基于滑模干擾觀測器的機械臂終端滑模控制

(天津大學電氣自動化與信息工程學院，天津，300072)

目前，機械臂已經被廣泛應用于工業領域，它能夠幫助人們快速完成工業過程中一些復雜和重復的任務，如裝配、運輸、鉆孔和倒角等，這些任務都要求機械臂能夠對期望軌跡進行高精度的軌跡追蹤。然而，機械臂是一個復雜的非線性系統，它本身存在的模型不確定性等因素使得它的精確數學模型難以建立，這給機械臂的高精度估計追蹤帶來一定的困難，所以研究不依賴模型的高精度控制方法對于機械臂系統尤為重要。針對機械臂的軌跡追蹤控制問題，學者們提出了很多控制方法，如反步控制法[1]、自適應控制法[2]、滑模控制法[3-7]、魯棒控制法[8]、時延控制法[9-10]和神經網絡控制法[11]。其中，滑模控制方法(SMC)由于結構簡單，控制精度高，對外部干擾魯棒性強等優點，被廣泛應用于機械臂控制領域。傳統的滑模控制采用線性滑模面，使處于滑模面的狀態變量逐漸地趨近于零，但不能在有限時間內收斂；為了解決這個問題，提高控制精度，MAN 等[4]提出了終端滑模(TSMC)的方法，使處于滑模面的狀態變量能在有限時間收斂到零，但該方法存在奇異性問題。為了解決奇異性問題，FENG 等[5]提出非奇異終端滑模控制(NTSMC)方法，并應用于機械臂軌跡追蹤控制中，但該方法會在切換控制項中引入指數項，它的存在可能造成收斂停滯；WANG等[7]根據傳統的終端滑模設計了一種準終端滑模面，當跟蹤誤差收斂到某個鄰域時將終端滑模面切換為另一種非線性滑模面，這種方法既消除了奇異性問題，又不會使滑模趨近律項中引入狀態的指數項，可以充分發揮終端滑模的優勢。雖然滑模控制算法有很多優勢，但它是一種基于模型的控制方法，直接用于具有模型不確定性的機械臂系統控制中往往達不到預期的控制效果。為了解決這一問題，JIN 等[12-13]根據時延控制的思想，將時延估計(TDE)與滑模控制相結合用于機械臂控制，通過時延估計來估計系統的模型信息以及外部干擾，將機械臂模型簡化，然后設計非奇異終端滑模控制器，實現了不依賴模型的機械臂控制；但這種方法沒有考慮對時延估計誤差的補償，而是通過魯棒項加以抑制，這使控制器設計存在一定保守性。TRAN等[14]將神經網絡與終端滑模相結合，以徑向基神經網絡來逼近機械臂模型中各個元素，實現了無模型控制；但這種方法的計算量很大，不利于實時控制。ZHU 等[15]將自適應滑模干擾觀測器與終端滑模相結合用于空間機械臂控制，該方法以自適應滑模干擾觀測器來補償模型的不確定項和外部干擾，實現自抗擾控制；但這種方法在控制器設計時需要機械臂的名義模型，不能實現完全不依靠模型的控制。本文作者根據時延控制、非奇異準終端滑模與滑模干擾觀測器的優點，提出一種基于干擾觀測器的終端滑模控制方法，并以仿真和實驗數據驗證了該方法的有效性。

1 模型描述

一個n自由度的機械臂動力學模型[16]可以表示為

式中：q，和∈Rn，分別為機械臂系統的角位置、角速度和角加速度向量；M(q) ∈Rn×n，為非奇異的慣性矩陣；C(q,) ∈Rn×n，為離心力和科里奧利力矩陣；G(q) ∈Rn，為重力向量；F() ∈Rn，為摩擦力矩陣；τd∈Rn，為外部干擾向量；τ∈Rn，為控制力矩向量。

通常機械臂的動力學模型具有如下性質：M(q)是一個對稱正定矩陣，它的范數滿足0<其中，δ1和δ2為正常數。

控制目標：設計合適的控制器，使機械臂的關節角位置q能在有限時間內跟蹤期望軌跡qd。

定義系統的跟蹤誤差e及其導數如下：e=q-qd，

2 控制器設計

控制器設計方法分為3步：1)根據時延估計的思想，確定式(2)中的F(t)項，將機械臂的動力學模型轉化為局部模型；2)選擇終端滑模面，設計終端滑模控制器；3)設計滑模干擾觀測器(SMDO)對時延估計的誤差進行補償。所設計的控制器的結構形式如圖1所示。

