含支鏈閉環的結構冗余平面并聯機構靜力學分析

(北京交通大學機械與電子控制工程學院，北京，100044)

平面三自由度并聯機構在工業機加工[1]、抓取搬運[2]、平面繪圖及3C 產品包裝等領域具有潛在應用價值，相對于空間并聯機構，其結構簡單，眾多學者對平面并聯機構的各種性能如工作空間[3]、運動奇異[4]、路徑規劃[5]、精度分析[6]、運動控制[7]、性能分析[8]、柔性納米機構[9]、偽剛體分析[10]等進行了研究，為平面并聯機構的應用奠定了基礎。為了更好地提升并聯機構的工作性能，眾多學者考慮將冗余概念引入并聯機構分析中。常見的冗余方法有驅動冗余和結構冗余等[11]。驅動冗余并聯機構的驅動數目大于機構的自由度數目，而結構冗余并聯機構的自由度數目等于機構的驅動數目，并大于動平臺的輸出自由度。結構冗余并聯機構可以兼顧冗余的優點并克服驅動冗余引入的精準運動協調問題，尤其是能提升故障發生后機器人的容錯能力而受到了廣泛關注。GOSSELIN等[12]針對一種平面并聯機構，研究了通過添加冗余結構進行機構的奇異規避方法，并指出結構冗余并聯機構是并聯機構新構型研究的出發點[12]。KANG等[13]對現有的平面3-RRR并聯機構進行了冗余化處理，發現可以利用冗余結構避免第二類奇異。結構冗余除了可以擴展機構工作空間、規避奇異等外，還能提升機構靜力學性能。機構靜力學分析是進行運動分析及動力學分析的基礎，搭建正確的靜力學模型有助于了解機構在受外載荷時驅動關節的驅動力/力矩，為機構實物化結構尺寸的確定、優化及驅動電機選型提供了依據。眾多學者利用不同方法如拆桿法[14]、桿件矢量法[15]、螺旋理論[16]、虛位移原理[17]等對并聯機構的靜力學進行了研究，其中虛功原理應用較廣泛[18-24]。在平面并聯機構的靜力學研究方面，MOOSAVIAN 等[25]提出一種改進靜態特性的變幾何桁架機器人的研制方法，將其應用于欠驅動VGTM 模塊設計，并討論了一類新型可重構并聯機器人的模塊化設計方法，提升了機構靜力學特性和機構的可靠性并改善了其靜力學性能，可應用于機翼變形領域的性能改進[26]。WEN 等[27]針對三自由度平面并聯機構的力控制，提出了一種剛度綜合策略，有助于提高機構靜力學性能。KOCK等[28]對一款平面2自由度驅動冗余并聯機構進行了分析，發現引入冗余可以提高機構力傳遞性能及剛度。LIAN 等[29-33]借助有限元及螺旋理論對并聯機構的靜力學及剛度等問題進行了研究，并提出了指導并聯機構最大限度減少振動和變形的優化設計方法，通過有限元模擬結果和實驗對比分析結果進行了驗證，完善了并聯機構靜力學分析方法。學者們還對結構冗余對平面并聯機構靜力學性能的改善進行了研究，如：BOUDREAU 等[34]提出了一款結構冗余平面并聯機構，并將其與傳統非冗余3-RRR 平面并聯機構進行對比，發現結構冗余設計提升了機構的受力性能，提高了機構循跡能力；WEIHMANN等[35]提出了一種評估結構冗余平面并聯機構受力能力的方法，并在給出的數值對比實驗中，證實結構冗余平面機構的動平臺所能承受的最大負載相比非冗余機構提高了25%；BI 等[36]提出了一種可重構的結構冗余平面并聯機構，通過結構冗余調節實現了對PKM 的工作空間和整體剛度分布的調整，增強了機構對任務變量的適應性，此外，還提出了4種調整方案，以保證機構適用于高剛度和高負荷需求，從而改進并聯機構靜力學性能。本文作者對一款具有支鏈閉環的平面3-DOF 結構冗余并聯機構[37](parallel mechanism with kinematic redundancy, PM-KR)進行其運動學及靜力學分析。該機構在保留傳統并聯機構優點的前提下，可借助結構冗余支鏈的調節實現機構工作空間的擴展，為機構規避奇異提供可能，并有助于機構靜力學性能提升。由于本平面結構冗余并聯機構具有閉環特征，所以，進行靜力學分析時，采用拆桿法將導致機構關系不明確，而采用矢量法時將引入多個中間變量；采用螺旋理論法則需要進行多次支鏈等效運動變換。為研究機構在受外載荷時驅動關節的驅動力/力矩，這里忽略被動關節受力及中間變量影響，采用具有閉環特征并聯機構分析的虛功原理，建立該機構的靜力學模型。本文首先對該機構的組成及運動學反解進行分析，借助虛功原理及雅克比矩陣，搭建動平臺在受變載荷或變位置任務時的驅動關節靜力學模型。其次，為驗證模型正確性，對機構動平臺位置固定受變載荷和位置變動受恒定載荷進行理論-仿真對比試驗。最后，借助仿真軟件與同特征尺寸下的3-RRR 平面并聯機構進行同約束條件下的對比實驗，通過仿真結果證實引入結構冗余有助于并聯機構靜力學性能提升。

