賦權已實現波動率模型的改進及實證研究

劉美娟，孫秋霞，王向榮，馮佳偉

(山東科技大學 數學與系統科學學院，山東 青島 266590)

波動率在金融資產風險度量、投資組合管理等領域發揮著重要作用。波動率大致分為三類：基于低頻數據的時變波動率、期權隱含波動率以及基于高頻數據的已實現類波動率。在高頻數據領域，Andersen等[1-2]做出了開創性的貢獻，采用非參數方法，提出 “已實現”波動率。由于已實現波動率能夠反映更多價格信息，對市場波動率的刻畫更為準確，引起廣大金融學者的關注并得到相當數量的相關研究成果[3-5]。高頻數據波動率的“已實現”測算方法屬于非參數估計法，不需要假定服從某個分布，擁有比低頻數據更多的交易信息，計算簡便，但其結果會受到市場微觀結構的限制。龔旭等[6]在HAR-RV模型的基礎上，運用EMD等方法將模型中的已實現波動率分解為高頻已實現波動率、低頻已實現波動率和趨勢已實現波動率，并加入跳躍波動率成分。陳國進等[7]通過提取正跳躍與負跳躍，研究連續運動部分的存在是否會“稀釋”股價跳躍對波動率所產生的影響。孫潔[8]考察了考慮跳躍和隔夜波動的中國股票市場波動率建模與預測問題，用“已實現”波動率度量上證綜指和深證成指在交易時間內的波動率。肖敏等[9]和瞿慧等[10]分別就廣義動態因子模型構建的個股隔夜波動率以及引入隔夜信息的已實現波動率進行了討論。柳向東等[11]通過已實現波動率和已實現雙冪次變差對資產價格的連續性波動和跳躍波動進行建模，得到進行波動率短期預測的HAR-lnRV模型及HAR-JV-CV模型。孫秋霞等[12]從計算方法、穩健性、有效性、日歷效應等角度，比較十種高頻數據“已實現”類波動率估計量，給出了針對不同市場結構選取相適應的高頻波動率估計量的建議。本研究比較分析異質自回歸HAR-RV模型以及三類經典的波動率HAR測算模型：HAR-RV-CJ模型、LHAR-RV-CJ模型和LHAR-WRV-CJ模型。基于文獻[12],結合異質市場理論、隔夜波動率的影響以及投資者交易行為的不對稱性，提出賦權已實現波動率的LHAR-WRV-CJ-M模型，并對其性能開展實證研究。

1 波動率預測模型的演化綜述及改進

1.1 HAR-RV模型

基于有效市場理論，Müller等[13]修正了理性人假設，提出異質市場理論；張磊[14]在此基礎上對股市交易者的異質性行為進行分析。而Corsi[15]根據異質市場理論中投資者交易頻率的不同，提出HAR-RV模型并建立回歸關系：

(1)

其中εt表示隨機擾動項。該模型是關于已實現波動率的異質市場自回歸模型，參數估計簡便。

1.2 HAR-RV-CJ模型

目前，我國金融市場個人投資者占比約為80%。個人投資者受專業能力所限，易受市場情緒影響，進而產生非理性交易行為，使金融市場資產價格極易發生急劇波動。鑒于國內金融市場現狀，樣本區間內發生跳躍時已實現差波動率RV不再是積分波動率的一致估計量，需選取對于跳躍穩健的波動率估計量。故采用帶有跳躍的非連續過程刻畫波動率和分解波動率，使連續因素與跳躍因素分離是研究該金融市場的必須手段。

通過將可穩健性波動分離出連續和跳躍波動，Andersen 等[16]對HAR-RV模型進行改進，構建HAR-RV-CJ模型：

RVt,t+h=α0+αdCt+αwCt-5,t+αmCt-22,t+βdJt+βwJt-5,t+βmJt-22,t+εt,t+h。

(2)

由于時間序列數據通常不服從正態分布，用對數已實現波動率和對數已實現波動率的跳躍成分來構建模型，更能提升預測模型的精度，波動率預測的長記憶性表現更好。故文獻[17]提出了對數形式的非線性模型：

log(RVt,t+h)=α0+αdlog(Ct)+αwlog(Ct-5,t+αmlog(Ct-22,t)+βdlog(Jt+1)+βwlog(Jt-5,t+1)+βmlog(Jt-22,t+1)+εt,t+h，

(3)

1.3 LHAR-RV-CJ模型

考慮好消息(正收益)和壞消息(負收益)對波動率的影響，Corsi等[18]構建了LHAR-CJ模型,研究不同交易周期的負收益對波動率的影響。研究發現：負收益同波動率的自相關性質相似，對波動率的預測具有長記憶性，并且正、負收益對波動率帶來的沖擊大小不同。考慮到負收益具有杠桿效應，故在異質市場自回歸模型HAR-RV-CJ中加入負收益率變量，提高對波動率的預測效果。構造對數形式的帶有負收益變量的LHAR-RV-CJ模型：

(4)

