基于“最近發展區”理論指導下的高中數學教學
——以“函數的概念”教學為例

安徽 王東旭

一、“最近發展區”理論概述

“最近發展區”理論是由前蘇聯著名心理學家維果斯基提出的，他認為學生的發展有兩種水平：一種是現有發展水平，指獨立活動時所能達到的解決問題的水平；另一種是潛在發展水平，是指學生通過學習能夠獲得的潛力.兩者之間的差異就是“最近發展區”.教學應著眼于學生的“最近發展區”，在教學方法上應循序漸進，逐步向新知過度，不斷超越其最近發展區而到達下一發展階段的水平.

二、高一新生“函數的概念”的現有發展水平和潛在發展水平分析

本節課是針對剛剛步入高中大門的高一新生來設計的.高一新生在初中階段已經初步學習了函數的概念以及幾種特殊的函數:一次函數、反比例函數和二次函數，這些構成了學習本節內容的基礎.然而他們在思維方式上往往還停留在具體運算，或者是基于一些具體問題的運算上.例如，他們看待函數時，一般習慣將其看作具體的一次函數、二次函數或者反比例函數，沒有將其抽象看成一般的函數f(x).同時，在數學活動的經驗上，大部分學生往往習慣于一些特殊值的運算，習慣通過特殊值代替抽象字母，將抽象的數學問題特殊化，從特殊的問題中推測、歸納出一般問題的答案.同時，通過初中三年的數學學習，大部分學生具備了一定的探究能力，掌握了一些合情推理和歸納總結的方法，但是這些能力和方法普遍都是建立在具體問題或者幾何直觀基礎上的，學生并不懂得如何借助抽象的數學符號進行.鑒于以上對學生現有發展水平的分析，教師在回顧舊知的基礎上提出一系列概念判斷性的問題，其中有些問題學生無法利用初中函數的概念解釋，亦無法借助特殊化的方式判斷.因而需要明確本節課學習的目的——從集合的角度重新解讀函數的概念.

三、《普通高中數學課程標準》(2017年版)對函數的概念教學的要求

《課程標準》對本節的教學要求是：通過豐富實例，進一步體會函數是描述變量之間的依賴關系的重要數學模型，在此基礎上學習用集合與對應的語言來刻畫函數，體會對應關系在刻畫函數的概念中的作用，了解構成函數的要素.從學生已掌握的具體函數和函數的描述性定義入手，引導學生聯系自己的生活經歷和實際問題，嘗試列舉各種各樣的函數，構建函數的一般概念.然而函數的概念本身是極其抽象的，要求學生用變量的眼光、運動變化的觀點去看待問題，這點對于高一新生來說學起來十分不易.在數學的教學中，要求教師強調函數本質，淡化函數形式化表示與運算.通過具體實例提煉函數的概念的本質，使學生真正理解它、運用它.

四、“最近發展區”理論指導下的函數的概念教學設計

“最近發展區”是重要的教學理論，為了能夠清楚的表達該理論在本節教學中的指導作用，筆者將教學主要分成以下5個環節:回顧舊知、創設情境、引發沖突、形成新知、深化理解.具體如下：

1.回顧舊知

師:初中學過哪些函數?到底什么叫做函數?

【設計意圖】通過讓學生回憶學習過的幾種特殊函數:一次函數、二次函數和反比例函數，從而引導學生回憶起初中課本里的函數的概念以及初中解決此類問題時的慣用方法和思路.在教學的伊始就喚醒并構建起學生函數的概念學習的現有發展水平中的知識內容.

生：回憶并思考上述問題，并讓學生簡答.

師：給出初中時對函數的概念的描述：“一般地，設在一個變化過程中有兩個變量x和y，如果對x在它允許取值范圍內的每一個值，y都有唯一的值與它對應，那么就說x是自變量，y是x的函數.”

2.創設情境

通過生活中現實問題、熟悉的實例來創設教學情境，這樣容易引起學生產生共鳴、產生興趣，體現“人人學有用的數學”.

筆者給出以下幾個具體實例，并進一步設問:以下變量關系是函數嗎?為什么?

實例1.下表是1950～1959年我國的人口的數據資料：人口數量單位(萬人)

年份(x)1950195119521953195419551956195719581959人數(y)55 19656 30057 48258 79660 26661 45662 82864 56365 99467 207

實例2.如圖是滁州市2019年某天自零點至24點氣溫變化情況.

實例3.某趟高鐵列車以300 km/h的時速勻速行駛，行駛的路程y千米與其行駛時間x小時之間的關系.

實例4.已知y=x2，變量y與變量x之間的關系.

實例5.已知y2=x(x為非負實數)，變量y與變量x之間的關系.

實例6.已知|y|=x，變量y與變量x之間的關系.

【設計意圖】由于這幾個實例是完全建立在學生的現有發展水平的基礎之上的，所以應該由學生獨立思考完成，教師此時不應該給予提示和指導.根據學生現有的水平，容易判斷出實例1，2，3，4中，y是x(或t)的函數；而實例5，6中，y不是x的函數.