1 運動學分析

1.1 PM-KR的設計由來及結構組成

傳統3-RRR 平面并聯機構在機構結構尺寸確定后，工作空間及其奇異將隨之確定。若規劃的路徑因奇異存在被割裂在工作空間不同區域，末端執行器將難以完成任務。為解決該問題，通常有2 種改進方法：1)精簡機構的桿件數量，如將3-RRR并聯機構的動平臺簡化為1個兩端為旋轉副的桿件[38]，此時，簡化的3-RRR并聯機構位姿具有解耦性[39]，且可通過2個解耦的支鏈實現無奇異工作空間的設計[40]；2)對3-RRR 機構進行結構冗余化處理，如將其中1條RRR支鏈由1條PRRRRP閉環支鏈取代，此時整機自由度變為4，大于動平臺的相對自由度(RDOF)[37]3。將結構冗余化設計的3-RRR 并聯機構稱為平面結構冗余并聯機構，由于其自由度大于完成操作任務所必需的最小自由度，因此，可以對引起機構自由度降低的故障如關節鎖定故障等[41]進行容錯。PM-KR 實物樣機和PMKR CAD 模型分別如圖1和圖2所示。本機構通過2 個旋轉電機和直線模組驅動(主要由直線滑臺和對應的步進電機組成)，協調配合動作實現動平臺在x-y平面內移動和轉動。

圖2中各個零件沿z軸方向分層安放以避免各桿件相互干涉，為機構性能及結構冗余支鏈的調節提供了空間。

PM-KR 機構各部分參數符號的規定如圖3所示，各部分結構參數如表1所示。定坐標系(O-xyz)與基座固連于點O，規定z軸垂直紙面向上，x軸穿過點A3和A4，y軸通過右手法則確定。動坐標系(p-uvw)與動平臺固連于動平臺幾何中心點p，w軸垂直紙面向上，u軸平行于動平臺邊C2C3，v軸通過右手法則確定。

圖2 PM-KR CAD模型Fig.2 CAD model of PM-KR

圖3 PM-KR參數符號圖Fig.3 Diagram of parameter symbols of PM-KR

該機構由動平臺、基座、2條開環支鏈(支鏈3(A3B3C2)和支鏈4(A4B4C3))、1條閉環支鏈(QA1B1B2A2Q)組成，其中閉環支鏈又由2 條開環支鏈(支鏈1(A1B1C1)和支鏈2(A2B2C1))組成。2 條開環支鏈一端分別與正三角形動平臺頂點C2和C3相連，另一端分別與固定在基座的旋轉驅動相連于A3和A4。閉環支鏈與動平臺連接于點C1。點C1是桿B1B2的中心，桿B1B2兩端點分別通過桿A1B1與A2B2與移動驅動A1和A2相連接，由此根據該機構結構組成特點，將該機構命名為2-RRR-(P4RP)并聯機構。為統一表述，這里將PM-KR 特指本文研究的平面機構冗余并聯機構。

表1 PM-KR結構參數Table 1 The structural parameters of PM-KR mm

1.2 PM-KR的運動反解分析

當給定動平臺位置和姿態參數xp，yp和γ后，需要求解的機構運動學反解參數為d1，d2和θ4。由于機構自由度數目大于動平臺自由度數目，此時，運動學反解有無窮多個。為了得到唯一運動學反解，首先給定1 個驅動參數d1。動平臺3 個頂點Ci(i=1,2,3)在動坐標系p-uvw下記為pCi(i=1,2,3)，pCi動坐標系p-uvw下的三維坐標寫為矩陣形式為

