彈性支撐對(duì)多跨梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性的影響

宋 超，趙 巖，劉江濤，張 航，高 聰

(1.海軍裝備部裝備項(xiàng)目管理中心，北京100071；2.中國艦船研究院，北京100101；3.哈爾濱工程大學(xué)，黑龍江哈爾濱150001)

0 引言

船上設(shè)備工作產(chǎn)生的寬頻激勵(lì)將不可避免地引起船體結(jié)構(gòu)振動(dòng)，該寬頻振動(dòng)能量經(jīng)由基座、甲板等船體結(jié)構(gòu)向響應(yīng)面?zhèn)鬟f，將對(duì)船舶舒適性和結(jié)構(gòu)安全性產(chǎn)生危害[1]。船體結(jié)構(gòu)是由眾多桿、梁和板等彈性構(gòu)件相互耦合而成的組合結(jié)構(gòu)[2]，其中，梁系結(jié)構(gòu)作為船舶結(jié)構(gòu)中的重要部分，是影響船體振動(dòng)傳遞的主要因素之一。因此開展船舶梁系結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性影響的研究，對(duì)揭示船舶結(jié)構(gòu)復(fù)雜多模態(tài)振動(dòng)機(jī)制具有重要的指導(dǎo)意義。

李俊[3]從基礎(chǔ)理論出發(fā)，推導(dǎo)了考慮剪切變形和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的彎扭耦合薄壁梁自由振動(dòng)的動(dòng)態(tài)傳遞矩陣，并給出了其顯式表達(dá)式。湯華濤[4]利用有限元法推導(dǎo)了空間單元的傳遞矩陣，研究了懸臂梁結(jié)構(gòu)在含軸向拉壓應(yīng)變時(shí)其振動(dòng)特性變化的問題。Nandakumar等[5]基于狀態(tài)矢量法修改阻尼傳遞矩陣，進(jìn)行了結(jié)構(gòu)參數(shù)識(shí)別的分析理論探究。王獻(xiàn)忠[6]應(yīng)用非齊次項(xiàng)的精細(xì)積分，提出一種求解加筋圓柱殼動(dòng)響應(yīng)的精細(xì)傳遞矩陣方法。

由以上研究可知，一方面現(xiàn)有文獻(xiàn)大多聚焦于單跨梁結(jié)構(gòu)和簡(jiǎn)單組合結(jié)構(gòu)在經(jīng)典邊界條件下的自由振動(dòng)特性，鮮有學(xué)者開展對(duì)多跨梁振動(dòng)機(jī)理揭示的研究。同時(shí)對(duì)于彈性支撐條件下多跨梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性研究尚未見公開報(bào)道。為此，本文在已有研究成果的基礎(chǔ)上，對(duì)實(shí)際船舶梁系結(jié)構(gòu)進(jìn)行簡(jiǎn)化，開展具有彈性支撐的多跨梁其彈性支撐相關(guān)參數(shù)改變對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性的影響研究，旨在更好地揭示船體振動(dòng)特性規(guī)律。

1 多跨梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性分析

1.1 梁系結(jié)構(gòu)振動(dòng)方程

將連續(xù)梁結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化為若干個(gè)無質(zhì)量彈性梁段和集中質(zhì)量，如圖1所示。

圖1 簡(jiǎn)單梁結(jié)構(gòu)模型示意圖Fig.1 Schematic diagram of simple beam model

此時(shí)，將梁上任一點(diǎn)的位移矢量和力矢量作為線性傳遞矩陣?yán)碚揫6]分析變量，結(jié)構(gòu)狀態(tài)矢量：

式中：y為當(dāng)前點(diǎn)的撓度；θ 為轉(zhuǎn)角；M為彎矩；S為剪力。

由傳遞矩陣法基本方程得：

式中：Cip稱 為點(diǎn)傳遞矩陣；Ci f為場(chǎng)傳遞矩陣。

取彈性梁段li作為分離體，如圖2所示。令y軸向上為正；梁右截面上的彎矩逆時(shí)針方向?yàn)檎袅ο蛳聻檎蠼孛嫔系膹澗仨槙r(shí)針方向?yàn)檎袅i?1向上為正。

