讓錯(cuò)誤“美麗”起來(lái)

劉瑞

【摘要】初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程，就是運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程，但是在學(xué)生解題過(guò)程中，總是出現(xiàn)這樣那樣的錯(cuò)誤，針對(duì)學(xué)生常見的幾個(gè)錯(cuò)誤類型，解題中經(jīng)常遇到的解題障礙，筆者簡(jiǎn)單從培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力、邏輯思維能力和解題技巧，實(shí)施策略談?wù)勛约旱目捶ā?/p>

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué);解題技巧;思維能力;實(shí)施策略

【中圖分類號(hào)】G633.6【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A【文章編號(hào)】1992-7711（2020）30-145-03

美國(guó)心理學(xué)家桑代克說(shuō)過(guò)：“學(xué)習(xí)的過(guò)程，是一種漸進(jìn)的嘗試錯(cuò)誤的過(guò)程?！庇绣e(cuò)誤的課堂才是真實(shí)的課堂，沒(méi)有錯(cuò)誤就沒(méi)有真正意義上的學(xué)習(xí)。學(xué)生的錯(cuò)誤是寶貴的再生課程資源，教師要充分利用好學(xué)生的錯(cuò)誤，經(jīng)營(yíng)好學(xué)生的錯(cuò)誤，讓錯(cuò)誤“美麗”起來(lái)。在初中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中，往往會(huì)暴露出這樣或那樣的錯(cuò)誤，這都是正?，F(xiàn)象，關(guān)鍵在于教師如何巧借錯(cuò)題資源，引導(dǎo)學(xué)生有效反思自己的錯(cuò)誤思維路徑，找到解決問(wèn)題的方式方法，發(fā)展學(xué)生的思維能力，提高學(xué)生的解題技巧和準(zhǔn)確率。筆者針對(duì)學(xué)生解題過(guò)程中經(jīng)常出現(xiàn)的問(wèn)題并對(duì)此進(jìn)行分析，就如何提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題技巧談些自己的體會(huì)。

一、活用定義定理，準(zhǔn)確找到切入點(diǎn)，提高解題技巧

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)離不開解題，而解題的關(guān)鍵在于快速準(zhǔn)確地找到解題的切入點(diǎn)，一旦切入點(diǎn)找準(zhǔn)了，試題可能會(huì)迎刃而解。尋找切入點(diǎn)的方法很多，其中，從數(shù)學(xué)定義、定理、公式、輔助線出發(fā)找尋解題切入點(diǎn)是常用而有效的方法。其實(shí)，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，牢固掌握并靈活運(yùn)用概念、定義、定理是非常重要的，這對(duì)解答一些靈活性試題非常關(guān)鍵和有效，否則，就會(huì)出現(xiàn)解題的困惑甚至錯(cuò)誤。

如圖1，在△ABC中，AD平分∠BAC，且點(diǎn)D是BC的中點(diǎn).試判斷AD與BC的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由。

這是2019-2020八年級(jí)第一學(xué)期期末考試的一道試題，是一道典型的證明全等的試題，難度并不算大。但我在監(jiān)考中發(fā)現(xiàn)，做錯(cuò)的學(xué)生非常多。問(wèn)題集中表現(xiàn)為兩類，一是部分學(xué)生對(duì)課本上的基本定義、全等判定掌握不牢、思維定勢(shì)較為嚴(yán)重，不能靈活運(yùn)用所學(xué)定理。在此題中，從所給已知條件中，是不能夠直接證明AD⊥BC或AB=AC的。由于學(xué)生缺乏對(duì)三角形全等判定定理的變通能力，于是就沒(méi)有了正確的解題思路，不得不跟著感覺(jué)走，就認(rèn)為圖中兩個(gè)三角形是全等的，也不再考慮三角形全等的判定原理運(yùn)用是否正確，直接按已知條件寫出解題過(guò)程，憑僥幸解題，希望老師能夠給分。二是不能準(zhǔn)確找到解題的切入點(diǎn)，導(dǎo)致解題出現(xiàn)障礙。在此題中，所給的條件就是“邊邊角”，但如果根據(jù)課本，利用“邊邊角”來(lái)判定，這個(gè)判定不存在，直接寫也是不對(duì)的。

怎么辦？還有什么條件我沒(méi)考慮到？題目中除了一條公共邊之外，就是線段中點(diǎn)，還有一個(gè)就是角平分線，這個(gè)時(shí)候如果學(xué)生對(duì)角平分線的性質(zhì)熟知能詳?shù)脑挘麄儜?yīng)該能夠想到根據(jù)角平分線性質(zhì)往角的兩邊做垂線，從而增加了一組條件，也就是增加了圖2中的DE=DF和∠DFB=∠DEC=90°這兩個(gè)條件，這樣他們就能證明ΔAFD≌ΔAED或者Rt△BDF≌Rt△CDE（HL），從而根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì)，AD⊥BC.