通過坐標變換公式(2)，可以得到動平臺3個頂點Ci(i=1,2,3)，在定坐標O-xyz下的三維坐標(xCi,yCi,zCi)寫為矩陣的形式為：

式中：T為動平臺位姿的齊次變換矩陣，

求解式(2)可得動平臺3 個頂點Ci(i=1,2,3)在定坐標系下的三維坐標的具體矩陣形式為：

借助封閉矢量環路法，可依次建立2條開環及1條閉環支鏈與動平臺、基座三者之間的關系式：

由式(4)和已知的動平臺參數[xp yp γ]，借助桿長約束等條件可以得到該機構的反解表達式：

由式(5)可知，當動平臺位置給定后，θ3，θ4和d2通常具有2個解。尤其需要注意的是，在求解變量d2時，牽涉1個中間變量θ1，這個變量自身也具有2個解且與d2緊密聯系，它們之間的關系為

因此，參數d2事實上具有4 種可能解，這樣，整機存在16 組反解。反解及中間變量θ1的具體推導過程見參考文獻[37]。

為了確定運動學反解的解析表達式與機構運動位形(具有某種初始安裝位形)之間的對應關系，需要對16 組反解進行選擇。本文在Solidworks 中建立如圖2所示的機構模型，并將測得的動平臺位姿參數依次代入16組運動學反解中，將式(5)和(6)計算的運動學反解與Solidworks仿真模型中測量的對應反解參數進行對比，若所有理論值與仿真測量值均相同且代入不同的動平臺位姿參數仍然相等，則可以從16 組反解中選擇出符合圖2所示初始安裝位形下的運動學反解表達式，此時，式(5)及(6)中的“±”將具有確定性：θ3的反解表達式取“+”，θ4的反解表達式取“-”，θ1的反解表達式取“+”，d2的反解表達式取“+”。

2 PM-KR靜力學理論模型搭建

靜力學分析在研究并聯機構力學性能方面尤為重要。虛功原理在并聯機構的靜力學分析中僅考慮動平臺在受外加載荷時驅動關節的驅動力/力矩的變化，而忽略被動關節的作用力或力矩，與其他方法相比更加簡潔，可操作性更強。因此，本文采用該方法進行靜力學模型搭建。

2.1 機構靜力學模型建立

為方便研究，視機構的各主、被動關節均無摩擦且被動關節處亦無虛功，并且忽略重力對平面并聯機構靜力學模型搭建的影響。

首先將作用在動平臺上的外加載荷記為F=[fDT,τDT]T，其中，fD與τD分別為施加在動平臺上的力與力矩。將作用在驅動關節處的力或力矩統一記為τ=[τ1,τ2,…,τn]T，將與驅動關節相關的虛位移變化記為δQ=[δq1,δq2,…,δqn]T，相應地，將與動平臺相關的虛位移記為δX=[δx,δy,…,δγ]T。由以上要素結合虛功原理可以得到作用于所有驅動關節的驅動力/力矩的虛功：

式(7)中驅動與動平臺虛位移關系為[42]

式中：J為機構的雅克比矩陣，J=JQ-1JX；JQ為機構正雅克比矩陣；JX為機構逆雅克比矩陣[42]。

將式(8)代入式(7)，為滿足任意虛位移δX的變化，得到主驅動與動平臺間的靜力學關系式：

由此得到動平臺輸出力與驅動關節的驅動力/力矩間的表達關系式。從式(9)可知，動平臺與驅動關節的驅動力/力矩間的力傳遞關系與機構的位姿聯系密切。

由于本機構含結構冗余閉環支鏈，采用冗余參數d1對機構靜力學進行分析時，其所在的移動關節即直線滑臺A1實際也可用于靜力學分析。為此，首先分析冗余參數d1給定時機構處于非冗余狀態下的靜力學模型，得到此時機構其他驅動關節的驅動力/力矩。其次，將與結構冗余參數d1處于同一閉環的變量d2相結合，借助虛功原理對二者所在的閉環支鏈進行二次靜力學建模。并將2.2節得到的直線滑臺A2的驅動力作為已知量，在閉環支鏈中結構冗余直線滑臺A1與直線滑臺A2靜力學關系建立后，將直線滑臺A2驅動力代入，最終得到全部驅動關節的驅動力/力矩。這里需強調的是，直線滑臺A1與A2的驅動力特指沿兩者幾何中心連線方向作用的力，該力最終由所在直線模組的步進電機A1或A2提供，為表述方便，以下將直線滑臺A1與A2的驅動力統稱為驅動關節A1與A2的驅動力或驅動A1和A2的驅動力；直線滑臺A1與直線滑臺A2統稱為驅動A1與驅動A2；步進電機A3與步進電機A4的驅動力矩統稱為驅動關節A3與A4的驅動力矩或驅動A3與A4的驅動力矩；步進電機A3與步進電機A4統稱為驅動關節A3與A4。

