融入頻域先驗信息壓縮感知方法的主動聲吶回波信號處理

李 季，孫同晶，劉 桐

(杭州電子科技大學通信信息傳輸與融合技術國防重點學科實驗室，浙江杭州310018)

0 引 言

主動聲吶信號是認識水下目標的有效途徑之一。主動聲吶系統有目的發射聲波探測目標，經目標反射產生回波信號，通過回波信號來認知目標，但接收到的回波信號數據量大，且有大量的噪聲干擾，給聲吶系統帶來信息傳輸、采集和存儲的巨大壓力。

壓縮感知方法[1-2]的出現，打破了傳統奈奎斯特(Nyquist)采樣定理為基礎的數字信號處理方法，相比于傳統采樣，該理論對信號采樣的同時對信號進行壓縮，利用空間變換來描述信號，在獲取壓縮觀測信號后，通過求解一個非線性優化問題來完成原始信號的恢復，整個過程降低了信號數據的傳輸和存儲成本。壓縮感知理論一出現就受到了研究者的廣泛關注，在雷達成像[3]、語音信號處理[4]、超聲成像[5]、圖像壓縮[6]等領域都受到了高度關注。在水聲信號處理領域，主要包含信號壓縮及其重構、水下目標分類識別等。文獻[7]基于高斯測量矩陣和正交匹配追蹤重構算法，完成了水下信號的壓縮和重構；文獻[8]基于稀疏分解理論，利用信號的先驗信息構建先驗稀疏矩陣，進而實現了水下帶噪聲信號的重構和水下目標的分類識別；文獻[9]利用水下回波樣本集來構建稀疏字典，實現了水下底質回波的分類。

水下環境復雜，主動聲吶的回波信號在攜帶目標信息的同時，會混入大量噪聲干擾，給主動聲吶回波信號的處理帶來困難。針對低信噪比的水下回波處理問題，本文從待處理信號本身的固有特性及其結構出發，針對主動聲吶入射信號能量集中，并非傳統意義上的稀疏信號的特點，將其從時域轉換到頻域，獲得更稀疏、幅值特性更加明顯的頻域先驗信息，再結合壓縮感知稀疏分解理論，將入射信號的頻域先驗信息融入稀疏矩陣的構建，使回波信號能更好地完成從高維到低維的稀疏表示。經壓縮觀測得到觀測信號后，結合目標回波的特性，與傳統正交匹配追蹤算法(Orthogonal Matching Pursuit,OMP)結合，形成基于“塊”的正交匹配信號重構算法，完成攜帶目標信息信號的重構。實驗結果表明，無論是仿真信號還是湖上實測數據，相比于傳統壓縮感知算法，本文提出的融入頻域先驗信息的壓縮感知方法在處理低信噪比的水下信號時，重構精度有較大提升，為進一步分析目標的當前狀態和特征提供依據。

1 壓縮感知理論

壓縮感知理論表明，當某個信號可以用有限稀疏基表示時，采集少量數據作為觀測值，通過重構算法就可以完成對原始信號的重構。壓縮感知理論主要包括信號稀疏分解、信號測量和信號重構這三個核心部分，理論框架如圖1所示。

圖1 壓縮感知理論框架Fig.1 The framework of compressed sensing theory

1.1 稀疏表示

信號的稀疏表示是利用線性逼近的思想，將信號分解為若干個基本信號單元的線性組合來表示。將N維信號x，x ∈ CN×1展開為一組標準正交基線性組合：

式中：Ψ是N× N維的稀疏矩陣，稱為信號x的稀疏基；α為稀疏系數。若α中只含有K(K ?N)個非零系數，則稱信號x在稀疏矩陣Ψ下是K稀疏的信號。常見的稀疏矩陣有離散余弦變換矩陣和小波基矩陣。目前，一些學者提出了基于發射信號先驗信息的冗余字典下的稀疏分解[10-11]，使其更適用于一般稀疏信號的處理。

1.2 測量矩陣

信號的測量是獲取信號低維測量值的重要步驟，測量矩陣要滿足等約束性準則(Restricted Isometry Property,RIP)[12]，以保證測量得到的數據在重構信號時，原始信號的信息盡可能地不丟失。通常采用一個與稀疏矩陣Ψ非相關的觀測矩陣ΦN×N來完成對待處理信號的壓縮觀測。對信號x進行壓縮觀測得到：