2.1 機械臂局部模型

由式(2)可以看出，只有F(t)是未知項。本文采用時延估計的思想，以上一個采樣時刻的控制輸入和系統輸出來估計當前時刻的F(t)項：

式中：L為采樣時間間隔，L越小，時延估計的誤差越小；t為時間。時延估計的誤差ε可以表示為

基于時延估計的機械臂簡化模型(2)僅僅在一個采樣時間間隔內有效，故稱為機械臂的局部模型。

2.2 終端滑模控制器設計

引理1[10]：當矩陣滿足并且‖M-1(q)‖2≤δ1時，其中，I為單位矩陣，時延估計誤差ε及其導數都存在上界，使機械臂第i個關節模型的時延誤差εi及其導數滿足其中，和均為正常數。

為了簡化表達式，定義

式中：γ為常數；x=[x1,x2,…,xn]T。

設計滑模控制器，首先需要選擇合適的滑模面來保證理想的滑動模態。本文選擇非奇異準終端滑模變量矩陣s為

式中：a=diag(a1,a2,…,an)，為正常數對角矩陣。λ(e)為由一組非線性函數組成的向量，λ(e)=diag(λ1(e1),λ2(e2),…,λn(en))。

對式(6)求導得：

使=0可以得出等效控制項τeq：

從式(9)和(10)可以看出：當追蹤誤差小于某個設定的鄰域時，等效控制項中沒有非奇異項，說明本文使用的非奇異準終端滑模面可以消除傳統終端滑模的奇異性問題。

選擇合適的滑模面之后，下一步是設計滑模控制器的切換控制項。本文選擇快速型終端趨近律作為切換控制項τsmc：

式中：k1=diag(k11,k12,…,k1n)，k2=diag(k21,k22,…,k2n)，均為正常數對角矩陣。

圖1 控制器結構框圖Fig.1 Block diagram of controller

2.3 滑模干擾觀測器設計

基于時延估計的機械臂簡化模型存在時延估計誤差，而時延誤差的存在會影響控制器的控制性能。為了消除時延估計誤差的影響，本文將時延誤差看作一種外部干擾，設計滑模干擾觀測器對它進行補償，干擾補償項τsmo如下：

式中：為設計的干擾觀測器對時延誤差的補償項：

式中：μ為中間輔助量；k3=diag(k31,k32,…,k3n)，k4=diag(k41,k42,…,k4n)，均為正常數對角矩陣。

綜上，本文設計的控制器的控制輸出可以表示為

3 有限時間收斂性證明

定理1：針對機械臂的動力學簡化模型(2)，選擇如式(6)所示的非奇異準終端滑模面、式(14)所示的控制器以及式(13)所示的滑模干擾觀測器，并且當控制器參數和觀測器參數滿足一定條件時，滑模變量和觀測器誤差能在有限時間內收斂到0。