2.2 冗余參數給定下的靜力學模型建立

本節分析冗余參數d1給定情況下非冗余平面并聯機構的靜力學模型，當結構冗余參數d1給定后，得到的機構雅可比矩陣為方陣。

選取動平臺廣義坐標為X1=[xp,yp,γ]T，驅動關節廣義坐標為Q1=[θ3,θ4,d2]T，同理動平臺的虛位移記為δX1=[δxp,δyp,δγ]T，驅動關節虛位移記為δQ1=[δθ3,δθ4,δd2]T，動平臺上的外加載荷記為F1=[fxp,fyp,τγ]T，將作用在驅動關節處的力或力矩記為τ1=[τθ3,τθ4,fd2]T。借助式(9)得到給定結構冗余參數d1時的PM-KR 任意位形下的驅動與動平臺靜力學傳遞關系：

J1=JQ1-1JX1，為給定結構冗余支鏈位置下的PM-KR整機雅克比矩陣，其計算過程如下。

1)建立基于封閉環路矢量法的動平臺與主驅動關節間的隱函數：

2)對隱函數兩側分別對時間求微分得到雅克比矩陣所需元素。

由式(11)，支鏈3的隱函數可以改寫為

式(12)在O-xyz坐標系下沿x和y軸的投影分別為：

聯立式(13)和(14)，消去中間變量ψ3，得

式中：M3=A3B3cosθ3-xp-PC2cos(7π 6+γ)；N3=A3B3sinθ3-yp-PC2sin(7π 6+γ)。

將式(15)兩邊同時對時間求微分，可得雅克比矩陣第1行元素。

同理，采用式(12)～(15)對支鏈4和2進行計算，可得式(17)和(18)，對式(17)和(18)兩側分別對時間求微分得雅可比矩陣第2和第3行元素。

對于支鏈4，其環路方程為

由于支鏈4 的環路方程(16)在O-xyz坐標系下沿x、y軸的投影也存在中間變量ψ4，為消去ψ4，也需要聯立式(16)在O-xyz坐標系下沿x和y軸的投影表達式，得

式中：M4=L2+A4B4cosθ4-xp-PC3cos(γ-π 6)；N4=A4B4sinθ4-yp-PC3sin(γ-π 6)；M2=d2+A2B2cosθ2-xp-PC1cos(γ+π 2)；N2=L1+A2B2sinθ2-yp-PC1sin(γ+π 2)。

同理，對于支鏈2，其環路方程及簡化形式為

由于支鏈2 的環路方程(19)在O-xyz坐標系下沿x、y軸的投影也存在中間變量ψ2，為消去ψ2，也需要聯立式(19)在O-xyz坐標系下沿x和y軸的投影表達式，得式(18)。

將式(15)，(17)和(18)分別對時間求微分，并改寫為矩陣形式，得

式中：JQ1為R3×3的方陣；JX1為R3×3的對角矩陣；為驅動速度矢量；為動平臺速度矢量；和為驅動關節的角速度；為驅動關節的速度；和為動平臺移動速度；為動平臺轉動的角速度。

2.3 結構冗余并聯機構的靜力學模型

由式(10)僅能推導出機構3 個驅動關節的驅動力/力矩與動平臺外載荷之間的靜力傳遞關系，但結構冗余支鏈的驅動A1也參與了機構靜力學分析，由此也需推導出動平臺外載荷與結構冗余支鏈驅動A1的靜力學關系表達式。

當給定動平臺外載荷且動平臺位姿確定時，可以計算出驅動關節A2的驅動力。結構冗余驅動A1與驅動A2同時位于閉環支鏈中，如圖4所示，此時，動平臺視為與地面固定。當閉環支鏈在結構冗余參數d1給定時，自由度為0。但從虛功原理的角度分析其靜力學特性，閉環支鏈中A1有運動的趨勢。