其實(shí)，在學(xué)習(xí)全等判定的時(shí)候，我們對(duì)于幾種全等判定的方法都是經(jīng)過(guò)探究、練習(xí)、證明了的，在練習(xí)和講解的過(guò)程中，也反復(fù)強(qiáng)調(diào)一般三角形沒(méi)有“邊邊角”這一證明方法，學(xué)生也記住了幾種全等的判定方法。但是，當(dāng)遇到了不能直接用這些方法證明全等時(shí)，可以考慮轉(zhuǎn)化成其他證明全等的方法。然而，當(dāng)成績(jī)出來(lái)并進(jìn)行統(tǒng)計(jì)時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)該題的得分率非常低，為什么會(huì)出現(xiàn)這種現(xiàn)象呢？原因在于學(xué)生不能夠從直接證明轉(zhuǎn)化為間接證明。對(duì)于本道試題，命題人的目的是想讓學(xué)生適切地尋找判定方法去證明三角形全等，正確地選擇解題方法和技巧。再者，在解答這道題目時(shí)，根據(jù)條件不能直接證明兩個(gè)三角形全等，應(yīng)考慮借助輔助線或是二次全等的方法來(lái)解題。解題過(guò)程如下：

證明：如圖，

作DF⊥AB，DE⊥AC，

∵AD平分∠BAC，

∴DE=DF，

∠BFD=∠CED=90°，

∵D是BC的中點(diǎn)，

∴BD=CD，

在Rt△BDF和Rt△CDE中，

∴Rt△BDF≌Rt△CDE（HL），

∴∠B=∠C，

∴AB=AC，

∴根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì)，AD⊥BC.

做任何事都需要變通，教學(xué)也不例外所以。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)在堅(jiān)守著變通，在變通中創(chuàng)新，在創(chuàng)新中精彩，善于從不同角度去分析、思考問(wèn)題，靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)定義、定理，另辟蹊徑尋找解題的切入點(diǎn)，而不能死搬硬套，不求變通。否則，學(xué)習(xí)就會(huì)走入機(jī)械僵化的死胡同。

二、精準(zhǔn)審題，強(qiáng)化融合，發(fā)展思維，提高解題技巧

核心素養(yǎng)背景下的數(shù)學(xué)教學(xué)特別強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識(shí)的整合、勾連，做到活化知識(shí)，從而培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力、邏輯思維能力和解題技巧。提高學(xué)生解題技巧解題都是從審題開始的，審題的質(zhì)量直接關(guān)系到解題的成功率。初中數(shù)學(xué)所涉及到的知識(shí)點(diǎn)非常多，學(xué)生想要在較短的時(shí)間里快速準(zhǔn)確解決問(wèn)題，一是要求學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)要熟知、熟練;二是要求學(xué)生認(rèn)真審題，明確試題指向和意圖，思考解題所用知識(shí)和思路;三是要求學(xué)生能把相關(guān)知識(shí)進(jìn)行串聯(lián)、并聯(lián)、融合;四是要求學(xué)生逐漸從感性思維轉(zhuǎn)為理性思維，提升自己的思維力。

當(dāng)學(xué)生解題時(shí)，首先要認(rèn)真研讀試題內(nèi)容和設(shè)問(wèn)，對(duì)題目中的條件、結(jié)論和問(wèn)題進(jìn)行分析、歸納，弄清楚題目的條件和結(jié)論間的內(nèi)在聯(lián)系，分析這些聯(lián)系與哪個(gè)或那些數(shù)學(xué)原理相匹配，從而鎖定解題所用到的定理，這樣就能較快地確定解題方法和解題思路。

如，2020年徐州市中考數(shù)學(xué)試題的第18小題：在△ ABC 中，若AB=6，∠ACB=45°，則△ABC的面積的最大值為;;;;。這是試卷上最后一道填空題，這道題的得分率也是很低的，原因是什么？經(jīng)過(guò)了解學(xué)生得知，其原因是一部分學(xué)生沒(méi)讀懂題目，出現(xiàn)了思維“空白”現(xiàn)象，不知道如何下手，根本沒(méi)想到三角形和圓結(jié)合，也就沒(méi)有了解題方法。