證明：將控制器輸出式(14)代入機械臂簡化模型(2)可得

為了簡化證明過程，將動態系統式(15)和(16)轉化為n個子系統：

式中：i=1,2,…,n。

根據引理1，第i個時延估計誤差的導數可以寫成

式中：ρi為一個有界的時變函數，滿足

式(19)可以進一步表示為

選取二次型Lyapunov函數V：

式中：P為對稱正定矩陣，h和v為正常數。可以看出，當h> 0，v> 0 時，矩陣P總是正定的。由式(22)可知，Lyapunov函數V滿足：

式中：λmax(P)和λmin(P)分別為矩陣P的最大特征值和最小特征值。

對Lyapunov函數V求導得

當控制器和觀測器參數k1i，k2i，k3i和k4i滿足式(26)所示關系時，矩陣Q和Rt均為對稱正定矩陣。

則式(24)可以轉化為

式中：λmin(Q)和λmin(Rt)分別為矩陣Q和Rt的最小特征值。

由式(23)可得

由z=[z1z2]T可知，|z1|≤‖z‖2，則式(27)可以進一步轉化為

由文獻[17]中的有限時間收斂定理可知，z1與z2能在有限時間收斂至0，則系統的滑模變量和觀測器誤差能在有限時間收斂至0，定理1得證。

4 仿真

為了驗證本文所提出的控制方法的有效性，使用一個2-DOF的機械臂作為仿真對象，如圖2所示。其動力學方程如下：

式中：qi為關節i的角度，i=1，2；s2，c1，c2和c12分別表示sin(q2)，cos(q1)，cos(q2)和cos(q1+q2)。連桿的長度為l1=1.0 m，l2=0.8 m；g為重力加速度；連桿的質量為m1=m2=1kg；黏滯摩擦因數選擇為fv1=fv2=5N·m；庫侖摩擦因數選擇為fc1=fc2=5N·m；2 個關節受到外部干擾分別為τd1=τd2=sin(5t)；2 個關節角度初始值均為30°，角速度和角加速度初始值均為0。2個關節的期望輸出軌跡qd1和qd2均為0.5πcos(2t)，仿真時間為10 s。

圖2 2-DOF機械臂仿真模型Fig.2 Simulation model of 2-DOF robot manipulator

通過MATLAB 進行仿真，仿真采用式(14)所示的控制律和式(13)所示的滑模觀測器，記為TDE-SMO-TSMC，仿真參數為：=diag(0.1,0.1)，γ=0.7，a=diag(5,5)，?=diag(0.05,0.05)，k1=diag(3,3)，k2=diag(8,8)，k3=diag(5,5)，k4=diag(5,5)。采樣時間間隔設置為L=1 ms。

為了體現TDE-SMO-TSMC 控制律的優越性，將其記為控制器1，分別與以下2 種控制器進行比較。

控制器2：為了體現滑模干擾觀測器(13)對于控制器性能的提升，去掉滑模干擾觀測器補償項，記為TDE-TSMC，其控制器輸出為

控制器3：為了體現非奇異準終端滑模面(6)對于控制精度的提升，基于線性滑模面構建滑模控制器，記為TDE-SMO-SMC，其控制律為

關節1和2的追蹤誤差及觀測器輸出的仿真結果分別如圖3～6所示。從圖3和4可以看出，3種控制器都能夠完成對機械臂的軌跡追蹤控制，且能在非線性時變干擾下完成高精度的軌跡追蹤，這說明時延估計對于機械臂的高精度控制起到了一定的作用。由圖3和圖4還可以看出：本文提出的控制器TDE-SMO-TSMC控制性能最佳。

圖3 仿真中關節1的追蹤誤差Fig.3 Tracking error of joint 1 in simulation

圖4 仿真中關節2的追蹤誤差Fig.4 Tracking error of joint 2 in simulation

對比圖3和圖4中的控制器TDE-SMO-TSMC與TDE-SMO-SMC，兩者的區別是采用的滑模面不同，從仿真結果可以看出TDE-SMO-TSMC大約在0.7 s追蹤誤差收斂至0附近，而TDE-SMO-SMC大約在1.3 s追蹤誤差收斂至0附近，說明非奇異準終端滑模面(6)的使用可以提高軌跡追蹤的收斂速度；由圖3和圖4中局部放大圖可以看出，對于控制器TDE-SMO-SMC，外部干擾使關節1 和2 產生的誤差峰值分別為2°和1°，而對于控制器TDESMO-TSMC，外部干擾使關節1和2的誤差峰值均為0.5°左右，誤差峰值分別降低了約75%和50%，說明非奇異準終端滑模面(6)的使用可以提高控制器對干擾的魯棒性。

圖5 仿真中關節1的觀測器輸出Fig.5 Observer output of joint 1 in simulation

圖6 仿真中關節2的觀測器輸出Fig.6 Observer output of two joint 2 in simulation

對比控制器TDE-SMO-TSMC 與TDE-TSMC(TDE-TSMC 是去掉了滑模觀測器的終端滑模控制器)，從圖3和圖4中的放大圖可以看出，對于控制器TDE-TSMC，外部干擾使關節1和2產生的誤差峰值分別為1.3°和1.8°，相比于控制器TDE-SMOTSMC，誤差峰值分別升高了約53.8%和72.2%，說明滑模干擾觀測器(13)的使用可以提高控制器對干擾的魯棒性。