將閉環支鏈的結構冗余參數d1的微小變化趨勢即虛位移δd1視為輸入即該環路的動平臺參數，相應的視驅動A2參數的微小變化趨勢即虛位移δd2看作輸出即該環路的驅動參數。該環路動平臺上的外加載荷記為fd2，將作用在閉環支鏈驅動關節處的驅動力記為fd1。其閉環支鏈參數及靜力分析符號如圖4所示，圖4中的鎖表示動平臺位置固定，虛線表示該桿件不參與分析。

圖4 閉環支鏈參數及靜力分析符號Fig.4 Diagram of closed loop chain parameters and statics analysis symbols

由式(9)得到給定結構冗余支鏈位置下的PMKR任意位形的驅動關節的驅動力與動平臺靜力學傳遞關系式為

此時，fd2與式(10)中的fd2相同。δJ2=δJq2-1δJX2，δJ2為給定動平臺位姿下的閉環支鏈速度雅克比關系式。其中：δJq2為閉環的速度正雅克比關系式；δJX2為閉環的速度逆雅克比關系式。計算過程如下。

1)針對閉環支鏈，建立基于封閉環路矢量法的動平臺與驅動關節間隱函數：

2)對隱函數兩側分別對時間求微分，得到雅克比關系所需元素。

將閉環支鏈的隱函數改寫為封閉矢量環路形式：

式(23)在O-xyz坐標系下沿x軸的投影表達式為

式中：δθ1，δθ2和δψ1分別為中間變量θ1，θ2和ψ1的微小變化趨勢即虛位移；δxp，δyp和δγ分別為動平臺位姿變量xp，yp和γ的微小變化趨勢即虛位移；為為虛位移δd2的移動速度；為為虛位移δd1的移動速度。

通過第1 節分析可知δθ1，δθ2和δψ1這些中間變量均可被替換為含有δxp，δyp，δγ，δd1和δd2的表達式，在研究閉環支鏈時，由于整機動平臺的位姿是確定的，因此，式(24)中δxp，δyp和δγ為常數，式(24)變為僅含有δd1和δd2這2個獨立參量的表達式。

對式(24)兩側分別對時間求微分，改寫為速度雅可比關系形式，可表示為

結合2.2 與2.3 節的分析，當整機動平臺位姿及外加載荷給定時，借助式(10)，可得3 個驅動力或力矩：

將式(26)求得的驅動力fd2代入式(21)，便可求得結構冗余支鏈驅動A1的驅動力fd1。至此，建立了該機構給定動平臺外載荷時，求解驅動驅動力/力矩的理論模型，其具體求解流程如圖5所示。

3 理論-仿真數值對比實驗

圖5 PM-KR靜力學分析流程Fig.5 Flow chart of statics analysis of PM-KR

為驗證第2節提出的機構靜力學理論模型的正確性，設定了2個常見的靜力數值工況實驗：1)機構動平臺沿圓軌跡隨圓心角變化而變化位置，執行對動平臺施加恒定外載荷的任務；2)動平臺停留在圓軌跡某一圓心角對應位置，執行在動平臺上施加變外載荷的任務。為了簡化分析，假定動平臺姿態角γ=0°，這里選取結構冗余參數d1=300 mm 及d1=340 mm 共2 種狀態。在機構執行上述2 項實驗任務后，考察機構驅動力/力矩的數值變化及曲線趨勢，以驗證結構冗余的引入對并聯機構的靜力學性能的調節作用。

3.1 恒定外載荷下的靜力數值分析

設定動平臺圓軌跡方程為

給定動平臺外載荷為：fxp=5N；fyp=5N；τγ=4 N·mm。

動平臺圓軌跡隨圓心角變化而變化，由此得到圓軌跡不同位置下的3個驅動及結構冗余支鏈所在驅動的驅動力或力矩。同時，將與理論模型所采用的同尺寸的機構Solidworks 模型導入Adams軟件進行靜力學仿真。理論模型所得結果與Adams 計算所得結果見圖6和圖7。圖6和圖7中，A1和A2的理論結果或仿真結果分別指驅動A1和A2的驅動力理論結果或仿真結果；A3和A4的理論結果或仿真結果分別指驅動A3和A4的驅動力矩理論結果或仿真結果。

