基于一種新Lyapunov泛函方法的時(shí)滯復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)同步采樣控制

陳剛，李佳，肖伸平

(1.湖南工業(yè)大學(xué)電氣與信息工程學(xué)院，湖南株洲，412007；2.電傳動(dòng)控制與智能裝備湖南省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南株洲，412007)

復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)本質(zhì)上是一種具有復(fù)雜拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)特征的圖論[1]。在過(guò)去的幾十年中，復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)廣泛應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)世界物理和社會(huì)系統(tǒng)建模，如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、互聯(lián)網(wǎng)、社交網(wǎng)絡(luò)、傳感器網(wǎng)絡(luò)的目標(biāo)追蹤、電力系統(tǒng)和食物鏈網(wǎng)絡(luò)[2-8]。在復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)中，系統(tǒng)的同步性是復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)代表性現(xiàn)象，其應(yīng)用于信息處理、安全通道、交通系統(tǒng)等領(lǐng)域，已成為控制領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)[9-11]。文獻(xiàn)[12-16]對(duì)一些復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)的同步性和穩(wěn)定性分析工作進(jìn)行了研究，并取得了一些突出成果。隨著通信技術(shù)的不斷發(fā)展及數(shù)字控制在連續(xù)系統(tǒng)的控制過(guò)程中具有速度快、體積小、精度高和成本低的優(yōu)點(diǎn)，人們對(duì)復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)的數(shù)據(jù)采樣同步控制問(wèn)題進(jìn)行了研究。實(shí)際上，在數(shù)據(jù)采樣控制中，在tk時(shí)刻更新信號(hào)并將信號(hào)從采樣器成功傳輸?shù)娇刂破骱土汶A保持器，會(huì)經(jīng)歷信號(hào)傳輸延遲，故研究時(shí)滯復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)具有重要意義，其主要目的是通過(guò)采樣控制來(lái)保證時(shí)滯復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)有盡可能大的采樣間隔[17-23]，同時(shí)設(shè)計(jì)出1 個(gè)采樣控制器使系統(tǒng)達(dá)到同步穩(wěn)定。如文獻(xiàn)[18]提出了一種新的凸優(yōu)化方法和神經(jīng)元激活函數(shù)的不等式，得到1個(gè)保守性較小的采樣區(qū)間。文獻(xiàn)[19]對(duì)具有記憶的時(shí)滯復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)的非脆弱指數(shù)同步采樣控制進(jìn)行了討論，進(jìn)一步增大了采樣區(qū)間間隔。文獻(xiàn)[22]為進(jìn)一步獲得更多的采樣區(qū)間間隔，優(yōu)化所構(gòu)建的泛函，建立了一些含自由權(quán)矩陣的恒零等式去增強(qiáng)增廣泛函中各向量之間的組合關(guān)系。然而，盡管人們對(duì)數(shù)據(jù)采樣控制和時(shí)滯復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)的同步性進(jìn)行了研究，但所得到的成果具有很大的保守性。為此，本文基于一種新Lyapunov 泛函方法研究時(shí)滯復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)同步采樣問(wèn)題，主要步驟為：1)構(gòu)造一種新Lyapunov 泛函，這種泛函的部分系統(tǒng)狀態(tài)變量使用狀態(tài)區(qū)間相關(guān)矩陣連接，使得Lyapunov 泛函中的向量組合關(guān)系增強(qiáng)，同時(shí)，這也進(jìn)一步優(yōu)化了雙閉環(huán)泛函；2)利用一些積分不等式估計(jì)泛函求導(dǎo)中的積分項(xiàng)并結(jié)合線(xiàn)性矩陣不等式方法，得到1個(gè)較少保守性的復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定的新判據(jù)；3)設(shè)計(jì)1個(gè)能保證時(shí)滯復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)同步的數(shù)據(jù)采樣控制器；4)通過(guò)仿真實(shí)例結(jié)果和狀態(tài)軌跡圖說(shuō)明本文方法的優(yōu)越性和可行性。

1 問(wèn)題描述

采用如下標(biāo)號(hào)：上標(biāo)“T”和“-1”分別表示轉(zhuǎn)置和求逆；Rn和Rn×m分別代表實(shí)數(shù)域的n維向量和n×m的矩陣；矩陣P>0 表示矩陣P是正定的；0和I分別表示合適維數(shù)的零矩陣和合適維數(shù)的單位矩陣；P為矩陣；Sym{P}表示P+PT；符號(hào)“*”表示塊對(duì)稱(chēng)矩陣中的對(duì)稱(chēng)項(xiàng)；?表示Kronecker 乘積；diag{a1,…,an}代表塊對(duì)角矩陣；col{a1,…,an}代表一組列向量，其中a1,…,an為矩陣元素。

考慮N個(gè)相同耦合節(jié)點(diǎn)組成的時(shí)滯復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)，其中每個(gè)節(jié)點(diǎn)都是1 個(gè)N維動(dòng)力系統(tǒng)，其方程為