圖 2梁結(jié)構(gòu)計(jì)算模型Fig.2 Calculation model of beam structure

由彎曲平衡方程可知：

式中：E為材料的彈性模量；I為慣性矩。聯(lián)立式（3）和式（4）并用矩陣形式表示，有

取集中質(zhì)量mi作為分離體，其右端矢量為左端矢量為由位移連續(xù)條件與力平衡條件得：

結(jié)合式（5）和式（6）可得第i-1個(gè)梁段右端至第i個(gè)梁段右端的狀態(tài)矢量傳遞關(guān)系：

式中：Ci為單元傳遞矩陣，有

對(duì)于圖1所示的連續(xù)梁振動(dòng)系統(tǒng)，有

式中，C為總傳遞矩陣。

由兩端邊界條件，可確定梁首末處的狀態(tài)矢量Z0和Zn，聯(lián)立方程可解得結(jié)構(gòu)的固有頻率與模態(tài)。

1.2 梁系結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性分析

為簡(jiǎn)化研究，本文以如圖2所示的輕質(zhì)梁段和集中質(zhì)量組成的多自由度系統(tǒng)為研究對(duì)象。各段彈性梁長(zhǎng)度=0.2 m，彈性模量 ，截面慣性矩，各集中質(zhì)量為=1.6 kg。邊界條件設(shè)為兩端簡(jiǎn)支，如圖3所示。

liE=2.1×1011N/m2I=1.0×10?6m4mi

圖3 平面橫向振動(dòng)彈性梁段Fig.3 Elastic beam section with transverse vibration

根據(jù)邊界條件可得，結(jié)構(gòu)兩端狀態(tài)矢量均滿足：

由傳遞矩陣法解得連續(xù)梁的振動(dòng)模態(tài)，經(jīng)歸一處理后前4階模態(tài)振型計(jì)算結(jié)果如圖4所示。

在連續(xù)梁中心位置即第10個(gè)集中質(zhì)量處施加單位力，計(jì)算得到第5個(gè)集中質(zhì)量元件5#、第10個(gè)集中質(zhì)量元件10#及第15個(gè)集中質(zhì)量元件15#三點(diǎn)處的強(qiáng)迫振動(dòng)響應(yīng)頻譜曲線。為保證計(jì)算精度，計(jì)算頻段設(shè)為1～200 Hz，計(jì)算結(jié)果如圖5所示。

由圖5可知，系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)在16 Hz，144 Hz出現(xiàn)峰值，峰值頻率與系統(tǒng)第1階、第3階固有頻率相接近；此外，激勵(lì)位置處即第10個(gè)集中質(zhì)量元件振動(dòng)響應(yīng)存在反共振頻率100 Hz；結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)曲線在第2階固有頻率63.8 Hz附近未出現(xiàn)共振峰值，原因是激勵(lì)位置位于結(jié)構(gòu)第2階模態(tài)振型的節(jié)點(diǎn)附近，不能引起結(jié)構(gòu)強(qiáng)振動(dòng)。除共振峰值頻率附近外，結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)均較小。

在16 Hz，64 Hz，100 Hz，144 Hz頻率下梁結(jié)構(gòu)各單元的強(qiáng)迫振動(dòng)響應(yīng)結(jié)果如圖6所示。可以看出，共振峰值頻率16 Hz，144 Hz下結(jié)構(gòu)響應(yīng)分布與結(jié)構(gòu)前兩階模態(tài)振型相近；系統(tǒng)在64 Hz，100 Hz下各單元振動(dòng)響應(yīng)都相對(duì)較小。

1.3 船舶結(jié)構(gòu)多跨梁簡(jiǎn)化模型

圖4 梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)模態(tài)振型Fig.4 Vibration mode of beam structure

船舶結(jié)構(gòu)存在不同跨度的縱骨、橫梁等骨材結(jié)構(gòu)，從而與甲板形成不同尺度的加筋板架結(jié)構(gòu)，本研究?jī)H考慮結(jié)構(gòu)截面方向，以設(shè)有彈性支撐的多跨梁近似模擬加筋板或板架結(jié)構(gòu)，其中平板采用彈性梁段和集中質(zhì)量點(diǎn)模擬；骨材結(jié)構(gòu)采用彈性支撐模擬，為簡(jiǎn)化研究，這里僅考慮其剛度，計(jì)算模型如圖7所示。進(jìn)而研究彈性支撐的跨度和剛度改變對(duì)多跨梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性的影響。