從圖6和圖7可以看出：3 個驅動及結構冗余支鏈驅動的驅動力/力矩理論結果與仿真結果變化趨勢一致。

對比圖6和圖7可以發現：結構冗余參數從d1=300 mm(I 狀態)調節為d1=340 mm(II 狀態)后，執行相同任務的機構靜力學性能發生改變，這里選取調整前后對應驅動理論值進行對比：驅動A3和A4的驅動力矩曲線變化趨勢相似，驅動A3的驅動力矩曲線整體上II 狀態時的值比I 狀態時的值小，在圓心角為250°時，驅動A3的驅動力矩差值最大為254.583 N·mm；驅動A4的驅動力矩曲線的驅動力矩整體數值在II狀態時比I狀態小，在圓心角為240°時，驅動A4的驅動力矩最大差值為263.853 N·mm。同時，驅動A1和A2的驅動力曲線趨勢前后差距大，驅動A1的驅動力曲線II 狀態時的整體數值比I 狀態時的小；在圓心角為230°時，驅動A1的驅動力最大差值為0.855 N；驅動A2的驅動力曲線的整體數值在II狀態時比I狀態大，在圓心角為230°時，驅動A2的驅動力差值也最大，為0.829 N。由此可見，結構冗余的引入對并聯機構的靜力學性能有調節作用。

為進一步量化考察理論模型的正確性，選取d1=300 mm 時的理論值與仿真值相對誤差進行對比，如圖8和圖9所示。從圖8和圖9可以看出：理論模型最大相對誤差為0.774%，進一步說明了該理論模型的正確性。

圖6 變動平臺位置且載荷恒定時驅動力/力矩的理論結果-仿真結果對比(d1=300 mm)Fig.6 Comparison of theoretical results and simulation results of driving force/torque when platform position is changed and load is constant(d1=300 mm)

圖7 變動平臺位置且載荷恒定時驅動力/力矩理論結果-仿真結果對比(d1=340 mm)Fig.7 Comparison of theoretical results and simulation results of driving force/torque when platform position is changed and load is constant(d1=340 mm)

圖8 變動平臺位置的驅動力理論結果與仿真結果相對誤差Fig.8 Relative error of theoretical results and simulation results of driving force/torque when platform position is changed

3.2 變外載荷下的靜力數值分析

不失一般性，選取動平臺處于圓心角θ為180°時的位置，姿態角γ=0°。將該情況下PM-KR 的Soliworks 模型導入Adams 軟件中，施加隨時間變化的外載荷：

圖9 變動平臺位置的驅動力矩理論結果-仿真結果相對誤差Fig.9 Relative error of theoretical results and simulation results of driving torque when platform position is changed

同理，選取結構冗余參數d1=300 mm 及d1=340 mm這2種狀態進行分析，得到執行如式(28)所示任務時各驅動關節理論與仿真的驅動力/力矩，如圖10至圖13所示。從圖10至圖13可知：在數值變化趨勢及數值這2個方面，理論模型計算值均與仿真值相同。對d1=300 mm時的理論結果與仿真結果相對誤差進行對比，得到圖10的驅動A1與A2的力矩理論相對仿真誤差最大為0.1356%，圖12的驅動A3與A4的力矩理論相對仿真誤差最大為0.003%，由此證明該理論模型在動平臺受變外載荷時也能正確求解。

圖10 驅動A2力與驅動A1力理論結果與仿真結果對比(d1=300 mm)Fig.10 Comparison of theoretical results and simulation results of driving A2 and driving A1(d1=300 mm)

圖11 驅動A2力與驅動A1力理論結果與仿真結果對比(d1=340 mm)Fig.11 Comparison of theoretical results and simulation results of driving A2 and driving A1(d1=340 mm)

圖12 驅動A3力矩與A4力矩理論結果與仿真結果對比(d1=300 mm)Fig.12 Comparison of theoretical results and simulation results of driving A3 and driving A4(d1=300 mm)

下面分析結構冗余參數d1對并聯機構靜力學性能的影響。對比圖10和圖11中對應驅動力及變化趨勢可以發現：結構冗余參數從d1=300 mm(I狀態)調節為d1=340 mm(II 狀態)后，執行相同任務的機構靜力學性能發生改變。這里選取調整前后對應驅動理論值進行對比：驅動A1和A2的驅動力曲線趨勢前后差距大，驅動A1的驅動力曲線在II 狀態時的整體數值絕對值比I 狀態時的小，在16 s，驅動A1的驅動力差值最大為0.142 6 N；驅動A2的驅動力曲線在II狀態時的整體數值絕對值比I狀態時的大，在0 s 時，驅動A2的驅動力差值最大為0.529 33 N。