這樣獲取到M個線性觀測信號y∈RM，由線性投影得到的少量觀測信號y包含了帶重構信號的足夠信息。

1.3 重構算法

重構算法是由觀測的壓縮信號實現信號重構的重要途徑，算法的設計應該遵循如下基本準則：用少量壓縮測量信號的信息，快速、穩定且精確地重構出原始信號。從信號的測量理論可知，由低維觀測信號y恢復高維的原始信號x是一個病態方程求解問題，存在無窮多解。將信號稀疏表示與壓縮觀測相結合起來，觀測信號y可以表示為

式中，A=ΦΨ為傳感矩陣，是測量矩陣與稀疏矩陣的矩陣相乘。因稀疏系數是K稀疏的，使得信號求解存在可能，將方程的求解轉化為一個非線性優化問題，就能從觀測信號y、稀疏矩陣Ψ和觀測矩陣Φ近乎完整地重構原始信號x。目前，壓縮感知重構算法主要包括凸松弛算法[13]、貪婪類匹配追蹤算法[14]和組合類算法[15]。

2 融入頻域先驗信息的壓縮感知方法

根據壓縮感知理論，在確定觀測矩陣的情況下，稀疏信號的處理主要采用稀疏矩陣和重構算法。本文從主動聲吶信號的自身特性與結構出發，得到入射信號的頻域先驗信息，并將其作為原子融入稀疏矩陣的構建，得到頻域先驗信息的稀疏矩陣。已知水下目標回波信號是入射信號的另一種疊加表示形式，將該特性與OMP算法結合，形成基于“塊”的正交匹配查找的重構算法。

2.1 頻域先驗稀疏分解

水下傳播能量衰減慢，聲吶系統發射的入射信號在時域上能量相對集中，是時間和幅值的對應。傅里葉變換理論[16-17]指出，對任何波形s(t)都可以用多個正弦函數線性疊加表示，并且每個分量函數都有對應的頻率、相位和幅值，通過傅里葉變換求解這些系數，可以完成對信號的簡化。

這類在時間上連續、幅值固定的入射信號，通過傅里葉級數展開，可以轉換成幅值突出、特征明顯的頻域稀疏信號。仿真寬帶水下回波信號函數s(t)=1·e-i(2πf)，信號頻率f=30 kHz，信號脈沖時間T=1 ms，其時域和頻域信號波形如圖2所示。

圖2 仿真信號的時域和頻域圖Fig.2 The time domain and frequency domain charts of simulated signal

從圖2可以看出，對單位時間內的信號而言，入射仿真信號在頻域具有更好的稀疏特性，其幅值特征也更加突出。

一般稀疏信號通常選取離散余弦矩陣(Discrete Cosine Transform,DCT)對信號進行高維投影。水下環境復雜，存在大量的噪聲干擾。因此結合信號的固有特性，采用頻域先驗信息構建過完備原子庫作為稀疏矩陣。首先假設入射信號和回波信號的采樣速率滿足奈奎斯特采樣定理，采樣周期為Ts，脈沖寬度為τ，一個脈沖寬度的樣本點數為 n，產生的總樣本點數為N。得到入射信號的頻域信息后進行能量歸一化處理。得到原型原子 G =[g1g2…gn]，將其看作為一個原子塊，對原子塊位移，取不同的起始點構成過完備原子庫(稀疏矩陣)[18]。具體表達式如下：

由上述可知，由原子塊形成的稀疏基具有相同的特征信息，每個稀疏基里最核心的原子塊與入射信號的頻域先驗信息維持一致，兩個稀疏基之間的區別是有效原子塊的位置不同，可通過相互平移得到。針對低信噪比的聲吶目標回波信號的處理，融入頻域先驗信息構成的稀疏矩陣如圖3所示。

圖3 融入頻域先驗信息的稀疏矩陣圖Fig.3 Sparse matrix with prior information in frequency domain

從圖3中看出，每一個稀疏基ψi都包含入射信號的先驗信息，各個原子的非零區域特征一致，且與發射信號的頻域波形一樣。根據水下稀疏分解原理，水下目標回波信號的稀疏分解矩陣運算如式(9)所示：

