從習題走向問題

金妤茜

習題是鞏固知識、培養學生數學思維的重要載體。若是將一道習題變為一個好的問題，則可引導學生進一步探索、思考新問題，從而激發學生內在的想象力，促進學生深度思考。本文以圓柱、圓錐的習題為例，變習題為問題，引導學生從平面圖形到立體圖形，感受平面圖形與立體圖形之間的聯系，并在操作想象中培養學生的空間觀念，在問題解決中發展學生的數學思維。筆者的思考源自蘇教版數學教材六年級下冊圓柱的體積和圓錐的體積兩道練習題（如下圖）。

前一題的編排意圖是：一是通過演示、操作和想象，使學生初步認識到圓柱可以看作一個長方形繞著它的一條邊旋轉一周后得到的立體圖形;二是讓學生看圖說說題中的兩個圓柱的底面半徑和高各是多少;三是估計哪個圓柱體積大時，可以直接比較4×4×5與5×5×4的大小。后一題的編排意圖是：讓學生結合直觀圖說說旋轉成的圓錐的底面半徑和高各是多少，再分別計算兩個圓錐的體積，還可以引導學生比較發現，繞短直角邊旋轉一周后所形成的圓錐體積比較大。這兩題的題型類似，目標相近，主要是幫助學生認識圓柱和圓錐可由長方形或直角三角形旋轉而來，感受其旋轉體的特征，進一步積累圖形與幾何的學習經驗，培養初步的比較、分析、綜合、抽象、概括以及簡單的判斷、推理能力，發展數學思考，增強空間觀念。教師可將這個知識點安排在不同練習課上作為習題呈現，教學時學生根據圖示計算出各自的體積并比較大小后，教師就一帶而過了。如此，學生對平面圖形與立體圖形之間的聯系感受明顯不夠，對旋轉體本質的感悟也并不深刻。

聯系前后知識，筆者嘗試將兩道練習題轉化成具有一定開放性和綜合性的問題解決過程，主要設計了三個環節，并調整至圓柱、圓錐體積教學全部完成后再研究，課堂上給予學生充分的思考時間，讓學生在操作、想象中發展空間觀念，在問題解決中發展數學思維。

一、夯實基礎，溝通知識聯系

師：這個單元我們主要認識了圓柱和圓錐，從這兩個圖形里你能找到或想到哪些平面圖形？

（學生小組討論后匯報交流）

生：直接觀察得到平面圖形是圓。

生：將圓柱和圓錐切割后的截面是長方形（正方形）、三角形、圓。

生：將圓柱和圓錐側面展開得到長方形（正方形）、扇形。

（交流中學生適時復習圓柱、圓錐的特征和表面積、體積的計算方法）

【思考】《義務教育數學課程標準（2011年版）》對空間觀念有這樣一處描述：“空間觀念主要是指根據物體特征抽象出幾何圖形，根據幾何圖形想象出所描述的實際物體。”本教學環節教師鼓勵學生從立體圖形中尋找平面圖形，此時學生就會用觀察、展開、切割等方法，而這些方法除了需要動手操作，更多的是想象，想象是發展學生空間觀念的最佳途徑。正是這樣一個充滿想象與挑戰的環節，有效地培養了學生的空間觀念。整個教學過程學生不僅初步感知了平面圖形與立體圖形的聯系，也在交流中適時復習圓柱、圓錐的特征和表面積、體積的計算方法，為后續的研究夯實基礎。