圖13 驅動A3力矩與A4力矩理論結果與仿真結果對比(d1=340 mm)Fig.13 Comparison of theoretical results and simulation results of driving A3 and driving A4(d1=340 mm)

同時，對比圖12和圖13中的驅動力矩及變化趨勢可以發現：驅動A3和A4的驅動力矩曲線變化趨勢前后差距小；在16 s 時，驅動A3的驅動力矩差值最大為64.94 N·mm；同時，驅動A4的驅動力矩差值也最大，為90.287 N·mm。由此可見，結構冗余的引入對變載荷情況下并聯機構的靜力學性能也有調節作用。

4 PM-KR與3-RRR仿真對比實驗

結構冗余的設計不僅有利于并聯機構規避奇異，擴展工作空間，而且有益于其靜力學性能的提升。

本機構的設計源于對傳統平面3-RRR 并聯機構的改進，因此，本文將對PM-KR 和3-RRR 平面并機構的靜力學性能進行對比研究。為了簡化研究，此處選取冗余參數d1=300 mm，3-RRR機構的結構尺寸選取與PM-KR 的一致，執行的任務也相同，其結構參數按圖14所示進行規定，尺寸如表2所示。

3-RRR 的靜力學理論模型已得到廣泛研究[42]。PM-KR 的理論模型的正確性已得到證實，因此，為確保系統誤差對對比結果不產生影響，依照對比試驗條件一致原則，將Solidworks中建立的2款機構模型導入同一環境下的Adams 軟件中，執行下列2項任務。

圖14 3-RRR平面并聯機構參數符號規定Fig.14 Diagram of parameter symbols specification of 3-RRR planar parallel mechanism

表2 3-RRR結構參數Table 2 Structural parameters of 3-RRR mm

4.1 動平臺外載荷恒定，執行沿圓軌跡變位置任務

本節中動平臺執行的圓軌跡方程如式(27)所示，作用在動平臺上的外載荷為：fyp=5 N；fxp=5 N；τγ=4 N·mm。執行變軌跡任務后，得到了PMKR與3-RRR平面并聯機構的驅動力矩變化圖，如圖15所示。2種平面并聯機構驅動力矩的變化趨勢近似但在數值上存在差異，其驅動力矩的峰值對比如表3所示。

從表3可知，在施加在動平臺上的外載荷恒定的前提下，動平臺位置沿圓軌跡變化時，PM-KR的A3驅動力矩相比于3-RRR 的A3'驅動力矩峰值下降28.5%；PM-KR 的A4驅動力矩相比于3-RRR 的A4'驅動力矩峰值下降25.3%，且在整個運行周期范圍內，PM-KR 的A3與A4驅動力矩分別小于3-RRR的A3'與A4'驅動力矩。

圖15 變動平臺位置且載荷恒定時驅動力矩仿真結果對比Fig.15 Comparison of simulation results of driving torque when platform position is changed and load is constant

表3 PM-KR與3-RRR平面并聯機構驅動力矩峰值對比表(外載荷恒定的變軌跡任務)Table 3 Comparison table of driving moment peaks for PM-KR and 3-RRR planar parallel mechanism(variable trajectory task with constant external load)

由于PM-KR 的閉環支鏈包含2 個直線滑臺A1和A2，而與之對應的3-RRR的支鏈1，A′1B′1C′1則含有1個轉動驅動A1'，因此，為比較兩者對應的驅動力或力矩，需要統一量綱。從圖2可知，直線滑臺與桿件之間依靠軸承連接形成R 副，無減速裝置，減速比為1；直線模組與基座固連水平放置，傾角為0°；直線模組采用滾珠螺桿進行傳動，而直線模組的動力來源于與螺桿通過聯軸器，無減速裝置直接連接的步進電機，又由于直線滑臺A1和A2所在的滑臺受力形式(如圖4所示)為沿兩滑臺連線的力，滑臺無預負載，因此，可借助簡化的滾珠螺桿直線模組電機選型(式(29))[43]，將直線滑臺A1和A2所受的力fd1和fd2轉化為對應步進電機的扭矩τd1和τd2。這里需要強調的是，式(29)考慮了滑臺及其負載質量，與平面靜力學模型處于同一勢能面，故可忽略重力帶來的影響。