圖5 振動(dòng)響應(yīng)頻譜圖Fig.5 Vibration response spectrum

圖6 梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)分布Fig.6 Vibration response of beam structure

對(duì)于設(shè)置彈性支撐的集中質(zhì)量mi，取其作為分離體，支撐剛度為k，其右端矢量為左端矢量為由位移連續(xù)條件與力平衡條件得：

圖 7多跨梁計(jì)算模型Fig.7 Calculation model of multi span beam

計(jì)算模型采用由60個(gè)無質(zhì)量彈性梁段及59個(gè)集中質(zhì)量構(gòu)成的多自由度系統(tǒng)模擬多跨連續(xù)梁，各段彈性梁彈性模量E=2.1×1011N/m2，慣性矩I=1.0×10?6m4，各集中質(zhì)量為mi=1.6 kg，支撐剛度為k=3.0×105N/m。

2 彈性支撐跨度對(duì)振動(dòng)特性的影響

2.1 結(jié)構(gòu)跨度對(duì)多跨梁振動(dòng)特性的影響

本節(jié)對(duì)于具有彈性支撐的多跨梁結(jié)構(gòu)，兩端簡(jiǎn)支邊界下結(jié)構(gòu)跨度分別為6 m，9 m，12 m，15 m，18 m，設(shè)支撐剛度均為k=3.0×105N/m，計(jì)算不同結(jié)構(gòu)跨度下多跨梁的首階固有頻率，計(jì)算結(jié)果如圖8所示。可以看出，隨結(jié)構(gòu)跨度的增大，結(jié)構(gòu)固有頻率呈下降趨勢(shì)，且隨跨度增大逐漸趨于平緩。

圖8 不同跨度系統(tǒng)首階固有頻率變化Fig.8 First order natural frequency variation of different span system

2.2 支撐跨度對(duì)多跨梁振動(dòng)特性的影響

在結(jié)構(gòu)跨度為1 2 m的多跨梁上，分別均布3～6個(gè)彈性支撐，設(shè)支撐剛度k=3.0×105N/m，計(jì)算不同支撐跨度下的結(jié)構(gòu)首階模態(tài)變化，計(jì)算結(jié)果如圖9所示。可以看出，隨支撐跨度的增大，多跨梁結(jié)構(gòu)固有頻率呈下降趨勢(shì)，其1階振型也發(fā)生變化。

圖9 系統(tǒng)自由振動(dòng)特性變化Fig.9 Change of free vibration characteristicsof the system

3 彈性支撐剛度對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性的影響

3.1 整體剛度對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性的影響

以結(jié)構(gòu)跨度為12 m、均布5個(gè)彈性支撐的多跨梁為研究對(duì)象，整體支撐剛度K=ik，基礎(chǔ)剛度k=2.0×105N/m，計(jì)算模型如圖10所示。

圖10 多跨梁計(jì)算模型Fig.10 Calculation model of multispan beam

為了計(jì)算不同支撐剛度下的結(jié)構(gòu)模態(tài)變化，本文給出了支撐剛度整體依次取1～5k時(shí)結(jié)構(gòu)的固有頻率和模態(tài)陣型，計(jì)算結(jié)果如圖11所示。可以看出，隨支撐剛度的增大，結(jié)構(gòu)固有頻率呈上升趨勢(shì)，且上升幅度越來越小，結(jié)構(gòu)一階振型也發(fā)生變化。

在多跨梁結(jié)構(gòu)左側(cè)1/3即20號(hào)點(diǎn)位置施加單位力，計(jì)算當(dāng)支撐剛度改變時(shí)，多跨梁系統(tǒng)左側(cè)1/4位置即15號(hào)點(diǎn)振動(dòng)速度響應(yīng)變化，計(jì)算頻段定位在1～200 Hz范圍，結(jié)果如圖12所示。可以看出，隨支撐剛度的增大，振動(dòng)響應(yīng)曲線右移，且右移幅度越來越小，這是因?yàn)橹蝿偠鹊脑龃笫沟媒Y(jié)構(gòu)固有頻率升高所導(dǎo)致的；且隨頻率升高，振動(dòng)響應(yīng)曲線右移幅度越來越小，這是由于支撐剛度的增大對(duì)高階結(jié)構(gòu)固有頻率影響小于低階結(jié)構(gòu)固有頻率所造成。

