Helmert方差分量估計在GPS/GLONASS/BDS/Galileo組合定位權比確定中的應用

代 陽，劉 超

(安徽理工大學 測繪學院，安徽 淮南232001)

隨著全球導航衛星系統(global navigation satellite system,GNSS)的不斷完善與發展，多模GNSS系統組合與兼容成為了目前衛星組合導航定位的主要方法[1-2]。在眾多導航系統中，因為美國的全球定位系統(global positioning system,GPS)，俄羅斯的格洛納斯系統(global navigation satellite system,GLONASS)，中國的北斗系統(BeiDou navigation satellite system,BDS)與歐盟的伽利略系統(Galileo satellite navigation system,Galileo)精度高，可靠性強，成為了目前衛星導航定位的主流系統。相較于單系統，采用GPS/GLONASS/BDS/Galileo多系統組合導航定位能夠覆蓋更加廣泛的時空域，提供更加充足的可視衛星，優化星座結構，稀釋幾何精度因子，從而提高定位的可靠性和穩定性[3-4]。同時在算法方面，組合導航定位通過不同系統的組合，削弱了單系統中的系統性誤差。而且，多系統提供的適量冗余數據能夠改善由于過少觀測量而導致的法方程病態問題，并為選星提供更多更優的選擇策略，從而進一步提高定位的精準度。因此采用GPS/GLONASS/BDS/Galileo組合導航定位，能夠提供更優更可靠的導航定位服務。

在多系統組合導航定位中，偽距單點定位模型由于無需固定整周模糊度，解算速度快，被廣泛運用于生產實踐中。該模型采用最小二乘算法，解算精度受幾何模型與隨機模型精度影響。且各個系統的觀測值權陣組成了隨機模型，反映了各個觀測值對定位解算的貢獻大小，因此觀測值權陣是影響定位精度的重要因素。在多系統偽距單點定位時，如果僅采用等權及高度角模型定權，簡單地將總觀測值糅合起來，籠統地將各類系統觀測值分為一類，而忽略不同系統之間星座結構與導航性能差異所帶來的各類觀測值之間精度不同的不利因素，反而會降低定位精度[5-6]。因此，如何確定各個系統間的權比，對提高GPS/GLONASS/BDS/Galileo組合偽距單點定位的精確度至關重要。

常用于確定導航定位權陣的隨機模型通常分為：等權模型、信噪比模型、M殘差法、最優不變二次無偏估計法與赫爾默特方差分量估計法(Helmert variance component estimation，簡稱Helmert)等。其中，因Helmert方差分量估計能夠通過每個歷元預平差得到殘差改正數，實時估計各個系統間偽距觀測值的驗后單位權方差，進而得到系統間權陣，被廣泛應用于多系統組合的導航定位中[7-9]。在GPS/GLONASS組合定位中，段舉舉等[10]和高曉等[11]采用Helmert方差分量估計對GPS、GLONASS兩個系統進行定權分析，得出偽距單點定位時的合理權比為2∶1，載波定位時的合理權比為1∶1，且在該權比下，定位的精度與可靠性明顯提高。在GPS/BDS組合定位中，由于北斗星座的特殊性，劉天駿等[12]將北斗衛星分為地球靜止軌道、中地球軌道、傾斜地球同步軌道三類軌道衛星，針對在部分觀測情況下中地球軌道衛星數量過少的問題，將指數加權與Helmert方差分量估計結合，有效地提高了靜態與動態單點定位的精度。在GPS/GLONASS/BDS組合定位中，劉金海等[13]采用Helmert方差分量估計在單點定位中將各個系統間的權比設置為5∶1∶1，相對定位中的權比為1∶1∶1，其定位結果與等權模型相比具有明顯的改善。在現代GNSS組合導航定位發展中，GPS與GLONASS系統正在不斷完善，BDS系統逐步投放衛星完成全球組網，Galileo系統也在發揮著越來越大的作用，GPS/GLONASS/BDS/Galileo四系統組合定位儼然成為導航定位的主流。鑒于各個系統的差異，合理設置系統間的權重對提高定位精度具有重要的意義。

1 四系統組合單點定位的函數模型

GPS/GLONASS/BDS/Galileo偽距單點定位的觀測方程為[14]：

(1)

