從高考的視角探尋導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的一般規(guī)律

廣東 廖邦亮

函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)重要的性質(zhì)之一，對深入研究函數(shù)的圖象、比較函數(shù)值的大小、解不等式、求極值、最值、取值范圍、判斷函數(shù)零點個數(shù)和證明不等式等，都起著至關(guān)重要的作用，是函數(shù)綜合問題的基石.因此，函數(shù)單調(diào)性的考查是高考函數(shù)導(dǎo)數(shù)題的重點.

導(dǎo)函數(shù)是解決函數(shù)單調(diào)性問題的“利器”，而利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的重點和難點，就是當導(dǎo)函數(shù)含參數(shù)時如何找到合適的參數(shù)分界點，順利地判斷出導(dǎo)函數(shù)的正負來確定函數(shù)的單調(diào)性.因此對參數(shù)的分類討論是解決問題的關(guān)鍵，這要求學生具備良好的分類與整合、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想和學科素養(yǎng).

本文通過幾例高考題，對用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的題型進行分類，對解題步驟進行歸納，對分類討論的分界點進行總結(jié).

題型1：導(dǎo)函數(shù)局部“單根”型，根是否在定義域內(nèi)為分界點

【例1】(2017·全國卷Ⅲ理·21節(jié)選)已知函數(shù)f(x)=x-1-alnx.若f(x)≥0，求a的值.

Step 1:x∈(0,+∞);Step 2:f'x =x-ax;Step 3:g(x)=x-a.Step 4,5:gx 與fx 草圖;f1 =0.當x∈(0,a)時,f(x)單調(diào)遞減;當x∈(a,+∞)時,f(x)單調(diào)遞增.當x∈(0,+∞)時,f(x)單調(diào)遞增.

續(xù)表

【點評】①對導(dǎo)函數(shù)通分化簡后，發(fā)現(xiàn)只需研究局部g(x)=x-a(x>0)即可，其為“單根”型，根為x=a，函數(shù)單調(diào)性討論的分界點為此根是否在定義域內(nèi)；

②Step 6中，要解不等式a-1-alna≥0，需構(gòu)造函數(shù)h(a)=a-1-alna(a>0)求解，對于函數(shù)h(a)的單調(diào)性研究與此題相同；

③通過上述分析，我們還可以將問題變式為求f(x)的單調(diào)性、零點個數(shù)、極值點個數(shù)或極值點偏移等問題；

④類似高考題：(2017·全國卷Ⅱ理·21)已知函數(shù)f(x)=ax2-ax-xlnx，且f(x)≥0.

(Ⅰ)求a；

(Ⅱ)證明：f(x)存在唯一的極大值點x0，且e-2

【答案】(Ⅰ)a=1;

(Ⅱ)證明略.

題型2：導(dǎo)函數(shù)局部為“類單根”型，有解無解為分界點

【例2】(2017·全國卷Ⅰ理·21)已知函數(shù)f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.

(Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性；

(Ⅱ)若f(x)有兩個零點，求a的取值范圍.

Step 1:x∈R;Step 2:f'(x)=(aex-1)(2ex+1);Step 3:g(x)=aex-1.Step 4,5:gx 和fx 的草圖.

續(xù)表

【點評】①對導(dǎo)函數(shù)因式分解后，發(fā)現(xiàn)只需研究局部g(x)=aex-1為“類單根”型，即a≤0時無根，a>0時有一根x=-lna，函數(shù)單調(diào)性討論的分界點為有根和無根；

③通過上述分析，我們還可以研究函數(shù)f(x)的單調(diào)性、零點個數(shù)和極值點個數(shù)等問題，本題的第二問就是研究極值點偏移問題.

題型3：導(dǎo)函數(shù)局部為“雙根”，“雙根”的分布為分界點

(Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性;

Step 1:x∈(0,+∞);Step 2:f'(x)=-x2+ax-1x2;Step 3:g(x)=-x2+ax-1.Step 4,5:gx 與fx 的草圖,x1=a-a2-42,x2=a+a2-42.

續(xù)表

②本題第(Ⅰ)問要討論f(x)單調(diào)性問題，一目了然.第(Ⅱ)問先根據(jù)函數(shù)的極值點個數(shù)確定參數(shù)的范圍，也非常清晰.

題型4：導(dǎo)函數(shù)為“類雙根”型，根的個數(shù)和大小比較都是分界點

【例4】(2016·全國卷Ⅰ理·21節(jié)選)已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個零點.求a的取值范圍.

Step 1:x∈R;Step 2:f'(x)=(x-1)(ex+2a);Step 3:g(x)=(x-1)(ex+2a).Step 4,5:gx 與fx 的草圖;g(1)=0,f(1)=-e.Step 6:若fx 有兩個零點,求a的取值范圍.當a>0時,兩個零點.當a=0時,一個零點.當-e2

【小結(jié)】①當a≥0或a<0時，導(dǎo)函數(shù)f′(x)=(x-1)·(ex+2a)可能是“單根”或“雙根”型，因此稱之為“類雙根”型導(dǎo)函數(shù)，這是討論的分界點之一.

②“單根”的討論簡潔，但“雙根”時，兩個根的大小不知道，因此討論的分界點之二就是比較兩個根的大小.

③本題是研究函數(shù)零點個數(shù)，離不開函數(shù)的單調(diào)性和極值.

當a>0時，f(x)在(-∞,1)上遞減，在(1,+∞)上遞增，x→+∞時，f(x)→+∞;x→-∞時，f(x)→+∞，且f(1)=-e<0，故f(x)有兩個零點；

當a=0時，f(x)在(-∞,1)上遞減，在(1,+∞)上遞增，x→+∞時，f(x)→+∞;但是x→-∞時，f(x)→0，f(1)=-e<0，故f(x)只有一個零點；

④顯然本題對單調(diào)性、極值點個數(shù)和零點個數(shù)等性質(zhì)的分類探討分界點多且綜合性強，非常典型.

⑤類似高考題：(2019·全國卷Ⅲ理·20節(jié)選)已知函數(shù)f(x)=2x3-ax2+b.討論f(x)的單調(diào)性.

通過上述幾例的分析，我們可以做如下總結(jié)：

【解題步驟】Step 1：確定函數(shù)的定義域；Step 2：對函數(shù)求導(dǎo)；Step 3: 對導(dǎo)函數(shù)進行整理，包括通分和分解因式；對導(dǎo)函數(shù)“去粗取精，化繁為簡”，即去掉導(dǎo)函數(shù)中恒正或者恒負的部分，留下要討論的局部；Step 4：根據(jù)參數(shù)判斷導(dǎo)函數(shù)或局部導(dǎo)函數(shù)的正負；Step 5：畫出導(dǎo)函數(shù)或局部導(dǎo)函數(shù)的草圖，并確定原函數(shù)圖象；Step 6：解決極值、最值、零點、恒成立、求參數(shù)范圍和證明不等式等問題.

【分類討論分界點】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)或者局部導(dǎo)函數(shù)的特點，常見特征為“單根”或者“雙根”形式，討論的分界點有：①定義域內(nèi)有無零點；②定義域內(nèi)有幾個零點；③若定義域內(nèi)有多個零點，比較零點的大小.