1.4 LHAR-WRV-CJ模型

雖然HAR-RV-CJ模型分離了已實現波動率RV中的連續和跳躍成分，但郭名媛等[3]在已實現波動率RV的基礎上消除日歷效應，提出賦權已實現波動率WRV，其有效性優于已實現波動率RV。劉飛飛[19]采用賦權已實現波動率WRV與已實現雙冪次變差RBV之差作為跳躍方差的一致估計量，提出LHAR-WRV-CJ模型，該模型在預測效果上同時優于(2)式與(4)式所描述的HAR-WRV-CJ模型與LHAR-RV-CJ模型。通過對賦權已實現波動率WRV分離跳躍和連續成分，最終得到對數形式的LHAR-WRV-CJ模型：

(5)

關于連續性波動的選擇上，用賦權已實現波動率WRV替換了原先的已實現波動率RV，模型的有效性得到了提升；跳躍性波動方面也因為消除了日歷效應的影響，起到了減少跳躍方差誤差的作用。

1.5 改進的LHAR-WRV-CJ-M模型

HAR-RV模型僅考慮投資者的交易行為，忽視了其他異質市場結構因素，如投資者心理素質、風險偏好和認知水平等，因而模型在預測市場方面存在缺陷。張小斐[20]在HAR模型基礎上加入心理因素和交易機制，建立HAR-L-M模型，證明該模型比ARFIMA和HAR-RV模型的預測效果更好。

鑒于市場交易機制下股市非24 h連續交易，因而波動率應分為交易時間波動率與隔夜波動率。交易時間波動率即為已實現波動率RV。閉市期間，市場信息不斷產生，隔日開盤價格則會體現相應信息，故需要考慮隔夜波動率。同時，由于GARCH類模型樣本外預測能力效果較好，因而本研究選擇GARCH模型衡量隔夜波動率，將其加入LHAR-WRV-CJ模型，形成LHAR-WRV-CJ-M模型。該模型對數形式：

(6)

2 波動率預測模型的比較研究

比較分析HAR-RV-CJ模型、LHAR-RV-CJ模型、LHAR-WRV-CJ模型和LHAR-WRV-CJ-M模型。采集2014.05.05—2017.03.03期間上證指數5 min數據，進行滾動時間窗口樣本外預測。原樣本數據為692天，計算收益率和月波動率剔除22天，樣本長度變為670天，將前470天作為訓練集，后200天作為驗證集。對上述四種HAR類模型的性能運用三種損失函數(MAE、MSE、R2LOG)和具有bootstrap特性的高級預測能力SPA法進行效果評價。

2.1 數據的統計特征

下面通過統計數據分析連續性波動與離散性跳躍波動對已實現波動率和賦權已實現波動率的影響。

表1對比表2可得：對數賦權已實現波動率logWRV的標準差小于對數已實現波動率logRV的標準差，前者有效性明顯優于后者。表1中對數離散跳躍方差log(JRV+1)的偏度和峰度遠遠大于表格中另外三種波動率，通過跳躍顯著性檢驗的離散方差，能夠刻畫跳躍性波動及市場的極端異常情況，所以有非常高的峰值。670個交易日樣本中，有34.03%發生顯著跳躍。對于已實現波動率而言，連續性波動CRV的均值占已實現波動率RV均值的比例為88.73%，離散跳躍波動JRV的均值約占已實現波動率RV均值的比例為25.65%；對于賦權已實現波動率而言，連續性波動CWRV的均值占賦權已實現波動率WRV均值的比例為89.24%，離散跳躍波動JWRV的均值約占賦權已實現波動率WRV均值的比例為21.63%。通過對已實現波動率和賦權已實現波動率的離散跳躍成分分離，可以看出離散波動成分對波動率的影響較小，由此表明對波動率的預測主要由連續波動決定。

表1 已實現波動率與連續跳躍方差的統計特征Tab.1 Statistical characteristics of realized volatility and continuous jump variance

表2 賦權已實現波動率與連續跳躍方差的統計特征Tab.2 Statistical characteristics of realized volatility and continuous jump variance

2.2 波動率預測模型參數估計

為得到穩健的回歸結果，采用Newey-West方法，選取h=1，5和22天數據進行參數估計，分別表示對未來1天、1周和1月的波動率進行估計。表3～6分別給出了對數HAR-RV-CJ模型、對數LHAR-RV-CJ模型、對數LHAR-WRV-CJ模型和LHAR-WRV-CJ-M模型的回歸結果。

由表3所列參數估計結果可知，對數日、周、月已實現波動率連續成分系數基本都顯著，短期連續成分對不同周期上證綜指波動率的估計結果在1%水平下顯著，短期連續成分能夠明顯影響未來不同周期的波動率。而模型跳躍成分系數的顯著性則不明顯，對未來不同周期波動率的影響不大。回歸結果表明：對數HAR-RV-CJ模型，能夠刻畫市場中的不同交易者行為的異質成分。

表3 對數HAR-RV-CJ模型回歸結果Tab.3 Regression results of log HAR-RV-CJ model

由表4可知,對數LHAR-RV-CJ模型中的對數日、周、月已實現波動率的連續成分顯著不為0，標準化后負收益系數顯著性程度非常高。數據表明：我國市場中散戶眾多，不對稱效較為顯著，負收益率對波動率的影響大于正收益率對波動率的影響；對數LHAR-RV-CJ模型的不同周期的擬合優度R2均高于對數HAR-RV-CJ模型，擬合效果非常好，對數LHAR-RV-CJ模型優于對數HAR-RV-CJ模型。