采用Klobuchar模型消除電離層延遲，Saastamoinen模型進行對流層延遲改進[15]。將觀測方程進行線性化：

(2)

方程中的各個變量的表達式如下：

(3)

(4)

(5)

(6)

2 四系統組合單點定位的隨機模型

2.1 高度角定權模型

衛星的定位精度會隨著自身位置發生改變，通常認為這些精度與衛星的高度角呈正相關。在衛星信號的傳播過程中，其觀測值的質量會受到電離層、對流層以及多路徑效應的影響，而這些誤差的影響隨著衛星高度角的增加而不斷減弱，達到天頂方向時，受到的影響最小。目前，高度角定權模型的常用函數有兩類，分別為三角函數高度角模型和指數高度角模型，其表達式分別為[16]：

(7)

(8)

其中：P為該衛星觀測值的權值；φ為衛星高度角；s為與實測數據相關的比例因子；φ0為參考高度角；a0與a1為經驗系數。由于本研究使用的是分布在全球的9個站點的數據，若運用指數高度角模型，相應參數需根據不同站點的情況做出調整，且較難獲取。故選擇三角函數高度角模型。

2.2 Helmert方差分量估計

GPS/GLONASS/BDS/Galileo四系統的Helmert方差分量估計的步驟[17]：

1) 根據各個系統的偽距觀測值，系統之間的初始經驗權比設置為PG=PR=PB=PE=1，同一系統內部通過高度角方式定權。高度角的定權公式為：

(9)

式中，P為權值；i代表G、R、B或E；k代表某顆衛星的序列號；φk為第k顆衛星的高度角。

2) 對觀測方程進行預平差，計算出各類系統觀測值改正數V；

3) 通過嚴密Helmert方差分量估計，計算出各個系統的單位權方差因子θ:

θ=S-1W；

(10)

式中各個變量計算如下：

(11)

(12)

(13)

N=NG+NR+NB+NE，

(14)

N=AΤPA，

(15)

式中，nG、nR、nB與nE分別代表GPS、GLONASS、BDS與Galileo系統的觀測值個數。

4) 利用各個系統單位權方差θ，對系統間的權陣重新賦值：

(16)

3 實驗及分析

3.1 實驗數據

本研究實驗數據由MGEX實驗網[18]提供，數據分別采集于北半球亞美尼亞的ARUC站點、日本的GMSD站點與菲律賓的PTAG站點；位于赤道中心附近的馬來西亞的ANMG站點、印度尼西亞的CIBG站點與巴布亞新幾內亞的PNGM站點；位于南半球新西蘭的AUCK站點、位于澳大利亞的KAT1站點和STR1站點。以上9個站點均可以接收到GPS/GLONASS/BDS/Galileo系統的觀測數據。實驗數據從2018年9月15日0時開始采集，到2018年9月19日24點結束；采樣間隔為30 s，各站點采集14 400歷元(由于PTAG站點在2018年9月19日的觀測文件不包含BDS與Galileo系統，故PTAG站點該天數據舍棄)。每個站點的真實坐標由IGS組織(ftp://garner.ucsd.edu/pub/docs/station_logs)提供。

3.2 實驗案例

為了驗證Helmert方差分量估計應用于GPS/GLONASS/BDS/Galileo四系統組合偽距單點定位中的正確性，在上述采集數據中分別使用等權模型與Helmert定權模型進行對比實驗。在進行偽距單點定位解算時，統一設置其截止高度角為15°，采用L1波段的偽距觀測值，電離層誤差采用Klobuchar模型進行修正，對流層誤差采用Saastamotion模型進行改正。以IGS站提供的站點參考坐標作為真實值，算出兩種定權模型在各個站點的東方向E、北方向N、天頂方向U的方向偏差與點位偏差，并統計出它們的均方根誤差(root mean square,RMS)進行比較。

由于不同歷元各個系統的可視衛星數目不同，而每顆衛星的位置與狀態也會隨著時間不斷變化，因此每個歷元的GPS/GLONASS/BDS/Galileo四系統偽距觀測值的權比并非固定不變。在每個歷元解算前，采用Helmert方差分量估算出各個系統間的權比，用于改善偽距單點定位的隨機模型，并求取每個站點各個系統單位權方差的平均值，進而得到權比。其結果如表1所示：

