三對角矩陣加箭形矩陣約束四元數矩陣方程AXA*=B 問題研究

吳恒飛，張宗標

（亳州學院 電子與信息工程系，安徽 亳州 236800）

三對角對稱矩陣又稱Jacobi矩陣，該類型的矩陣在科學領域中具有諸多應用，如力學、工程學等［1-3］；而箭形矩陣的逆特征值問題源于星形彈簧的振動問題［4-5］.矩陣方程是數值代數、科學計算和工程應用等領的域重要研究內容之一，而矩陣方程：

有著許多實際的應用背景，如振動設計、信息論和統計學等，該方程目前已取得了可喜的研究成果，文獻［6］利用矩陣的標準分解研究了該方程的對稱反自反最小二乘解，文獻［7］利用奇異值分解，研究了四元數矩陣方程（1）的Hermitian解，文獻［8］研究了四元數矩陣方程（1）在約束條件DX=E下的最小二乘解.利用四元數矩陣的實分解和Kronecker積，給出四元數矩陣方程（1）的自共軛三對角加箭形矩陣解及最佳逼近問題.

表1 符號說明

定義1形如

的矩陣稱為三對角加箭形矩陣.若（2）式的元素屬于四元數集，則稱其為四元數三對角加箭形矩陣，用AQn×n表示全體n階四元數三對角加箭形矩陣；若A*=A，則稱其為自共軛四元數三對角加箭形矩陣；用SAQn×n表示全體n階自共軛四元數三對角加箭形矩陣；特別情況下，m=1時，其為箭形矩陣，m=n時，其為三對角矩陣.

任意三對角加箭形矩陣可由其3n-2個元素對應確定，對（2）式，記

其中ei為n階單位矩陣的第i列，容易驗證H*H=I3n-2.

引理1A是四元數三對角加箭形矩陣的充分必要條件為vec（A）=H·s（A），即

其中s（A），H如（3）式和（4）式所示.

引理2給定矩陣M，N∈Qn×n，則方程MX=N有解的充要條件是MM+N=N，且方程有解時的通解和無解時的最小二乘解皆可表示為X=M+N+（I-A+A）Y，其中Y∈Qn×n是任意矩陣［9-10］.

問題Ⅰ已知 A，B∈Qn×n，求 X∈AQn×n（X∈SAQn×n），使 AXA*=B.

問題Ⅱ給定是問題Ⅰ的解集.

1 問題Ⅰ的解

設 A，B∈Qn×n，對 A，B 分別進行實分解：A=A0+A1i+A2j+A3k，B=B0+B1i+B2j+B3k，其中 Ai，Bi∈Rn×n（i=0，1，2，3），X=X0+X1i+X2j+X3k，其中 Xi∈Rn×n（i=0，1，2，3）為三對角加箭形矩陣，將 A，B，X 帶入（1）式得

展開（6）式，對比等式兩端得如下方程組（7），易知方程組（7）與方程（1）等價.

記

其中

其中 Xi∈Rn×n（i=0，1，2，3）是三對角加箭形矩陣，再根據引理 1 得

其中 s（Xi），H 如（3）式、（4）式，結合（8）至（10）得（7）等價式為

其中 v∈R（12n-8）×1.

定理1已知矩陣A，B∈Qn×n，方程（1）存在四元數三對角加箭形矩陣解的充要條件為且通解表達式為

其中 v=T︵+L+LT︵Y，Y∈R（12n-8）×1為任意矩陣；vec（Xi）=H·s（Xi）（i=0，1，2，3）；這里 T︵∈R4n2×4（3n-2）、L∈R4n2×1、s（Xi）∈R（3n-2）×1，列矩陣 s（Xi）（i=0，1，2，3）的元素分別取自 v的 1∶（3n-2）、（3n-1）∶（6n-4）、（6n-3）∶（9n-6）和（9n-5）∶（12n-8）行元素.

證明方程（1）有解等價方程（11）有解，由引理2知，方程（1）有解的充要條件為且有解時的通解表達式為 v=T︵+L+LT︵Y，Y∈R（12n-8）×1為任意矩陣，根據（9）式及（10）式的逆拉直運算，得（12）式成立，證畢.

進一步討論問題Ⅰ的三對角加箭形自共軛解，令

其中ei同（4）式，經計算

引理3對（2）式，記SARn×n（AARn×n）為 全 體 實（反）對 稱 三 對 角 加 箭 形 矩 陣 的 集 合，則A∈SARn×n?vec（A）=H1·s1（A）（A∈AARn×n?vec（A）=H2·s2（A）），其中 H1、H2、s1（A）、s2（A）如（13）、（14）式所示.

對四元數矩陣X進行實分解，形如（6）式，若X*=X，則X0T-X1Ti-X2Tj-X3Tk=X0+X1i+X2j+X3k，所以X0是實對稱矩陣，Xi=（i=1，2，3）是實反對稱矩陣，根據引理3得

記

結合（14）至（16）式知，（7）式又可等價表示為

定理2給定矩陣A，B∈Qn×n，方程（1）有四元數三對角加箭形自共軛解且通解表達式為

證明由（17）式與（1）式的等價性，再結合引理2、引理3 知，方程（1）存在四元數三對角加箭形自共軛解的充分必要條件為且有解時的通解表達式為為任矩陣 .再由（15）、（16）式及矩陣拉直運算的逆運算vec-1（Xi）得（18）式成立，證畢.

2 問題Ⅱ的解

設問題Ⅰ的解集SE≠?，D∈AQn×n為已知矩陣，對D 進行實分解，D=D0+D1i+D2j+D3k，Di（i=0，1，2，3）為實三對角加箭形矩陣，令

定理3D∈AQn×n為已知矩陣，則存在X︿∈SE，對任意X∈SE，有可表示為

其中v︿（i=0，1，2，3），s（Xi）∈R（3n-2）×1的元素分別由v︿的1∶（3n-2）、（3n-1）∶（6n-4）、（6n-3）∶（9n-6）和（9n-5）∶（12n-8）行元素構成 .

證明由（4）式知H*H=I3n-2，再根據定理1知，當X∈SE時，有

所以

取 s（Xi）（i=0，1，2，3）分別為 v︿的 1∶（3n-2）、（3n-1）∶（6n-4）、（6n-3）∶（9n-6）和（9n-5）∶（12n-8）行元素，結合（12）式可得（20）式成立，證畢.

3 數值算例

據定理3知，方程（1）對于給定矩陣D，在問題Ⅰ的解集中存在最佳逼近解，結合（3）、（19）及（20）式，可得最佳逼近解為

4 結論

提出了矩陣方程AXA*=B的四元數三對角加箭形自共軛解的解決方案.文中給出了對稱（反對稱）三對角加箭形矩陣的新結構，用矩陣的實分解和矩陣的Kronecker積把方程AXA*=B轉化成了無約束的矩陣方程，化解了四元數矩陣乘法不可交換的問題，得到方程有四元數三對角加箭形自共軛解的充要條件和通解表達式，最后在給定的解集中求出了最佳逼近解，這些結論為四元數約束矩陣方程求解問題提供了一定的參考價值.