式中：長為N的水下目標回波信號可以由M個先驗信息原子與M個稀疏系數的乘積線性疊加表示：

這樣，回波信號的重構問題就可以轉換為稀疏系數的求解問題。

2.2 頻域先驗重構算法

頻域先驗重構算法是基于 OMP重構算法。OMP算法原理簡單、計算快速的特點使其具有廣泛的應用。但OMP算法的計算是基于點對點的全局匹配查找，每一次查找都需找出最相關的原子，循環迭代直到信號重構完成。整個過程中沒有考慮到待處理信號的特點。針對目標回波信號，基于正交匹配追蹤方法，將其塊稀疏特性融入到重構算法中，實現由單點匹配到成塊匹配。因此，提出一種頻域先驗的正交匹配追蹤(Frequency Priori Orthogonal Matching Pursuit,FPOMP)算法，從構建的頻域先驗稀疏矩陣原子庫中選擇與水下目標回波信號匹配度最高的原子，再用回波信號減去其在原子庫中的投影，得到殘差信號。將殘差代入循環，繼續迭代從原子庫中選擇與其最相關的先驗原子，當殘差小于給定閾值時停止迭代。

與傳統的正交匹配追蹤算法相比，FPOMP算法每次迭代匹配到的都是包含發射信號先驗信息的原子塊，而不是一個信號采樣點。通過有限幾次迭代就能重構恢復出水下目標的回波信號。FPOMP重構算法具體步驟如下：

(1)初始化。對殘差初始化 r0=y，原子的索引集合I為空集，重構原子集合H為空集，稀疏分解系數α=0，迭代次數k=0。

(2)原子塊的選擇。計算殘差信號與稀疏矩陣中每個原子塊的內積：

式中：i∈[1,N]，mean()表示求均值，A為傳感矩陣。找出內積向量中絕對值最大的原子塊ψi，將其對應的索引Ind加入原子的索引集合I中，將上述原子塊ψi加入重構原子集合H。

(3)更新殘差信號 ri=ri-1-ψiαi，稀疏分解系數α(i)=αi，ri為第k次更新的殘差。

(4)如果不滿足迭代終止條件，則迭代次數 k加 1，繼續執行；若滿足終止條件，則停止迭代，得到稀疏系數集合與重構原子集合。

(5)將重構原子集合與稀疏分解系數集合對應進行線性疊加運算，得到水下目標回波信號的頻域重構信號，再通過逆運算得到時域信號，進而完成信號的重構。

FPOMP算法與傳統的壓縮感知方法比較，迭代時的最大相關性計算，殘差更新，每次得到的是包含頻域先驗信息的原子ψ，少量次數迭代就可得到頻域信息支撐集，最后通過偽逆運算即可完成信號重構。FPOMP算法的具體流程如圖4所示。

圖4 FPOMP算法的流程圖Fig.4 Flow chart of FPOMP algorithm

3 算法性能驗證

為了驗證本文提出的基于頻域先驗信息的壓縮感知方法的性能，先基于仿真回波信號進行處理以驗證方法正確性。然后通過主動聲吶發射接收裝置，獲取湖上實測數據并處理，證明本文方法實際應用的可行性。

本文以信號匹配率作為信號重構的評判標準，匹配率定義：以入射信號與重構信號的絕對值之和的二范數減去兩者絕對值之差的二范數，再比上兩者絕對值之和的二范數。匹配率的計算公式為

3.1 仿真信號性能驗證

水下回波信號往往含有大量噪聲干擾。仿真信號為干凈信號，因此，加入高斯白噪聲，以信噪比(Signal Noise Ratio,SNR)為指標，信噪比越低，噪聲干擾越大，處理起來就越困難。

為了驗證本文方法的抗噪性能，加入不同大小的高斯白噪聲。首先，采用高斯測量矩陣從原始信號中提取出少量數據，然后分別采用本文方法和傳統壓縮方法進行重構。傳統壓縮感知方法采用離散余弦變換稀疏矩陣、高斯測量矩陣和正交匹配追蹤重構算法進行信號重構。圖5(a)～5(d)是在仿真信號壓縮比為50%、信噪比分別為3、0、-3、-5 dB時的重構結果圖。

圖5 不同信噪比仿真信號的處理結果Fig.5 Processing results of simulation signals with different SNR