二、建構模型，發展空間觀念

（一）操作后想象

師：立體圖形中有著很多平面圖形的影子，那由一個平面圖形可以得到圓柱或圓錐嗎？

學生小組合作，借助平面圖形操作或直接想象，討論后匯報交流。

方法1：由平面圖形圍成。

小組1：（用長方形紙邊操作邊匯報）用一個長方形圍成一個圓柱，而且每個長方形圍成圓柱有兩種不同的圍法（如下圖）。

方法2：由平面圖形旋轉而成。

小組2：用長方形繞著它的一條邊旋轉成一個圓柱，可以繞著長旋轉，也可以繞著寬旋轉，得到兩個不同的圓柱。

全班想象后，課件動態演示，如下圖。

小組3：我們想到的是直角三角形繞著它的一條直角邊旋轉可以形成一個圓錐，因為直角三角形有兩條直角邊，所以可以形成兩個不同的圓錐。

全班想象后，課件動態演示（圖略）。

（二）猜想后驗證

師：同學們想到了用平面圖形圍或者旋轉來得到圓柱或圓錐，而同一個圖形圍或者旋轉都有兩種情況，對此有什么想法？

生：同一個圖形的兩種情況下的圓柱或圓錐的體積一樣嗎？

（學生猜想，產生分歧）

師：你們準備怎么研究？

生：假設數據再計算。

學生分小組進行計算驗證并得出結論：（1）長方形以短邊為高圍成的圓柱體積比較大;（2）長方形繞著寬旋轉得到的圓柱體積比較大;（3）直角三角形繞著短直角邊旋轉得到的圓錐體積比較大。

（三）比較后思考

師：這3個結論有什么共同之處？

生：都是以短邊為高時，體積比較大。

師：為什么以短邊為高形成的圓柱（圓錐）體積比較大呢？

生：因為圓柱和圓錐的體積計算公式都有πr2h，要想體積大，其中r起了更為重要的作用，短邊為高時，長的一邊就決定了r的大小，所以這個時候體積就會比較大。

【思考】在圖形的變換和運用中，教師引導學生操作和想象，培養學生幾何直觀能力。教師讓學生思考如何從一個平面圖形變成一個立體圖形，不管是圍還是旋轉，都先讓學生試著想象圍或旋轉后的圖形的樣子，再借助課件動態演示，經歷由平面圖形旋轉形成立體圖形的探索全過程。然后學生提出問題：“同一個圖形圍或旋轉都有兩種情況，這兩種情況下的圓柱或圓錐的體積一樣嗎？”學生先直觀猜測，再計算比較并得出結論。教師再次追問：“旋轉形成的立體圖形中，為什么以短邊為高形成的圓柱（圓錐）體積比較大呢？”這一追問進一步激發了學生的思考，學生從計算公式上去解釋、去突破。整個教學環節體現了“直觀感知—演繹推理—抽象和概括”的思維過程，這個過程中學生的空間想象能力和幾何直觀能力不斷發展，幫助學生順利地建構幾何圖形，在建構圖形的過程中發展了學生的數學思維。

三、遷移類比，發散數學思維

師：以這個直角三角形的斜邊所在的直線為軸旋轉一周，會形成怎樣的立體圖形？這樣的立體圖形的體積你會計算嗎？如果是一個鈍角三角形呢？

（1）把你想到的圖形在作業紙上畫一畫。

（2）有困難的學生可以借助老師的學具轉一轉，再來畫。

（3）嘗試計算它的體積。

【思考】教師提出“以這個直角三角形的斜邊所在的直線為軸旋轉一周，會形成怎樣的立體圖形？”的拓展性問題，將本課的探究推向高潮，學生大膽地運用自己的直覺和想象去體驗、去猜測，運用多種方法、通過多種途徑去尋求答案。學生基于新問題不斷探究，積極主動地思考，不斷地發現問題、解決問題，思維能力得到了進一步提升。

綜觀全課，在整個探究教學過程中，因為習題的整合、變式和拓展，學生從中獲得的不僅僅是解答題目本身， 而且通過這道題展開了數學“悟”的過程，是一個主動、深刻的學習過程。好的問題具有生長功能，教師應基于教材，著眼學生發展，試著對教材習題做更深入的研究，將習題轉變為問題，讓學生有所思、有所為、有所得。

（作者單位：江蘇省蘇州工業園區星港學校蘇安校區）