在此道試題中，AB邊等于6是定值，我們作CM⊥AB，找到CM的最大值，此題就可以迎刃而解。根據(jù)三角形全等的知識(shí)，從試題所給的兩個(gè)條件，說(shuō)明ΔABC是不唯一的，怎么找不固定三角形的高，最好的方法結(jié)合圓的知識(shí)，也就是知識(shí)的嫁接、融合。AB的長(zhǎng)度一定，在構(gòu)造的圓中作為定弦，它所對(duì)的圓周角度數(shù)是固定的，三角形ABC會(huì)隨著點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)發(fā)生變化，C到AB的距離也就是三角形ABC的高也在不斷變化，但是在高的變化中，我們能夠確定高的最大值，從而也就找到了面積最大值的求法。

解題步驟如下：

解：作三角形ABC的外接圓⊙0，過(guò)0作CM⊥AB，

∴AM=BM（垂徑定理），

∴AC=BC

∵∠AOB=2∠ACB=2×45°=90°

∴OM=AM= ;AB=3

∴AO=3? 2

∴CM=OC+OM=3? 2 +3

∴SΔABC= ;×6×（3? 2 +3）=9? 2? +9

思維是數(shù)學(xué)的生命和核心，數(shù)學(xué)教學(xué)是鍛煉學(xué)生思維能力的體操，“為學(xué)生思維發(fā)展而教”是數(shù)學(xué)教師為師之本、教學(xué)之道。在解題時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的思維力就要讓思維貫穿于解題的全過(guò)程，即貫穿于審題、思考、解題的整個(gè)過(guò)程。所以，我們?cè)谝院蠼虒W(xué)生解題時(shí)，要做到以下幾點(diǎn)：（1）分析所給已知條件。要明確題目中的已知條件，思考、發(fā)現(xiàn)隱含條件，把復(fù)雜的目標(biāo)轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單的目標(biāo)，把抽象的目標(biāo)轉(zhuǎn)化成具體的目標(biāo)。（2）確定解題思路。在弄清楚試題已知條件的基礎(chǔ)上，要準(zhǔn)確厘定解題思路，做到思路清晰，推理準(zhǔn)確，步驟完整，無(wú)懈可擊，從而提高解題的成功率。（3）注重知識(shí)的融合。數(shù)學(xué)知識(shí)的碎片化是制約學(xué)生解題出現(xiàn)障礙的主要因素。一道題目中的條件和結(jié)論之間存在著必然的聯(lián)系，這些聯(lián)系就是解題之關(guān)鍵。用哪些相關(guān)聯(lián)的知識(shí)去解決問(wèn)題是教師在教學(xué)中必須關(guān)注的重要課題。在此題中，三角形知識(shí)與圓的知識(shí)進(jìn)行整合，是解題的關(guān)鍵。三角形能夠確定一個(gè)圓，那三角形和圓有著不可分割的聯(lián)系，這就需要學(xué)生心中有個(gè)知識(shí)聯(lián)系的思維框架。由于學(xué)生沒(méi)有想到三角形和圓的完美結(jié)合，就造成這道題沒(méi)有解出正確答案。所以，培養(yǎng)和發(fā)學(xué)生思維的廣泛性和深刻性、思維的靈活性和整合性、思維的邏輯性和創(chuàng)造性，是數(shù)學(xué)教學(xué)的重中之重。

三、巧用圖形運(yùn)動(dòng)，發(fā)展學(xué)生想象力，提高解決技巧

圖形的運(yùn)動(dòng)在初中階段應(yīng)用非常廣泛，圖形運(yùn)動(dòng)類試題也越來(lái)越受到命題者的青睞。圖形運(yùn)動(dòng)類試題是以圖形的平移、翻折、旋轉(zhuǎn)等圖形變換為解題思路的題目，這類試題把圖形的性質(zhì)和圖形之間的數(shù)量關(guān)系、位置關(guān)系融合在變化的、相互依存的狀態(tài)之中，設(shè)置問(wèn)題，考查學(xué)生的想象力、思維力。有不少學(xué)生在解答此類試題時(shí)往往會(huì)不知所措，望而生畏。其實(shí)，只要掌握了做此類試題的技巧，就不會(huì)不知從何下手或者出現(xiàn)錯(cuò)誤。

如，在九年級(jí)復(fù)習(xí)軸對(duì)稱圖形時(shí)，為檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的掌握情況，我出了一道利用對(duì)稱（也就是翻折）求面積的題目：如圖所示，在等腰直角三角形ABC中，AB=4，兩腰AC、BC與半圓相切于點(diǎn)D、E，求圖中陰影部分的面積。

