一種變工作空間并聯機構的設計及應用

(北京交通大學機械與電子控制工程學院，北京，100044)

在以往對并聯機構的研究中，由于其各自的固有結構特性，機構的工作模式和工作空間一般固定。但隨著其應用背景的擴展，如在工業生產領域，同一機構在固定的安裝位置通常需滿足零件安裝、箱體分揀、轉移運輸等不同任務要求。對于這種使用需要，學者們基于不同理論提出了擁有大工作空間的并聯機構構型[1-4]。GOSSELIN等[5-6]分別對內部無奇異大工作空間和大轉角少自由度并聯機構進行了分類。LI等[7]還提出了一種能夠全周轉動的并聯飛行模擬器運動機構，通過大工作空間體積來覆蓋不同的目標任務。但當所需各項任務集中在某一特定工作區域時，其他區域工作空間則無法得到有效利用，致使機構的工作空間利用率降低，加快機構驅動關節的局部磨損速度，降低機構使用壽命。因此，學者們提出以變工作空間結構形式實現多工作空間疊加與擴展，間接增大工作空間體積。對比傳統的固定結構，變工作空間機構可根據不同任務需求重構自身結構，滿足任務需求的同時提高工作空間利用率。COPPOLA 等[8-10]通過改變驅動關節方向、調節支鏈與基座連接位置及動平臺結構的方式進行機構的結構重構。HUANG 等[11-12]在機構中加入了被動支鏈、齒輪、輪系等結構，并通過鎖定和釋放相應的關節，達到改變動平臺運動形式的目的。FU等[13-16]根據運動學反解，將不同的驅動方案定義為多種工作模式，通過疊加不同工作模式下的工作空間，實現了工作空間覆蓋面積的間接增大。雖然通過重構自身結構可實現工作空間的變化，但上述研究中采用的復合運動副和鎖閉關節會使各支鏈的轉動慣量增大，降低對應結構的并聯機構實際使用可靠性，增加機構的驅動器質量和控制難度。針對上述問題，本文作者基于一種平臺演化思想提出一種新型變工作空間并聯機構，在動/定平臺中分別加入轉動副，引入機構結構角來實現工作空間的變化，且結構角所在關節遠離驅動及運動支鏈，增加了機構的運行可靠性。冗余驅動支鏈的使用增大了機構運動的穩定性，有利于工作空間內部任務軌跡規劃的進行。建立含自由度、位置解、雅克比、奇異性的運動學模型，完成包括工作空間、靈巧度、剛度在內的性能分析，并針對特定任務背景進行機構的應用分析。

1 機構的提出及自由度分析

1.1 平臺結構的演化

圖1 一類變工作空間并聯機構結構演化示意圖Fig.1 Structure evolution diagram of a kind of parallel mechanism with variable workspace

為實現變工作空間的目的并避免增大運動支鏈及運動副的質量，可采用改變動/定平臺結構尺寸的思路以實現機構尺寸的重構，從而實現機構工作空間的變化。圖1(a)所示為一種傳統固定尺寸四運動支鏈并聯機構的平臺結構。如需改變該四邊形平臺的結構尺寸，可改變四邊形對角線夾角以實現四邊形邊長的變化，如圖1(b)～(c)所示。根據此思路，可將固定尺寸動平臺演化為2個尺寸相同的直線狀半平臺，在半平臺中點加入轉動副以進行組合，演化過程如圖1(d)～(e)所示，其中，轉動副命名為“中心轉動副”，兩半平臺夾角命名為機構的“結構角”。以這種演化平臺結構作為動/定平臺，并以相應的運動支鏈相連，即可構建為一類變工作空間并聯機構，如圖1(f)所示。在該結構下，不但可實現機構結構尺寸和工作空間的變化，且中心轉動副距運動支鏈距離較遠，減小了機構整體轉動慣量，提升了可靠性。