從圖5中可以看出，在信號的壓縮為50%，信噪比大于0 dB時，傳統方法基本能恢復信號，但重構回波中含有噪聲，而基于頻域先驗方法的重構效果較好；當混入的噪聲增加，信噪比為-3 dB時，從圖5(c)可以看到，傳統壓縮感知方法難以分辨帶目標回波信號的位置，而基于頻域先驗信息的壓縮感知方法的信號重構效果明顯；當信噪比進一步降低，本文方法依舊可以重構出聲吶回波信號。實驗結果驗證了CSFPI方法在處理含噪聲回波信號的可行性。

3.2 湖上實測數據獲取

該試驗測試目標是潛艇縮比模型(BeTSSi-Sub)，測試布放方法如圖 6所示。有兩個布放和旋轉設備，距離為20 m，一個用于布放收發合置換能器，布放深度是水下10 m，另一個用于布放和旋轉目標，布放深度也是水下10 m。為了獲得不同入射角的回波信號，潛艇模型逆時針勻速旋轉。

圖6 湖上實驗的布設Fig.6 Layout of lake trial

采用線性調頻信號作為入射信號，入射信號形式為f(x)=A ej(2πft+πKt2)，其中，信號幅值A=1，信號頻率 f=60 kHz，信號帶寬 B=40 KHz，信號脈沖長度T=1 ms，信號調頻斜率K=B/T。在測試中，目標以逆時針方向勻速旋轉，通過這種方式獲得了不同入射角的回波信號。從這些回波信號中，選取了入射角為30°和90°的回波信號，信號波形如圖7所示。

3.3 水下目標回波信號性能驗證

對實測的目標回波信號處理，取壓縮比50%，加入高斯白噪聲，信噪比分別為3、0、-3、-5 dB，采用頻域先驗壓縮感知方法和傳統方法進行處理。圖8(a)～8(d)是入射角為30°的回波信號處理對比結果圖。圖 9(a)～9(d)是入射角為 90°的回波信號的重構結果圖。

從實驗結果來看，無論主動聲吶回波信號的入射角度為 30°還是 90°，當壓縮比為 50%，且 SNR為3 dB時，傳統壓縮方法僅能探測出回波位置，而本文提出的CSFPI方法能夠完整地濾掉噪聲，并重構出水下目標的回波信號。隨著噪聲干擾不斷增加，SNR為0 dB時，傳統壓縮方法已經完全不能適用于湖上實測數據的重構，但是CSFPI方法依舊可以重構出信號大部分信息。當SNR為-5 dB時，噪聲干擾完全淹沒了目標回波信號，CSFPI算法仍然能探測出攜帶目標信息回波的位置，并重構出部分目標回波信號。

從信號重構的指標——匹配率進行分析，兩種方法不同信噪比重構信號的匹配率如表1所示。從表1中可以看出，當噪聲較小時，CSFPI方法重構信號的匹配率能達到90%，傳統壓縮感知方法的匹配率為60%左右。隨著噪聲的不斷增加，CSFPI方法匹配率仍然能達到83%以上，而傳統方法匹配率低于50%。當信噪比為-5 dB時，噪聲完全淹沒了攜帶目標信息的回波信號，CSFPI方法的匹配率仍可達到70%以上，充分展示了CSFPI方法在處理低信噪比聲吶回波信號時的性能。

圖9 不同方法對90°回波信號在不同信噪比下的處理結果Fig.9 Processing results of 90° echo signal by different methods under different SNRs

表1 傳統方法和CSFPI方法在不同信噪比下重構信號的匹配率對比Table 1 Comparison of matching rates of reconstructed signal by traditional and CSFPI methods under different SNRs

4 結 論

本文針對水下聲吶目標回波信號噪聲干擾較大時難以處理的問題，提出了融入頻域先驗信息的壓縮感知方法。從待處理回波信號本身的固有特性和結構出發，將其從時域轉換到頻域，得到更加稀疏和幅值特征更加明顯的頻域信號，將其看成一個原子并融入稀疏矩陣，構建過完備原子庫，與傳統的貪婪迭代算法結合，對壓縮觀測到的信號進行重構。對仿真信號和湖上實測數據進行處理和分析，與傳統壓縮感知方法進行對比。結果表明，當信噪比低于-3 dB時，傳統壓縮感知方法的匹配率小于50%，不能濾掉噪聲重構出回波信號；而經過CSFPI方法處理的重構信號匹配率大于70%，信號的重構效果明顯，表明 CSFPI方法在處理含有大量噪聲的水下目標回波信號時具有明顯的優勢。