式中：i=1，2，…，N；xi(t)和ui(t) ∈Rn分別表示時(shí)間t時(shí)刻時(shí)復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)其第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)向量和控制輸入；φ(xi(t))為連續(xù)狀態(tài)值函數(shù)；c表示耦合強(qiáng)度；A=(γij)n×n∈Rn×n，為2 個(gè)連通節(jié)點(diǎn)間的內(nèi)部耦合矩陣；G=(Gij)n×n，為網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涔?jié)點(diǎn)的外部耦合矩陣，Gij若滿(mǎn)足節(jié)點(diǎn)j到節(jié)點(diǎn)i(i≠j)連接，則Gij> 0，否則Gij=0，且矩陣G的對(duì)角元素為

另外，時(shí)變時(shí)滯h(t)滿(mǎn)足0 ≤h(t) ≤h和(t) ≤μ。其中，h和μ是大于0的常量。

令s(t) ∈Rn表示自然孤立點(diǎn)，(t)=φ(s(t))表示狀態(tài)軌跡，φ(xi(t))的定義與式(1)中的相同。

定義ri(t)=xi(t)-s(t)，其含義是節(jié)點(diǎn)i的狀態(tài)xi(t)與期望的狀態(tài)向量s(t)之間的誤差，故誤差系統(tǒng)可表述為

其中：i=1，2，…，N；f(ri(t))=φ(xi(t))-φ(s(t))。

ui(t)結(jié)合數(shù)據(jù)采樣控制可表示為

其中：i=1，2，…，N；tk≤t

其中：d為最大采樣期間。將式(4)代入式(3)得

其中：

引用如下假設(shè)和主要引理。

假設(shè)1U和V為合適維度的定值矩陣，則非線(xiàn)性函數(shù)φ(·) 滿(mǎn)足以下條件：[φ(x)-φ(y)-U(x-y)]T×[φ(x)-φ(y)-V(x-y)]≤0,?x,y∈Rn。

引理1文獻(xiàn)[24]給出正定矩陣X∈Rn，對(duì)于任意可導(dǎo)函數(shù)w(s) ∈[α,β]→Rn，有不等式成立。其中：Γ1=w(β)-w(α)Γ2=w(β)+

引理2文獻(xiàn)[25]給出正定矩陣X∈Rn，任意可導(dǎo)函數(shù)w(s) ∈[α,β]→Rn，Γ1∈Rn×k，Γ2∈Rn×k，任意矩陣D1∈Rn×k，D2∈Rn×k和向量ζ∈Rk，有如下不等式成立：

其中：

2 主要結(jié)果

為簡(jiǎn)化本文復(fù)雜的計(jì)算過(guò)程，本文只考慮含3個(gè)節(jié)點(diǎn)的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)模型，并有如下符號(hào)定義：

定理1給定標(biāo)量h>0，d>0，μ>0，ε>0，若存在矩陣P1>0，Q1>0，Q2>0，Z1∈R2n×2n，P2>0，P3>0，S>0，Z3>0，Z4>0∈Rn×n，任意矩陣Z2∈R4n×4n，F(xiàn)i∈Rn×n(i=1，2，3)，M1∈R2n×11n和M2∈R2n×11n，有如下矩陣不等式成立：

則誤差系統(tǒng)(6)漸近穩(wěn)定。其中：

證明選擇如下Lyapunov泛函：

其中：

然后，對(duì)構(gòu)建的泛函求導(dǎo)，經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單計(jì)算后，有如下積分項(xiàng)存在：

應(yīng)用引理1處理式(10)，可得

運(yùn)用引理2處理式(11)和式(12)，可得

此外，若存在常數(shù)ε> 0，則由假設(shè)1可得

同時(shí)，在計(jì)算過(guò)程中存在如下恒等式成立：

綜上所述，可得

其中：tk≤t

注釋1在泛函V1(t)中，通過(guò)引入狀態(tài)區(qū)間相關(guān)的矩陣去連接系統(tǒng)的狀態(tài)向量，若P2=P3=P，則轉(zhuǎn)變成經(jīng)典的泛函rT(t)Pr(t)，故本文的泛函更具有廣義性與少保守性；另外，在雙閉環(huán)泛函中，構(gòu)造含更多狀態(tài)信息的增廣向量，優(yōu)化文獻(xiàn)[26]中泛函。

注釋2在定理1中，F(xiàn)1，F(xiàn)2，F(xiàn)3和控制器增益K沒(méi)有給出，從而矩陣不等式(7)和(8)是非線(xiàn)性矩陣不等式，無(wú)法用MATLAB 中工具箱求解，下面給出定理2去實(shí)現(xiàn)線(xiàn)性化并求解數(shù)據(jù)采樣控制器。