對比圖5和圖6可以看出，滑模干擾觀測器可以很好地觀測出時延估計誤差，說明本文提出的滑模干擾觀測器能夠有效地補償時延估計誤差，提高控制器的抗干擾性。

為了定量地分析3種控制器的控制精度，借助數理統計中均方差E的概念作為衡量指標：

式中：N為采樣數。

從圖3和圖4可以看出，系統的初始誤差不為0，這是由于機械臂系統關節角度的初始值與期望軌跡初始值不相同造成的，而不是控制器本身的原因，因此，這里只考慮2 s 后跟蹤誤差的均方差，結果如表1所示。由表1可見：與控制器TDETSMC 相比，控制器TDE-SMO-TSMC 使關節1 和2 的均方差分別下降了60.1%和62.5%，與控制器TDE-SMO-SMC相比，控制器TDE-SMO-TSMC使關節1 和2 的均方差分別下降了69.5%和56.5%，說明非奇異準終端滑模面(6)和滑模干擾觀測器(13)的使用可以有效提升控制器的控制精度。

仿真結果表明，本文設計的控制方法能夠有效地提高機械臂軌跡追蹤的控制精度，消除系統抖振。

表1 3個控制器作用下追蹤誤差的均方差Table 1 Mean square of tracking error of three controllers

5 軌跡追蹤實驗

為了驗證本文設計的控制器在實際應用中的控制效果，在Quanser 公司開發的Denso 6-DOF 實驗平臺下進行軌跡追蹤實驗，實驗平臺如圖7所示。該實驗平臺包括軟件和硬件系統，其硬件系統包括Denso VP-6242G 6-DOF 機械臂本體、上位機和伺服控制器；軟件系統包括MATLAB 2014a和實時控制軟件Quarc。用戶可以在Simulink 環境下編寫自己的控制器程序，然后通過Quarc軟件生成可執行文件，實現實時在線運行。上位機控制器計算出輸出控制力矩，經過以太網和數據采集模塊送入伺服控制器，驅動機械臂中的驅動電機；機械臂運行過程中的關節位置信息由編碼器測量得到，通過以太網和數據采集系統送往上位機，完成機械臂的閉環控制器。實驗過程中采樣時間間隔為0.001 s。

圖7 機械臂實驗平臺Fig.7 Experiment platform of robot manipulator

圖8 機械臂各關節信息Fig.8 Information of each joint of the robot manipulator

在實驗中選擇Denso 6-DOF機械臂的關節2和關節3作為實驗對象，其他關節鎖死，機械臂各關節信息如圖8所示。實驗平臺有2.8 s 的響應時間，在2.8 s后機械臂才開始有動作，所以設置關節2和關節3的期望軌跡為

其中，實驗時間為15 s。

同仿真實驗相同，將控制器TDE-SMO-TSMC與控制器TDE-TSMC 和TDE-SMO-SMC 的控制效果進行對比。

關節2 和3 的追蹤誤差實驗結果分別如圖9和圖10所示。由圖9和圖10可以看出，3種控制器都能夠實現高精度的軌跡追蹤，這體現了時延估計方法的優越性。

圖9 實驗中關節2的追蹤誤差Fig.9 Tracking error of joint 2 in experiment

為了定量地分析3種控制器在實際應用中的控制性能，使用4 s 后的均方差作為控制性能的衡量標準，則3種控制器作用下關節追蹤誤差的均方差如表2所示。

圖10 實驗中關節3的追蹤誤差Fig.10 Tracking error of joint 3 in experiment

表2 3個控制器作用下追蹤誤差的均方差Table 2 Mean square of tracking error under three controllers

分析表2可知：相比于控制器TDE-TSMC，控制器TDE-SMO-TSMC 使關節2 和3 的追蹤誤差均方差下降了約61.5%和62.1%，說明滑模干擾觀測器的使用能夠在實際應用中有效提升軌跡追蹤的控制精度；相比于控制器TDE-SMO-SMC，控制器TDE-SMO-TSMC 使關節2 和3 的追蹤誤差均方差下降了約43.8%和42.1%，說明準終端滑模面的使用能夠在實際應用中有效提升軌跡追蹤的控制精度。

實驗結果表明，本文提出的控制方法能夠在實際應用中提高機械臂系統的控制性能。

6 結論

1)使用時延估計方法將機械臂的動力學模型轉化為一個局部模型，并基于滑模干擾觀測器和非奇異終端滑模控制思想提出TDE-SMO-TSMC控制律。

2)通過構造二次型Lyapunov 函數證明了系統的滑模變量和觀測器誤差能在有限時間內收斂至0。

3)本文設計的控制器能夠有效地提高機械臂軌跡追蹤的控制精度，增強對干擾的魯棒性。