。并結合教學重點確定教學難點。其中包括：導數定義以及在函數的單調區間、極值、最值不等式和證明中的應用方式。為使學生能夠更加快速和清晰的完成復習內容，教師可以將教學目標設定為兩點：第一，通過復習導數的概念、四則運算以及常用函數的導數，鞏固以往學習過的知識，從而提高學生思維靈活性，使學生能夠在復習過程中有所收益。第二，引導學生通過導數求出函數的單調區間、極值以及最值。解不等式，證明不等式。

二、基礎知識回顧

在數學二輪復習過程中，教師需要結合新課程標準強調的內容，以突出學生主體地位為主，引導學生自主學習，使學生在自主復習中認識到自己的不足之處，從而針對性采取措施彌補。與此同時，由于高中數學知識復雜，具有公式較多、概念抽象等特點，即使學生在第一輪復習中已經對知識有所掌握。但是部分學生在習題訓練過程中仍然存在知識點記憶混亂、公式運算錯誤等問題。針對這一問題，教師需要引導學生對基礎知識進行回顧，使學生通過自主學習完成教學內容。

例如：在導數的概念教學過程中，教師可以給予學生有限的課堂時間，并結合教學難點設置習題，要求學生在規定時間內完成填空。如：求函數的導數（包括復合函數求導數），簡單的單調性問題，極值問題，如函數 g（x）=-x2的極值點是 ? ? ? ? ? ? ，函數f（x）=（x-1）3的極值點 ? ? ? ? ?（填“存在”或“不存在”）。學生在解答問題過程中，能夠在思考的同時啟發思維，并對以往學習過程的知識進行回憶和鞏固，從而使學生能夠更加深刻的記憶相關知識點，有效提高復習效率和復習質量。

三、通過合作探究提高復習效率

高中學生學習壓力較大，在導數復習中一旦遇到難點問題無法克服，容易產生焦躁、不安等不良情緒，不僅影響復習效率，還會使學生陷入困境中難以自拔，無法實現進步目標。針對這一問題，教師需要采取措施緩解學生情緒，使學生能夠在復習過程中既能夠高效、高質量掌握知識，又能夠及時克服壓力。具體來說，教師也可以將學生分為小組形式，并給予其充分的時間進行合作交流，使學生能夠在共同探討過程中解決知識的漏洞，分析知識的疑難點。期間教師則要充分發揮自身引導作用，及時了解學生普遍存在的問題，并進行總結和歸納，最后對復習情況進行綜合點評。

四、引導學生通過探究提高復習水平

高中數學第二輪復習過程中，不僅需要學生能夠掌握數學知識點，還要強化應用能力，使學生能夠靈活運用知識點解答各種新型問題。因此，在復習過程中，教師可以結合導數知識點和教學內容進行分析，并設計綜合性練習題要求學生解答。比如極值點偏移問題，可以設計不含參數的極值點偏移問題。

例如：不含參數的極值點偏移問題：

（2010天津理）已知函數發f（x）=xe-x（x∈R） ，如果x1≠x2，且f（x1）=f（x2）.

證明：x1+x2>2

解析：法一：（判定定理）

f'（x）=（1-x）e-x，易得f（x）在（-∞，1）上遞增，在（1，+∞）上單調遞減，x→-∞，f（x）→-∞，f（0）=0，x→+∞時，f（x）→0，函數f（x）在x=1處取得極大值f（1），且f（1）= ? ?，由f（x1）=f（x2），x1≠x2，不妨設x1

構造函數F（x）=f（1+x）-f（1-x），x∈（0，1]，

則F'（x）=f'（1+x）-f'（1-x）= ? ? ? ?（e2x-1）>0，

所以F（x）在x∈（0，1]上單調遞增，F（x）>F（0）=0，

也即f（1+x）>f（1-x）對x∈（0，1]恒成立.

由0

所以f（1+（1-x1））=f（2-x1）>f（1-（1-x1））=f（x1）=f（x2），

即f（2-x1）>f（x2），又因為2-x1，x2∈（1，+∞），且f（x）在（1，+∞）上單調遞減，所以2-x12.

法二：由f（x1）=f（x2），得x1e-x1=x2e-x2，化簡得ex2-x1= ? ? …①，

不妨設x2>x1，由法一知，0

令t=x2-x1，則t>0，x2=t+x1代入①式，得et= ? ? ? ? ，

反解出x1= ? ? ? ，則x1+x2=2x1+t= ? ? ? +t，故要證x1+x2>2，[來源：學，科，網Z，X，X，K]

即證 ? ? ? ?+t>2，又因為et-1>0，等價于證明：2t+（t-2）（et-1）>0…②，構造函數G（t）=2t+（t-2）（et-1），（t>0），則G'（t）=（t-1）et+1，G''（t）=tet>0，故G'（t）在t∈（0，+∞）上單調遞增，G'（t）>G'（0）=0，從而G（t）也在t∈（0，+∞）上單調遞增，G（t）>G（0）=0，即證②式成立，即證x1+x2>2成立。

以上兩種方法均是為了實現將雙變元的不等式轉化為單變元不等式，方法一利用構造新的函數來達到消元的目的，方法二則是利用構造新的變元，將兩個舊的變元都換成新變元來表示，從而達到消元的目的。

結束語

綜上所述，導數極其應用使高中數學教學中的重點內容，也是近年來高考命題中的難點內容。需要教師在復習過程中給予重點關注。本文結合到導數極其應用第二輪復習方式進行分析，由于在第一輪復習過程中，學生對相關概念以及公式有基本了解，因此第二輪復習需要重點培養學生的靈活應用能力和解題技巧，使學生能夠輕松應對各種新型提題型，從而有效提高高中數學第二輪復習水平。

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