圖11 系統(tǒng)自由振動(dòng)特性變化Fig.11 Change of free vibration characteristics of the system

圖12 振動(dòng)速度響應(yīng)頻譜圖Fig.12 Frequency spectrum of vibration speed response

3.2 局部剛度對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性的影響

對(duì)于船舶板架結(jié)構(gòu)，一般由甲板、結(jié)構(gòu)剛度相同且略小的多條縱骨及剛度較大的縱桁結(jié)構(gòu)構(gòu)成，為此簡(jiǎn)化后的多跨梁結(jié)構(gòu)中彈性支撐剛度將不完全相同。如圖10所示，取兩側(cè)支撐剛度k=4.0×105N/m，中部支撐剛度為k1=ik，計(jì)算中部支撐在不同剛度下結(jié)構(gòu)的模態(tài)變化，計(jì)算結(jié)果如圖13所示。可以看出，隨中部支撐剛度的增大，結(jié)構(gòu)固有頻率呈上升趨勢(shì)，且上升幅度越來越小，結(jié)構(gòu)1階振型也發(fā)生變化，振型最大位移點(diǎn)逐漸從中部向兩側(cè)移動(dòng)。同時(shí)，隨著中部支撐剛度不斷增加，其結(jié)構(gòu)1階陣型最大位移點(diǎn)以分離至計(jì)算模型的1/4位置和3/4位置處，0位置處至中部支撐位置梁段1階陣型曲線與兩端簡(jiǎn)支的低階梁結(jié)構(gòu)1階陣型趨于一致。因此，對(duì)于復(fù)雜的多跨梁和交叉梁系而言，選取適當(dāng)?shù)闹蝿偠龋蓪⑵浜?jiǎn)化成帶有彈性支撐的多跨梁，進(jìn)而進(jìn)行振動(dòng)特性分析。

圖13 系統(tǒng)自由振動(dòng)特性變化Fig.13 Change of free vibration characteristics of thesystem

在多跨梁結(jié)構(gòu)左側(cè)1/3即20號(hào)點(diǎn)位置施加單位力，計(jì)算得到當(dāng)中部支撐剛度改變時(shí)，多自由度系統(tǒng)左側(cè)1/4位置即15號(hào)點(diǎn)在1～200 Hz振動(dòng)速度響應(yīng)變化，計(jì)算結(jié)果如圖14所示。可以看出，對(duì)于25 Hz，50 Hz，91 Hz附近峰值，隨中部支撐剛度的增大，振動(dòng)響應(yīng)峰值出現(xiàn)向右偏移現(xiàn)象，這是由于支撐剛度的增大使得結(jié)構(gòu)固有頻率升高；對(duì)于25 Hz附近峰值，隨支撐剛度的增大，峰值右移幅度逐漸減小。

4 結(jié)語

本文針對(duì)船舶多跨梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)機(jī)理揭示不足等問題，基于傳遞矩陣法開展了彈性支撐對(duì)船舶多跨梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性的影響規(guī)律研究，得出如下結(jié)論：

1）對(duì)彈性支撐多跨梁結(jié)構(gòu)，系統(tǒng)固有頻率隨結(jié)構(gòu)跨度增加而下降，隨彈性支撐跨度增大而下降，且均逐漸趨于平緩。

圖14 振動(dòng)速度響應(yīng)頻譜圖Fig.14 Frequency spectrum of vibration speed response

2）對(duì)彈性支撐多跨梁結(jié)構(gòu)，當(dāng)支撐剛度整體增加時(shí)，結(jié)構(gòu)的固有頻率隨即增大，增大幅度隨剛度的增加趨于平緩。同時(shí)結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)曲線右移，右移幅度隨頻率的升高而減小。

3）選取適當(dāng)?shù)木植恐蝿偠龋w板架結(jié)構(gòu)振動(dòng)可簡(jiǎn)化為多跨梁振動(dòng)。當(dāng)多跨梁上局部支撐剛度增大時(shí)，結(jié)構(gòu)一階振型最大位移點(diǎn)逐漸由中部向兩側(cè)移動(dòng)，與兩端簡(jiǎn)支的低階梁結(jié)構(gòu)一階陣型趨于一致。