表4 對數LHAR-RV-CJ模型回歸結果Tab.4 Regression results of log LHAR-RV-CJ model

表5結果顯示：模型對未來一天已實現波動率的連續成分系數均非常顯著，不同交易行為的疊加能夠成功刻畫市場的波動，中長期相對算起而言，對數周和月已實現波動率對波動的影響程度較高；短期日負收益率和中期的周負收益率杠桿效應明顯，長期的月負收益率系數則不顯著，這一現象表明市場的悲觀情緒在中長期后逐步減弱。由模型的R2可以看出，對數LHAR-WRV-CJ模型的擬合效果均優于對數LHAR-RV-CJ模型和對數HAR-RV-CJ模型。

表5 對數LHAR-WRV-CJ模型回歸結果Tab.5 Regression results of log LHAR-WRV-CJ model

表6中參數結果顯示：從市場多個維度進行刻畫的模型樣本內擬合效果高于對數HAR-RV-CJ模型、對數LHAR-RV-CJ模型以及對數LHAR-WRV-CJ模型這三種模型，表明在對數LHAR-WRV-CJ模型基礎上加入隔夜波動率因素后，模型性能得到了提升，能夠從市場交易機制方面增加對波動率刻畫的精度。與上述三種對數HAR模型相同的是，對于不同周期波動率的預測起主要影響的是連續成分，跳躍成分的效果并不顯著。

表6 改進的對數LHAR-WRV-CJ-M模型回歸結果Tab.6 Regression results of modified log LHAR-WRV-CJ-M model

3 波動率模型預測效果的比較

3.1 樣本外預測效果圖

圖1～4分別對應對數HAR-RV-CJ模型、對數LHAR-RV-CJ模型、對數LHAR-WRV-CJ模型以及對數LHAR-WRV-CJ-M模型的滾動預測200天的預測值和真實值(LogRV和LogWRV)的對比結果。由圖示可以看出，考慮投資者不對稱心理因素和負收益的杠桿效應的對數LHAR-RV-CJ模型的預測效果好于對數HAR-RV-CJ模型；采用賦權已實現波動率進行模型修正的對數LHAR-WRV-CJ模型的預測效果優于對數LHAR-RV-CJ模型，預測精度最佳。基于市場交易機制和投資者心理因素的帶有隔夜波動率和負收益率的對數LHAR-WRV-CJ-M模型，對市場的解釋最好。

圖1 對數HAR-RV-CJ預測值v.s.對數已實現波動率Fig.1 log HAR-RV-CJ model predictions v.s.logRV

圖2 對數LHAR-RV-CJ預測值v.s.對數已實現波動率Fig.2 log LHAR-RV-CJ model prediction v.s.logRV

圖3 對數LHAR-WRV-CJ預測值v.s.對數WRVFig.3 predicted-value of logLWC model v.s.logWRV

圖4 對數LHAR-WRV-CJ-M模型預測值v.s.對數WRVFig.4 predicted-value of logLWCM model v.s.logWRV

3.2 樣本外預測評價分析

下面采用損失函數法和SPA檢驗法評價模型預測精度。

使用損失函數法計算出的數值越小，模型預測效果越好。表7數據表明，改進的對數 LHAR-WRV-CJ-M模型在三種損失函數下測算數值均最小，預測效果最好。

表7 三種損失函數評價結果Tab.7 Evaluation results of loss function

而SPA檢驗的值越大，基準模型的預測越好。設定B=10 000次重復取樣，以對數LHAR-WRV-CJ-M模型為基準模型,在MAE、MSE、R2LOG損失函數下均有最大的p值。雖然對數LHAR-WRV-CJ模型與對數LHAR-RV-CJ模型在三種損失函數下預測效果優于經典的對數HAR-RV-CJ模型，但與對數LHAR-WRV-CJ-M模型相比，其SPA檢驗的p值不高，故預測的準確性效果低于對數LHAR-WRV-CJ-M模型。

表8 SPA檢驗評價結果Tab.8 SPA test results

4 結論

通過分析三類HAR-RV模型，在LHAR-WRV-CJ模型基礎上構建了加入隔夜波動率和負收益率的對數LHAR-WRV-CJ-M模型。利用跳躍統計量對樣本期間內的跳躍次數進行顯著性檢驗，將已實現波動率和賦權已實現波動率分為連續波動和跳躍波動，比較已實現波動率RV、賦權已實現波動率WRV的統計特征。實證研究發現：①連續性波動占已實現波動率的主體部分，連續性波動相對跳躍性波動其影響更大；②波動率預測模型的短期系數較為顯著，中長期對波動率的影響并不明顯；③通過使用三種損失函數進行SPA檢驗，檢驗結果表明:對數LHAR-WRV-CJ-M模型的預測精度優于已有的HAR-RV-CJ模型、LHAR-RV-CJ模型和LHAR-WRV-CJ模型。