Riesz空間分數階非線性sine-Gordon方程新的保能量格式

劉 瑩,孫建強

(海南大學 理學院,海南 海口 570228)

近年來越來越多的學者發現許多重要的動力學問題都表現出分數階的行為,這些行為可能隨空間和時間的變化而變化。這說明變階微積分為復雜動力學問題的描述提供了一個有效的數學框架[1]。Riesz空間分數階非線性sine-Gordon方程已成為現代非線性波動理論的基本方程之一,廣泛存在于物理學的不同領域,如約瑟夫森結理論、場理論、晶格理論等[2-3]。一般來說,分數階微分方程的解析解是不易得到的,研究高效可靠的數值方法非常重要。近年來,對于Riesz空間分數階非線性sine-Gordon方程數值方法主要有變分迭代法、差分法和譜方法[4-6]。分數階非線性微分方程一般具有能量守恒特性,保能量算法在數值求解分數階非線性微分方程中具有越來越重要的意義[7-8]。考慮分數階非線性sine-Gordon方程：

(1)

在這里,本研究利用四階平均向量場方法結合傅里葉擬譜方法構造Riesz空間分數階非線性sine-Gordon方程(1)的一種新的高階保能量格式[8,15]。具體地，首先利用傅里葉擬譜方法對Riesz空間分數階sine-Gordon方程(1)進行空間離散近似,得到有限維的哈密爾頓系統,再利用四階平均向量場方法和Boole離散線積分法離散哈密爾頓系統[16-17]。最后將構造的新格式對Riesz空間分數階非線性sine-Gordon方程在不同初值條件下進行數值模擬,對新格式數值解的行為進行分析,最后得出結論。

1 傅里葉擬譜方法對Riesz空間分數階導數的離散

1.1 Riesz空間分數階導數

定義1當n-1<α

(2)

其中Γ(·)為伽馬函數。

引理1x在無限區間(-∞，∞)上,對于函數u(x),有下列等式成立[13]：

(3)

其中n-1<α

1.2 傅里葉擬譜方法對Riesz空間分數階導數的離散

x在無限區間(-∞，∞)上,分數階拉普拉斯算子可以被定義[8]為：

(4)

其中F和F-1分別表示u(x,t)的傅里葉變換和傅里葉逆變換。因此,有

(5)

另一方面,在具有周期邊界條件的有界區間Ω=(a,b)上,由傅里葉級數定義為：

(6)

(7)

則由式(6)和式(7)可得

(8)

(9)

2 Riesz空間分數階非線性sine-Gordon方程的新的保能量格式

令v(x,t)=ut(x,t),則式(1)等價于：

ut(x,t)=v(x,t),

(10)

(11)

在空間方向上,利用傅里葉擬譜方法對方程(10)和(11)進行離散,則有：

(12)

(13)

其中j=0,…,N-1,等式(12)和(13)可表示為半離散哈密爾頓系統形式：

(14)

其中Z=(uT,vT)T,v=(v0,v1…,vN-1)T,I是N×N單位矩陣,方程(1)的能量函數相應的離散哈密爾頓能量函數為：

(15)

對于有限維哈密爾頓系統(14),Quispel和McLachlan提出了在時間方向上具有四階精度的高階平均向量場方法[15]。在時間方向上對有限維哈密爾頓系統利用四階平均向量場方法進行離散,可以得到Riesz空間分數階非線性sine-Gordon方程的高階保能量格式：

(16)

但是對于格式(16)右端的三角函數sinu,相應的積分函數為：

(17)

式(17)中除法的分子和分母都接近于零,為便于計算積分項,將基于平均向量場方法的Boole離散線積分方法[16]應用于格式(16),構造出方程(1)的新的保能量格式。假設連接zn和zn+1的最簡單路徑為：

σ(ξτ)=ξzn+1+(1-ξ)zn,ξ∈[0,1]。

對式(16)右端的積分項進行Boole離散積分,則有：

(18)

(19)

式(19)可以表示為矩陣向量形式:

(20)

式(20)可以改寫為:

(21)

(22)

定理1式(16)精確保持哈密爾頓系統能量守恒[15]

H(zn+1)=H(zn)。

(23)

(24)

(25)

由(25)可知格式(16)具有能量守恒特性。

由于計算機不能精確計算式(16)的積分項,積分項高精度離散后得到的式(19)與式(16)比較具有5階精度,產生的能量誤差很少,可以忽略不計。

3 數值模擬

為了驗證理論分析,利用高階平均向量場方法結合Boole離散線積分方法所得到的新的保能量格式(20)對Riesz空間分數階非線性sine-Gordon方程(1)進行數值模擬。定義相對能量誤差為:

(26)

3.1 數值模擬1

考慮Riesz空間分數階非線性sine-Gordon方程在I=[-20,20]和長度T=60的時間周期上。取初始條件

(27)

其中(x,t)∈I×[0,T],取空間步長h=0.5,時間步長τ=0.03,α=1.9。

圖1是方程孤立波在α=1.9和t∈[0,60]內相互作用的圖形。結果表明,存在類似呼吸子的解,即在空間上是局部的，在時間上是周期性的。運算結果與文獻[7]一致,可以正確地數值模擬方程的解。從圖2可以看出方程的相對能量誤差隨時間的變化,誤差僅為10-14,達到了機器精度,新格式保持了方程的能量守恒。

圖1 孤立波在t∈[0,60]的數值解Fig.1 Numerical solutions of solitary wave when t∈[0,60]

圖2 孤立波在t∈[0,60]的相對能量誤差Fig.2 Relative energy error of solitary wave when t∈[0,60]

3.2 數值模擬2

考慮Riesz空間分數階非線性sine-Gordon方程在I=[-20,20]和長度T=1的時間周期上。取初始條件

(28)

其中(x,t)∈I×[0,T],取空間步長h=0.5,時間步長τ=0.001,α=1.75。

圖3是方程孤立波在α=1.75和t∈[0,1]內相互作用的圖形。從圖3可以看出方程數值解的波形非常的光滑,運算結果與文獻[10]一致,同樣可以對方程的解進行數值模擬。從圖4可以看出相對能量誤差隨時間的變化,誤差僅為10-15,同樣達到了機器精度,同樣可以看出新格式保持了方程的能量守恒。

圖3 孤立波在t∈[0,1]的數值解Fig.3 Numerical solutions to solitary wave when t∈[0,1]

圖4 孤立波在t∈[0,1]的相對能量誤差Fig.4 Relative energy errors of solitary wave when t∈[0,1]

4 結論

利用傅里葉擬譜方法對Riesz空間分數階非線性sine-Gordon方程在空間上離散,并利用Boole離散線積分法對高階平均向量場方法中的積分項進行數值離散,得到方程的一個新的保能量格式,再利用新的保能量格式對方程在不同初始條件下進行數值模擬。數值結果表明，新格式能很好地模擬Riesz空間分數階非線性sine-Gordon方程的行為,并精確地保持了方程的離散能量守恒特性。在數值模擬Riesz空間分數階非線性sine-Gordon方程時，新格式比以往的格式在方程的保能量守恒特性方面具有優越性。