1.2 可變工作空間并聯機構的提出

根據平臺結構演化思想提出一種可變工作空間并聯機構，其結構簡圖和矢量分析圖如圖2所示。該機構包括一個含中心轉動副(R)的動平臺和定平臺，4條UPU(分別為萬向副U、移動副P、萬向副U)運動支鏈，故根據結構特點可命名為4UPU-R 并聯機構。上下平臺結構類似，均由2 個帶有轉動關節的半平臺組成，其中上下平臺中半平臺的萬向副轉動軸線之間的連線長度相等，即A1A3=A2A4=2r，C1C3=C2C4=2h(其中r和h分別為定平臺和動平臺所在外接圓半徑)。半平臺之間依靠各自的中心轉動副連接。在調整中心轉動副時，保持上下結構角相等，即A1A3∥C1C3，A2A4∥C2C4。上下平臺的中心轉動副在機構工作過程中保持鎖定，在工作前根據任務要求調整所需角度。上下平臺上對側萬向副軸線平行，4條運動支鏈結構與尺寸參數相同。在實際使用過程中，定平臺為機構下平臺，動平臺為機構上平臺，機構各支鏈中的移動副驅動值即支鏈長度為輸入量，輸出量為動平臺中心點在空間的參考位置。設定平臺和動平臺的中心點O與O′分別為機構定坐標系與動坐標系的原點，兩坐標系的z軸分別與動/定平臺所在平面垂直，x軸分別沿∠C2O′C3和∠A2OA3角平分線方向，則y軸可根據右手定則確定。坐標軸方向及其余參量如圖2所示，其中，設半平臺與x軸夾角為α(即結構角的1/2)，各驅動支鏈長度|CiAi|為li(i=1,2,3,4)。值得一提的是，趙鐵石等[17]也曾提出過一種以UPU 為支鏈結構的4UPU 并聯機構，該機構通過與本文機構不同的U 副角度，使得其動平臺可實現空間三移動一轉動自由度。但與本文機構不同的是，4UPU機構動平臺不具有工作空間可變性。而本文的4UPU-R并聯機構通過加入中心轉動副，在實現動平臺工作空間可變性的同時，增加了機構在實際使用過程中的多任務應用可行性。

1.3 自由度分析

由于機構在工作過程中，中心轉動副處于鎖定狀態，故在自由度計算時不考慮該運動副。4UPU-R并聯機構各運動支鏈結構相同，使用螺旋理論，選擇1 條UPU 支鏈建立局部坐標系進行運動和約束螺旋分析。局部坐標系x和y軸與定平臺端U 副兩軸線方向相同，z軸沿移動副軸線方向。設兩萬向副距離為a，則支鏈運動螺旋為

圖2 4UPU-R并聯機構結構簡圖Fig.2 Sketch of 4UPU-R parallel mechanism

式中：$i(i=1,2,3,4,5)為運動螺旋。該支鏈的約束螺旋式即為式(1)所示各運動螺旋$i的反螺旋即$r=[0 0 0;0 0 1]T，方向沿移動副軸線方向，見圖3(a)左圖。

對機構整體而言，各支鏈對動平臺提供的約束為一沿該支鏈移動副軸線方向的約束力偶$ri(i=1,2,3,4)，如圖3(a)右圖所示。機構整體約束螺旋系由4個互不平行的純約束力偶組成，易得螺旋系秩為3[18]，代入自由度M計算公式：

式中：機構階數d=6-λ，λ為機構公共約束數；n為機構總構件數；g為機構總運動副數；Mi為第i個運動副的自由度數，對于本文機構，i=1～12；ζ為機構局部自由度數；v為除去公共約束后的獨立冗余約束數，且v=t-e，其中，除去公共約束后剩余的約束螺旋數為t，除去公共約束后剩余約束螺旋所構成螺旋系的秩為e[16]。則4UPU-R 并聯機構自由度M=3，其自由度性質為空間沿x，y和z軸的純移動。為驗證機構動平臺的運動性質，使用3D打印技術制作了簡易構型樣機，圖3(b)所示為該機構的3D 打印樣機，動平臺的運動方向如箭頭所示。由于樣機為驗證性質，故省去了結構角部分。通過該構型樣機驗證了機構運動的性質，為分析模型的建立提供了依據。