定理2給定標(biāo)量h>0，d>0，μ>0，ε>0，若存在矩陣P1>0，Q1>0，Q2>0，Z1∈R2n×2n，P2>0，P3>0，S>0，Z3>0，Z4>0∈Rn×n，任意矩陣Z2∈R4n×4n，F(xiàn)i∈Rn×n，Hi∈Rn×n，Ki∈Rn×n(i=1，2，3)，M1∈R2n×11n，M2∈R2n×11n，且控制增益矩陣K=F-1H，有如下矩陣不等式成立：

則誤差系統(tǒng)(6)漸進(jìn)穩(wěn)定。其中：

其他變量的定義與定理1中的一樣。

證明令F1=λ1F，F(xiàn)2=F，F(xiàn)3=λ2F和H=FK，其他證明過(guò)程與定理1 的證明過(guò)程相同，可得定理2。證明完畢。

注釋3在定理2中，采用文獻(xiàn)[20,22]中的線(xiàn)性化方法，設(shè)F1=λ1F，F(xiàn)2=F和F3=λ2F，矩陣不等式(18)和(19)中的數(shù)據(jù)采樣控制器增益K=F-1H可直接用MATLAB工具箱求出。

3 仿真實(shí)例

下面通過(guò)仿真實(shí)例證明本文方法的有效性和優(yōu)越性。

考慮含3個(gè)節(jié)點(diǎn)的復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)模型，并有如下系統(tǒng)參數(shù)：

假設(shè)h=0.25，μ=0.5，則非線(xiàn)性函數(shù)g(xi(t))為

易知該非線(xiàn)性函數(shù)滿(mǎn)足假設(shè)1，且

基于定理2，參數(shù)λ1和λ2選取與文獻(xiàn)[22]中的相同，在MATLAB 工具箱中建立仿真，不同耦合強(qiáng)度c下的最大允許區(qū)間上界d如表1所示。

表1 不同c下的最大允許上界dTable 1 Admissible upper bound d for different c

由表1可知：選取λ1=0.20，λ2=1.00，c=0.50 和λ1=0.60，λ2=0.80，c=0.75 以及λ1=1.75，λ2=1.0，c=1.0，通過(guò)對(duì)比本文可以得到最大數(shù)據(jù)采樣區(qū)間d與參考文獻(xiàn)[18-19,21-23]中采樣區(qū)間d，結(jié)果顯示了本文方法具有明顯的優(yōu)越性。

基于定理2，設(shè)初始條件為：

當(dāng)λ1=0.2，λ2=1.0，c=0.5 時(shí)，利用MATLAB工具箱得采樣控制器增益為：

誤差系統(tǒng)(6)的無(wú)控制輸入狀態(tài)軌跡由圖1所示。由圖1可知：當(dāng)u(t)=0 時(shí)，系統(tǒng)是發(fā)散的。當(dāng)加入本文設(shè)計(jì)的控制器后，控制輸入u(t)仿真圖和誤差系統(tǒng)(6)狀態(tài)軌跡r(t)仿真圖分別如圖2和圖3分別所示。由圖2和圖3可知：基于定理2計(jì)算的控制輸入矩陣增益能夠使誤差系統(tǒng)(6)的狀態(tài)軌跡最終趨于穩(wěn)定，這也證明了本文方法是有效的。

圖1 無(wú)控制輸入誤差系統(tǒng)(6)的狀態(tài)軌跡Fig.1 State trajectories of error system(6)without control input

圖2 控制輸入u(t)Fig.2 Control input u(t)

當(dāng)λ1=0.6，λ2=0.8，c=0.75 時(shí)，利用MATLAB工具箱計(jì)算采樣控制器增益為：

當(dāng)加入本文所計(jì)算的控制器后，控制輸入u(t)仿真圖和誤差系統(tǒng)(6)狀態(tài)軌跡r(t)仿真圖分別如圖4和圖5所示。由圖4和圖5可知：本文得出的控制增益能夠使誤差系統(tǒng)(6)的狀態(tài)軌跡最終趨于穩(wěn)定，進(jìn)一步說(shuō)明了本文方法的有效性。

圖3 誤差系統(tǒng)(6)的狀態(tài)軌跡Fig.3 State trajectories of error system(6)

4 結(jié)論

1)本文研究了時(shí)滯復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步采樣控制問(wèn)題。構(gòu)造了一種由狀態(tài)區(qū)間相關(guān)矩陣泛函和雙閉環(huán)泛函兩者組成的新Lyapunov 泛函，運(yùn)用積分不等式方法估計(jì)泛函求導(dǎo)中的積分項(xiàng)，使用線(xiàn)性矩陣不等式方法，得到了1個(gè)較少保守性的復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定的新判據(jù)。

2)基于所獲得的漸近穩(wěn)定性判據(jù)，設(shè)計(jì)了1個(gè)能夠使時(shí)滯復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)同步的數(shù)據(jù)采樣控制器。MATLAB 數(shù)值仿真表明本文方法的優(yōu)越性和可行性。