由表1可知，通過統計各個站點的共14 400歷元的GPS/GLONASS/BDS/Galileo系統間權比得知，由于不同地區地理位置存在差異等多方面因素影響，不同站點的四個系統間的權比稍有不同，但總體的趨勢大致相同。GPS、Galileo系統的權比整體大于GLONASS系統，且由于此時北斗系統尚未完成全球組網，上述站點接收到的北斗衛星數量不多，定軌精度不高，所以計算出的BDS系統的權比是最小的。

表1 各個站點的GPS、GLONASS、BDS和Galileo系統間權比Tab.1 Weight ratio between GPS,GLONASS,BDS and Galileo systems at each station

將各個站點每個歷元由Helmert方差分量估計得到的系統間權比代入對應的歷元中，對偽距單點定位中隨機模型進行改正，計算出由該模型改進后的每個歷元在E、N以及U方向的方位偏差與點位偏差。并將上述結果與等權模型的定位結果對比，其結果如表2所示。限于篇幅，上述9個站點不能全部呈現，以位于北半球的GMSD站、赤道附近的PNGM站與南半球的KAT1站共3個站點為例，分別繪制出在Helmert定權模型與等權模型下的E、N、U的方向偏差，如圖1～3所示。

圖1 兩種定權方式下GMSD站的定位誤差Fig.1 Positioning error under two weighting methods in GMSD station

由圖1～3可知，采用Helmert方差分量估計進行系統間定權，這三個站點在E、N和U方向上的定位結果均優于等權模型。在E方向上，各個站點的定位精度提升幅度較小；而在N方向上，PNGM與KAT1站點精度提升較大；在U方向上，GMSD站點與PNGM站點較KAT1站點的精度提升更加明顯。

由表2所知，上述的9個站點采用Helmert定權的偽距單點定位結果在N、E、U的方向偏差與點位誤差的RMS基本上小于由等權模型的解算結果。對比相同站點的N、E、U方向偏差的RMS，發現Helmert方差分量估計在不同方位的定位精度改善程度各有差異。在E和N方向改善程度最高的是ANMG站，精度分別提升了29.0%與22.9%；在U方向改善程度最高的為PNGM站，精度提升了16.0%。對比不同站點的點位誤差，發現Helmert方差分量估計在不同站點的定位精度的改善程度也不同。其中PNGM站的點位誤差改善程度最高，提升了15.6%；CIBG站的改善程度最低，僅為3.69%。其他各站的點位誤差改善程度基本都在10%左右。

表2 兩種定權方式下各站點的計算結果統計Tab.2 Statistics of calculation results of each site under two different weighting modes

圖2 兩種定權方式下PNGM站的定位誤差Fig.2 Positioning error under two weighting methods in PNGM station

圖3 兩種定權方式下KAT1站的定位誤差Fig.3 Positioning error under two weighting methods in KAT1 station

綜上可知，在偽距單點定位中，通過Helmert方差分量估計進行系統間定權得到的定位結果精度均優于等權模型的解算結果。證明了GPS/GLONASS/BDS/Galileo四系統間的偽距觀測值的精度存在差異，通過Helmert方差分量估計確定系統間的權比，改善權陣進而優化隨機模型，能夠有效提高定位精度。

4 結論

對GNSS組合導航定位中如何通過確定系統間的合理權比，提高定位精度的問題進行了討論，得到以下結論：

1) 與等權方案相比，采用Helmert方差分量估計定權方案的解算結果精度在N、E和U方向上整體得到了提升；

2) 采用Helmert方差分量估計定權在不同地區中定位結果的改善效果不同，其中PNGM站改善程度最為明顯，提升了15.6%；CIBG站的改善程度最低，僅為3.69%；

3) 采用Helmert方差分量估計在相同站點中的不同方向上改善程度存在差異。對于N或E方向，采用Helmert方差分量估計的定位精度高于等權模型；而對于U方向，采用Helmert方差分量估計的優勢更為明顯，其在全部站點均取得了良好的效果；

4) 在對多系統組合定位時，建議采用Helmert方差分量估計確定系統間的相對權比，以提高定位的精度與可靠性。

本研究僅對偽距單點定位下GPS/GLONASS/BDS/Galileo四系統間的權比進行討論，并未考慮到北斗系統內部處于不同軌道衛星的定位精度差異，這是下一步的研究方向。