2 運動學分析

2.1 變工作空間并聯機構分析模型

根據1.1節所建立的坐標系，可得出定坐標系下Ai及動坐標系下Ci的坐標：Ai(mirc，nirs，0)，C'i(mihc，nihs，0)；其中，c=cosα，s=sinα，mi=-sin(iπ/2)-cos(iπ/2)，ni=-sin(iπ/2)+cos(iπ/2)，i=1,2,3,4。通過坐標變換，可將點Ci在動坐標系下的坐標值轉換到定坐標系中：

由于機構動平臺的運動性質未涉及旋轉，故式(3)中E3×3為單位矩陣，動坐標系原點O′在定坐標系中的坐標由p表示。則4UPU-R 并聯機構的桿長即支鏈長度li約束方程為

2.2 運動學位置正反解

對于4UPU-R并聯機構，其位置反解為已知動平臺中點O′坐標(x，y，z)，求解驅動支鏈長度li(i=1,2,3,4)的過程。則由式(4)易得機構的位置反解如下：

圖3 4UPU-R并聯機構自由度分析模型及驗證樣機Fig.3 Degree-of-freedom analysis model and 3D printing prototype of 4UPU-R parallel mechanism

式中：Q=h-r。而4UPU-R 并聯機構的位置正解為已知各驅動支鏈長度li，求解動平臺輸出參考點O′坐標(x，y，z)的過程。首先可消去y和z得到x的表達式，故以i=1和2先后代入式(4)并將等號兩端多項式分別相減，可得：

同理，將i=1，4代入式(4)得到y的表達式：

則z可由式(6)和(7)代入式(4)(i取1～4)中解得，其中σ為含h，r，α，li的多項式。

2.3 雅克比分析

并聯機構輸出參考點速度與輸入驅動速度的關系可由雅克比矩陣計算得到[19]：設q為驅動輸入參數，x為動平臺輸出參數，則有JF=JI，其中和分別為輸入與輸出參數對時間的導數。故輸出參數與輸入參數間的關系式為=，其中J=F為全局雅可比矩陣；JF為正雅克比矩陣；JI為逆雅克比矩陣。利用含有x和q的機構約束方程f(x，q)分別對輸入和輸出參數求導可得到4UPU-R機構JI與JF的表達式如下：

2.4 奇異性分析

由于機構可能存在的奇異位型會使機構產生自由度突變，在實際使用時會給機構本體和操作人員帶來極大安全隱患。因此，對機構進行奇異性分析是評價其安全性的重要步驟。本文使用雅克比矩陣降秩法來求解機構的奇異位型[19]。計算不同雅克比矩陣的行列式值，可得到3種不同的奇異情況，即驅動奇異|JI|=0、約束奇異|JF|=0、混合奇異|J|=0。

將式(9)中4UPU-R并聯機構的正、逆雅克比矩陣代入，以計算3種奇異情況。由于驅動支鏈長度li不可能為0，而|JI|=16l1l2l3l4，故該機構不存在驅動奇異。JF為4×3 矩陣，該矩陣行列式不存在，這里任取JF中的3行元素組成3×3的子矩陣JF1，對JF1進行行列式計算，則有|JF1|=8(4h2zcs-8hrzcs+4r2zcs)=0，解得h=r。即當上下平臺尺寸相同時，機構發生約束奇異和混合奇異，此時機構的自由度增加，動平臺可進行非期望轉動。為避免奇異情況，只需在制造該機構時使上下平臺尺寸不同即可，即h≠r。當h≠r時，正、逆雅克比矩陣行列式均不為0，故4UPU-R 并聯機構不存在奇異位型。

3 性能分析

3.1 工作空間分析

驅動關節(移動副)的驅動范圍、被動關節(萬向副)的運動范圍、結構角的取值、動/定平臺的尺度限制、運動支鏈/平臺間的干涉是影響4UPU-R并聯機構工作空間的主要因素。下面以點云的形式對該并聯機構不同結構角下的位置工作空間形狀及覆蓋面變化情況進行研究。

首先設定機構結構參數如下：h=135 mm，r=230 mm；驅動范圍為310≤li≤430 mm，i=1,2,3,4。選取30°，50°，70°和90°這4個結構角，即α=15°，25°，35°和45°，并分別以不同顏色點云圖在同一視圖中的z=0，300，600，900 mm 區域輸出，如圖4所示。其中圖4(a)，(b)和(c)所示分別為三維點云及沿x-z，y-z平面投影視圖。