式中：η為傳遞效率，參考值為0.85～0.95，選取0.90；μ預壓螺母的內部摩擦因數，有潤滑時取0.1；m為滑臺及負載質量，m=5 kg；g為重力加速度，g=9.8 m/s2；L為螺桿導程，L=10 mm。

為便于比較，將驅動A1、驅動A2借助式(29)換算得到的扭矩τd1和τd2按式(30)進行加和運算等效為驅動A1A2(力矩為τd1-d2)，然后與3-RRR 的A1'驅動進行對比。

驅動A1A2與驅動A1'的驅動力矩對比如圖16所示。從圖16可見：在整個任務運行周期內，驅動A1'的驅動力矩絕對值變化范圍為(170，330)N·mm，而驅動A1A2的驅動力矩變化范圍為(13，14.6)N·mm，驅動A1'的力矩是驅動A1A2力矩的10 倍，因此，PM-KR 閉環支鏈的驅動靜力遠小于3-RRR 機構驅動A1'的驅動靜力。

圖16 變動平臺位置且載荷恒定時驅動力矩仿真結果對比Fig.16 Comparison of simulation results of driving torque when platform position is changed and load is constant

對比圖15和16可知：PM-KR各驅動輸出力矩相比于3-RRR 各驅動力矩明顯下降，證實在動平臺外載荷恒定、執行沿圓軌跡變位置任務時，結構冗余的引入能有效改進機構驅動關節受力性能，從而改善整機靜力學性能。

4.2 動平臺位姿固定，執行外載荷變化任務

本節中施加給動平臺外載荷形式、大小如式(31)所示，動平臺位姿及其他參數設定與3.2 節中的相同。

執行變外載荷任務后，得到PM-KR 與3-RRR平面并聯機構的驅動力矩變化圖，如圖17所示。2種平面并聯機構驅動力矩的變化趨勢近似但在數值上存在差異，其驅動力矩的峰值對比如表4所示。

從表4可以看出：在外加載荷變化而動平臺位姿固定時，PM-KR 的A3驅動力矩相比于3-RRR 的A3'驅動力矩峰值下降54.6%；PM-KR 的A4驅動力矩相比于3-RRR的A4'驅動力矩峰值下降42.7%。

圖17 位姿固定變載荷時驅動力矩仿真結果對比Fig.17 Comparison of simulation results of driving torque when platform load is changed and position is constant

采用4.1節中驅動A1和A2所受的力fd1和fd2轉化為對應步進電機的扭矩τd1和τd2的方式，可得驅動A1A2與驅動A1'的驅動力矩變化圖，如圖18所示。從圖18可見：在整個任務運行周期內，驅動A1'的驅動力矩的絕對值變化范圍為(0，600) N·mm，而驅動A1A2的驅動力矩變化范圍為(8，18)N·mm，可見盡管在任務開始時，驅動d1d2的驅動力矩比驅動A1'的大，但在1 s后，兩者驅動力矩變化逐漸增大，驅動A1'的力矩是驅動A1A2的10倍不等，因此，PM-KR 閉環支鏈的驅動靜力整體上小于3-RRR機構驅動A1'的驅動靜力。

表4 PM-KR與3-RRR平面并聯機構驅動力矩峰值對比(變外載荷的定位姿任務)Table 4 Comparison of driving moment peaks for PM-KR and 3-RRR planar parallel mechanism(positioning fixed task of variable external load)

圖18 位姿固定變載荷時驅動力矩仿真結果對比Fig.18 Comparison of simulation results of driving torque when platform load is changed and position is constant

對比圖17和18可知：PM-KR各驅動輸出力矩相比于3-RRR 各驅動力矩明顯下降，證實在動平臺位姿固定、執行外載荷變化任務時，結構冗余的引入也能有效改進機構驅動關節受力性能，從而改善整機靜力學性能。

5 結論

1)建立了含支鏈閉環的結構冗余并聯機構的靜力學模型。基于變軌跡和變外載荷2種情況下的靜力學理論與仿真對比分析，從數值及變化趨勢2個維度驗證了靜力學理論模型的正確性。

2)通過執行變軌跡和變載荷任務，驗證了結構冗余參數對機構驅動/驅動力的影響，為結構冗余并聯機構的力學特性改進奠定了基礎。

3)在執行相同變軌跡和變外載荷任務時，本文機構相比傳統非冗余3-RRR 并聯機構的驅動力矩在整個運行周期內明顯下降，這有利于改進機構力傳遞特性，提升整機靜力學性能。