基于分數傅立葉變換的通信抗干擾性能研究

孫永林，李大成，劉 飛

(1.海裝重大專項裝備項目管理中心，北京 100089；2.海裝裝備項目管理中心，北京 100089；3.中國人民解放軍32380部隊，北京 100072)

0 引言

由于電磁波具有開放性，在傳輸過程中存在極易被干擾的現象，而良好的抗干擾性能是安全穩定通信的重要保證。隨著通信種類的不斷增多和通信設備的不斷增加，通信易被干擾的問題已經成為制約通信發展的重要因素，而一味用提高算法的復雜度等方式來實現抗干擾的做法也越來越具有局限性。因此，找到一種簡單、有效抗干擾的調制解調方法顯得尤為重要。基于新的時頻分析工具-分數傅里葉變換(FRFT)，Tao Ran等[1]中提出了線性調頻(LFM)信號的方向估計算法。LFM信號是其初始頻率隨時間變化的非平穩信號。分數傅立葉變換(FRFT)是普通傅立葉變換的推廣，是一個能夠實現非平穩信號的能量聚焦特性的強大工具，并已用于估計LFM信號的參數[2-3]。類似于余弦信號是傅立葉變換的基本信號，LFM信號也是FRFT的基本信號， LFM信號在合適的分數傅里葉變換域中呈現脈沖狀態。基于此特性，Qi Shuai等[4]提出了一種以LFM信號為載波和分數階傅里葉變換理論相結合的實現類似于FSK調制解調的新方法。在前人的理論基礎上，本文同樣以LFM信號為載波，利用分數階傅里葉變換實現類似于PSK調制解調的新方法，并分析其抗干擾性能。

1 系統模型

系統模型主要由3個部分組成：信號發送端Alice、信號接收端Bob和信號干擾端Eve。假設在相同干擾信號的情況下，信號發送端和接收端分別以余弦信號作為載波利用傅立葉變換實現調制解調，和以LFM信號為載波利用分數傅里葉變換實現調制解調， 在兩種不同的情況下仿真計算信號接收端Bob的誤碼率大小，分析其抗干擾能力。系統模型如圖1所示。

圖1 系統模型

2 基本原理

2.1 LFM信號的表示

線性調頻信號可以表示為：

f(t)=Aexp[j(φ+2πf0+mπt2)]

(1)

式中A是信號幅度；φ為初始相位；f0為初始頻率；t是時間；m為調頻率，是對應于頻率的常數。 信號的瞬時頻率為：

f=f0+mt2/2

(2)

2.2 FRFT算法

近年來，FRFT在信號處理領域引起了越來越多的關注，Namias介紹了FRFT的數學定義[5]。分數階傅里葉變換的定義可以寫為：

(3)

式(3)中，α為分數傅里葉變換的旋轉角度。

為了便于理解，分數傅里葉變換可以分解為以下三步：

第一步：用Chirp信號對f(t)信號進行調制：

g(t)=f(t)exp[-jπt2tan(α/2)]

(4)

第二步：將調制信號與另一個Chirp信號進行卷積：

(5)

第三步：通過LFM信號和信號的卷積實現調制：

Fp(u)=g′α(u)exp[-jπu2tan(α/2)]

(6)

為了實現分數傅里葉變換的數值計算，可以將整個過程進行如下處理。

步驟一：對f(t)信號進行采樣。分數階數p的取值范圍為p∈[-1,1]，分數階傅里葉變換的旋轉角度與階數的關系為：

α=pπ/2

(7)

F4[f(t)]=F0[f(t)]=f(t)

(8)

F2[f(t)]=f(-t).

(9)

也即分數傅立葉變換具有旋轉特性，所以當分數階數p取其他值時，可以先利用此特性變到[-1,1]的范圍內再進行計算。

步驟二：利用FFT來實現式中的卷積運算，由此來保證通信的實時性。

步驟三：將卷積后的信號進行調制，再利用前后的抽取和內插便可得到最終的離散的分數傅立葉變換的結果。

2.3 LFM信號經過FRFT的推導運算

已知LFM信號一般形式為：

f(t)=Aexp[j(φ+2πf0+mπt2)]

(10)

為了推導方便，使φ=f0=0，A=1。因此，LFM信號經過FRFT后可以得到：

(11)

(12)

可以分段表示為：

(13)

從上述推導結果可以看出，在變換階數滿足一定的關系時，LFM信號在其相應的分數傅里葉變換域表現出沖擊函數的特性。

3 仿真結果及分析

3.1 LFM信號經過FRFT的結果

在仿真實驗中，為了便于計算，LFM的信號參數取φ=f0=0、m=5、t∈[0,4]，則LFM信號可以表示為：

f(t)=exp(j5πt2)

(14)

圖2 LFM信號經過分數傅立葉變換

3.2 LFM信號的抗干擾性能

假設干擾信號在中心頻率上，表達形式為：

g(t=Aexp(j40πt)

(15)

式中A為干擾信號的振幅。當A=1時，LFM信號與干擾信號的總信號為：

(16)

信號s(t)經過與f(t)相同的分數階傅里葉變換后，干擾信號對LFM信號有一定的影響，但是不影響其沖擊波形。總信號經過分數傅立葉變換如圖3所示。

圖3 總信號經過分數傅立葉變換

信號s(t)經過旋轉角度為α的分數傅里葉變換后，在分數傅立葉變換域進行帶通濾波，此時保留沖擊信號，然后再進行旋轉角度為-α的分數傅里葉變換，變換后信號恢復時域形式，在時域進行解調并判決后便得到了原信號f′(t)。LFM信號的解調原理如圖4所示。

利用上述原理，對干擾信號進行仿真可以得到相應的誤碼率。同時，假設與LFM信號具有相同振幅的作為對比實驗的表達式為：

e(t)=exp(j40πt)

(17)

在不存在噪聲干擾時，e(t)信號仿真實驗結果顯示其誤碼率約0.5，即完全被干擾；而由于LFM信號只被影響了單一頻點，其誤碼率幾乎與原來沒有差別，LFM信號對于單一頻點的干擾具有強大的抗干擾能力。

圖4 LFM信號的解調原理

4 結語

經過幾十年的發展，從圖像加密到頻率復用再到調制解調領域，分數傅里葉變換理論已經取得了眾多值得稱贊的成果，本文從抗干擾的角度出發探索分數傅里葉變換理論更廣泛應用的可能。首先介紹了分數傅里葉變換理論的研究現狀，其次建立了現實中可能存在的惡意干擾模型，對LFM信號和分數傅里葉變換理論進行了公式推導，揭示了LFM信號經過分數階傅里葉變換后會存在沖擊函數形式這一理論基礎，利用仿真結果直觀展示了LFM信號在分數傅里葉變換域的沖擊形式，仿真結果與理論相對應，最后，通過誤碼率的變化說明了干擾信號對LFM信號和余弦信號的影響大小。

雖然對分數傅立葉變換的研究已經出現了眾多可喜的成果，但是其應用和影響還遠不如傅里葉變換。隨著人們對分數傅里葉變換研究的不斷深入，更多優秀的理論成果一定會呈現在人們面前，那時，一定會帶來更多的技術驚喜。