如圖4所示，工作空間整體形狀呈傘狀，隨著結構角的增大，形狀會由狹長變為菱形狀，工作空間的變化間接增加了機構整體的工作空間覆蓋區域。且不同工作空間對應不同任務，也增大了工作空間的利用率。另外，4UPU-R并聯機構的工作空間沒有因為結構參數的不同而產生畸變，整體較為平滑且不存在內部空洞。

3.2 靈巧度及剛度分析

并聯機構的運動精度及穩定性主要由靈巧度與剛度反映，二者都是衡量動平臺運動性能的重要指標。并聯機構靈巧度和剛度分別以剛度矩陣條件數和最大特征值作為度量標準。其中，剛度矩陣K表達式[8]如下：

圖4 不同結構角的4UPU-R并聯機構工作空間Fig.4 Workspaces of 4UPU-R parallel mechanism with different structure angles

式中：驅動關節剛度矩陣KJ=diag[h1，h2，h3，h4]，由于該機構驅動關節均為移動副，故取hi=100 kN/m[9]，i=1,2,3,4。剛度矩陣的條件數k的計算方法如下[9]：

式中：λmin和λmax分別表示剛度矩陣的最小和最大特征值。

當結構角為60°(α=30°)，z坐標為350 mm時，剛度矩陣條件數分布狀況如圖5所示。從圖5可以看出，條件數低值區域(8

同時，選取不同z輸出機構所在工作空間平面的全局剛度分布圖，分別如圖6和圖7所示。可見，隨著z的增大，4UPU-R 并聯機構在給定工作空間內的全局剛度逐漸減小，但整個工作區的剛度平均值可以達到500 kN/m，且呈現工作空間橫截面內中間高邊緣低的趨勢，符合機構正常使用習慣，完全可以適應不同的工作任務。

4 應用分析

4.1 結構角確定方法

4UPU-R并聯機構可改變自身結構參數以適應不同任務的特性，而結構參數的改變是通過機構自身結構角的變化來完成。該特性可使機構以最小的工作空間體積包絡任務所需區域，提高工作空間的利用率。以機構需擁有多重任務適應性為目標，本文提出一種基于運動學解算確定結構角的方法，其流程圖如圖8所示，具體步驟如下：

圖5 z=350 mm時的條件數分布Fig.5 Condition number distribution when z=350 mm

圖6 不同z下的剛度分布情況Fig.6 Stiffness distribution along different cross sections

圖7 不同z下的剛度分布比較Fig.7 Stiffness distribution comparison along different cross sections

1)根據給定的任務軌跡，以一長方體或球體等規則立體圖形包絡任務軌跡，以該規則立體圖形為任務工作空間區域；

2)在任務工作空間表面選取關鍵點，關鍵點的選取原則為：動平臺中心在處于該點時，至少1個驅動處于極限驅動值，即動平臺中心點處于關鍵點時，至少1 條運動支鏈的長度為最大或最小值；

3)動平臺位于每個關鍵點時，將該點坐標及對應的驅動長度li代入桿長約束方程式(4)中，解出相應的一組α；

圖8 結構角確定流程圖Fig.8 Schematic diagram of structure angle determination

4)最終α的選取原則如式(12)所示：

其中：n為關鍵點總數；αj為第j個α的取值；Vp為α=p時的實際工作空間體積；α1≤p≤αn。對比驗證機構實際工作空間對任務工作空間的包絡特性。若機構實際工作空間不能完全包絡任務工作空間，則在未包絡區域適當加入關鍵點，再次重復步驟1)和2)。

由于4UPU-R并聯機構的固有結構特性，當結構角為90°(α=45°)時，機構實際工作空間體積達到最大值。故當步驟3)得到的計算結果中存在α=45°這一情況時，可直接確定α為45°；當結果中不存在α=45°這一情況時，可根據式(12)進行判定。