析解：這個(gè)題目直接解決是有難度的，也是容易出現(xiàn)錯(cuò)誤的試題。在此題中，將整個(gè)圖形沿AB所在的直線為對(duì)稱軸翻折，得到如圖4所示的正方形AGBC，根據(jù)對(duì)稱性就能把不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形，不少學(xué)生要么沒(méi)有任何思路，要么出現(xiàn)各種錯(cuò)誤。其原因是缺乏解圖形運(yùn)動(dòng)類試題的思路和技巧。此題主要就是利用了圖形的運(yùn)動(dòng)，通過(guò)兩個(gè)三角形的平移、翻折、旋轉(zhuǎn)，說(shuō)明ACBG是軸對(duì)稱圖形（正方形），從而解決該題。在教學(xué)過(guò)程中，不少數(shù)學(xué)題目中充滿著對(duì)稱，利用對(duì)稱性是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種有效方法，也就是利用圖形的翻折，找到解決問(wèn)題的辦法。但許多具體數(shù)學(xué)問(wèn)題往往不具有對(duì)稱的形式，因此，需要構(gòu)造對(duì)稱的圖形來(lái)解決問(wèn)題。

如圖可知：

解：S陰 = ;（S正方形-S⊙O）

在RtΔABC中，

AB2=2BC2=42=16

∴BC2=8

∴⊙O的半徑r= ;BC=;×2? 2 =? 2

∴S陰 =? （8-2π）=2-

再如，利用對(duì)稱求最值。動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題結(jié)合圖形的運(yùn)動(dòng)對(duì)于初中的學(xué)生是比較困難的，比如我們常見的“小牛喝水”問(wèn)題，講了好多遍，每次遇到還是有一大部分學(xué)生不能正確解答，做這類題，我們一定要教會(huì)學(xué)生在“動(dòng)中找靜”，使隱蔽的條件明朗化，使分散的條件集中化，然后根據(jù)軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)，簡(jiǎn)化解題過(guò)程。

如圖5，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，且（下轉(zhuǎn)第149頁(yè)）（上接第146頁(yè)）點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P為AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求PB+PD的最小值。

析解這道題，PBD三個(gè)點(diǎn)，p是個(gè)動(dòng)點(diǎn)，不好確定它的位置，但是，利用對(duì)稱性，我們能確定B的對(duì)稱點(diǎn)，B'D的長(zhǎng)度就是PB+PD的最小值。 將△ABC以AC為對(duì)稱軸翻折得△ACB'，連結(jié)B'D交AC于點(diǎn)P，連結(jié)PB'，PB.

解：根據(jù)正方形的性質(zhì)PB=PB'

∴PB+PD=PB'+PD=B'D

在RtΔPCB'中

B'D=? CD2+CB2;=? 1+22? =? 5

即PB+PD的最小值為? 5

簡(jiǎn)單說(shuō)來(lái)，學(xué)生要正確解答圖形運(yùn)動(dòng)類問(wèn)題時(shí)，必須具有扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)和靈活的解題能力，并且能夠綜合運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類思想、方程思想等。在解題過(guò)程中，不被“動(dòng)”所迷惑，從特殊情況入手，變中找不變，動(dòng)中求靜，以靜制動(dòng)，把動(dòng)態(tài)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為靜態(tài)的問(wèn)題來(lái)解決，找到了“動(dòng)”與“靜”的聯(lián)系，也就確定了解決問(wèn)題的突破口。

總之，學(xué)生在解題時(shí)出現(xiàn)的各種錯(cuò)誤是不可浪費(fèi)的教育教學(xué)資源，利用錯(cuò)誤拓展師生共同成長(zhǎng)的空間，使教學(xué)在“出現(xiàn)錯(cuò)誤——分析錯(cuò)誤——經(jīng)營(yíng)錯(cuò)誤——解決錯(cuò)誤——再生錯(cuò)誤”的過(guò)程中更加有效、更加精彩，這是新課程改革背景下教師促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)，達(dá)成教學(xué)目標(biāo)的必由之路。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，無(wú)論是老師的教學(xué)過(guò)程還是學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程，必須要對(duì)基本概念深入透徹地理解，深層次地掌握數(shù)學(xué)公式、相關(guān)定理，對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題能多角度的思考，多向度的思維，善于歸納、總結(jié)做題的得失原因以及方法技巧，不斷積累知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)會(huì)逐漸有靈感，解題會(huì)逐漸有靈性，從而使學(xué)生增強(qiáng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的獲得感、成就感，同時(shí)學(xué)生的思維也會(huì)越來(lái)越敏捷，從而也提高了學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力。

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