4.2 任務軌跡規劃仿真

下面以實例說明結構角確定方法的合理性。針對工業生產線箱體分揀運輸等應用背景，設任務為抓取放置類弧軌跡。任務示意圖如圖9所示，其中曲線為執行分揀的任務軌跡。首先對該任務軌跡進行運動區域劃分，見圖10(a)，在任務軌跡中標定3 個點位T1，T2和T3，其中T1和T3分別為該抓取放置軌跡中的抓取點和放置點，T2為軌跡中點。設定T1→T2段軌跡為S1，T2→T3段軌跡為S2，S1與S2在z方向和x-y平面上的分量分別為S1z，S2z和S1′和S2′，方向如圖10(a)所示。標定點坐標為：總運動時間為9.5 s，機構參數與第3節中的相同。

圖9 箱體分揀應用示意圖Fig.9 Diagram of box sorting

接下來選擇一長方體對任務軌跡進行包絡，T1與T3點位于長方體上平面對角線兩端點，T2位于下平面中心點，則任務工作空間建立完成，見圖10(b)。如機構實際工作空間需完全包絡任務工作空間，則該長方體頂點需位于工作空間表面或內部，故將長方體頂點設置為關鍵點K1～K8。確定關鍵點后，根據給定步驟計算α，以K2和K8點為例，當動平臺中心點位于K2和K8時，支鏈1 驅動長度應分別取最大和最小值，同理，將各關鍵點坐標和對應驅動支鏈長度代入式(4)可解出一組α，計算結果如表1所示。鑒于任務區域與構型的關系，每條支鏈只需計算使之達到最大和最小驅動值的關鍵點對應的α即可。圖11(a)所示為機構與任務工作空間的相對位置，也表現了各支鏈與關鍵點間的對應關系。

根據4.1節中的選擇原則，最終確定α=45.37°，此時的機構實際工作空間對任務工作空間包絡示意圖如圖11(b)所示，可見實際工作空間可實現對任務工作空間的完全包絡。以上分析過程可看出，該方法可根據任務確定結構角以實現對任務工作空間的完全包絡。對任務軌跡的包絡原則可適應復雜軌跡，具有一定的多任務普適性。

表1 結構角計算結果Table 1 Calculation results of structure angle (°)

圖10 任務軌跡示意圖Fig.10 Diagram of task trajectory

圖11 任務工作空間示意圖Fig.11 Diagram of desired workspace

下面針對此結構角下的構型進行任務軌跡仿真。設動平臺中心點分別在時間t1，t2，t3時經過標定點T1，T2和T3。am(tn)，vm(tn)，sm(tn)分別為動平臺中心點在時間tn時的加速度、速度、位移。故當動平臺經過3 個標定點時，n=1,2,3；m=1z，2z，1′，2′。S1與S2分別經歷加速與減速過程，結合運動穩定性考慮，可將加速度變化方程設為時間t的一次函數，則各運動參數方程形式可由式(13)得到，其中k1b(b=1,2,3,4,5)為時間t的系數。對3個標定點在S1與S2行程的運動參數關系式相互聯立，可解出S1與S2的解析表達式。圖12所示為動平臺在執行任務軌跡時，xyz這3個方向上的位移變化曲線。

圖12 動平臺位移變化曲線Fig.12 Change curves of moving platform′s motion

將以上運動參數代入機構仿真模型，給定動平臺中心點運動參數，完成抓取放置動作軌跡，輸出機構驅動支鏈的長度變化曲線，如圖13所示。從圖12和13 可看出：當機構執行任務所需軌跡時，動平臺與運動支鏈的運動曲線均無突變尖點，任務過程中對機構整體無沖擊，證明該軌跡規劃和機構結構設計是合理的，且機構的參數確定方法可適應相關任務需求。

圖13 驅動支鏈長度變化曲線Fig.13 Change curves of motion branches length

5 結論

1)提出了一種可用于箱體分揀的新型三自由度冗余驅動并聯機構。通過中心轉動副的加入實現了其工作空間的可變性，并確定了其動平臺的運動性質。

2)通過含位置解、雅克比、奇異性在內的運動學分析，以及包括工作空間、靈巧度、剛度的性能分析，證明了該新型變工作空間并聯機構具有多重任務適應性。

3)提出了具有任務適應性、基于運動學解算的機構參數確定方法。通過以工業生產線箱體分揀為背景的任務軌跡規劃仿真，驗證了機構設計的合理性及方法的普適性。