3.引發沖突

提出疑問:既然初中已經學習過函數的概念，為何高中又要學習函數的概念?

【設計意圖】這樣的設問方式正是學生所感到困惑的地方，因此可以吸引學生的注意，有效地激發學生的學習興趣和學習動機.

筆者緊接著給出下列式子并提出問題:這些式子是函數嗎?

【設計意圖】通過初中階段的學習，學生會習慣性地把函數理解為“一個變量隨著另一個變量變化而變化”，對于以上的這類式子是否表示函數，絕大多數的高一學生無從判斷，因為這與初中“變量說”的定義不太吻合，于是學生感到疑惑.這時，要讓學生知道“變量說”僅從運動變化的觀點出發，強調的是兩個變量和變域——自變量與因變量、定義域與值域，缺少了對于函數實質的刻畫.因此需要從新的角度來引入函數更為準確的定義.在課堂教學時可以通過這些函數的實例，在學生的現有發展水平的基礎上引發學生的認知沖突，促使學生積極自主探索，促進學生從現有發展水平出發，最終完成向潛力發展水平的過渡和轉化.

4.形成新知

教師帶著學生回到之前給出的幾組實例，引導學生用集合的語言闡述實例1，2，3，4的共同特點.

(1)每一個變化過程均涉及兩個非空數集A，B；

(2)存在某種對應法則，對于A中的任意元素x，B中總有唯一確定的一個元素y與之對應.

在此，筆者通過PPT展示實例1可以確定的兩個非空數集：

以年份構成的集合A={1950,1951,1952,1953,1954,1955,1956,1957,1958,1959}，

以人口數量(萬人)構成的集合B={55 196,56 300,57 482,58 796,60 266,61 456,62 828,64 563,65 994,67 207}.并給出這兩個非空數集之間的對應，這種對應是每一個年份都對應著一個人口數量.

于是，引導學生模仿實例1中兩個數集之間的對應，完成實例2的對應.并以投影的形式在班級展示.這里采集一位同學的答案：

實例2.A={0:00,2:00,4:00,6:00,8:00,10:00,12:00,14:00,16:00,18:00,20:00,22:00,24:00}，

B={20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32}.

再讓學生口述實例3，4如何用集合之間的對應來描述.在此基礎上筆者給出函數的概念的定義：“一般地，設A，B是兩個非空的數集，如果按某種對應法則f，對于集合A中的任意元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它對應，那么這樣的對應叫做從A到B的一個函數，通常記為y=f(x)，x∈A.其中，所有的輸入值x組成的集合A叫做函數y=f(x)的定義域；所有的輸出值y組成的集合C(C?B)叫做函數y=f(x)的值域.”

【強化概念】由于學生初次碰到這個新概念，所以極容易忽略其中的一些關鍵部分，而對于這些關鍵部分認識上的缺失會直接導致其在后面學習上產生障礙.于是，在給出概念之后應當及時地強調函數的概念成立的幾個必備條件:兩個集合要求“非空”、兩個集合必須是“數集”、“任意”和“唯一”.它們都是形成概念的必要前提，并且能夠與本章最后要講的映射的概念之間形成對比和聯系.而對于其中“任意”和“唯一”這兩點的充分理解是對學生現有思維方式的挑戰.例如，學生應當理解“任意”是用來規定集合A的，于是集合A一定是函數的定義域，而其對于集合B卻沒有限制，集合B中可以有元素沒有原象，于是集合B就不一定是值域，值域C一般包含于B，而不一定相等.如果學生能夠對這兩點達到正確的理解和熟練的運用，那么則是其從現有發展水平過渡到潛力發展水平的一個重要標志.

最后，回到剛才給出的三個式子.根據概括出的函數的概念，學生容易判斷它們都是函數，這是一個已經轉化為學生潛在發展水平的問題.在展現函數表現形式多樣的同時，通過“特殊→一般→特殊”的認知循環發展過程，加深學生對于函數的概念的理解.

5.深化理解

學了新的函數的概念后，函數具體有哪些部分，這是學生必須搞清楚的，于是在前面引導的前提下繼續追問.(讓學生回答并點評)

由定義域、值域及定義域到值域的對應法則三部分組成，這就是函數的三要素，為了研究方便，我們把三要素寫成一個表達式y=f(x).

“y=f(x)”表明，對于定義域中的任意x，在對應法則f的作用下都可得到y，可見對應法則孕育了x與y之間的關系，它是聯系x與y的紐帶，從而說明對應是函數的核心.

為了深化學生對概念中“對應”的理解，進一步提出問題：實例3和實例4所表示的函數y=300x(x≥0)與y=x2(x∈R)中對應法則分別表示什么呢?(學生作答，教師指導)

函數三要素的分析與研究是本課的重點和難點.這里將對y=f(x)的認識與f作用的分析作為學生理解函數三要素的最近發展區，使學生在突破重難點的基礎上對f作為函數實質特征第一次認同.

上述的y=300x與y=x2顯然不同，原因是二者的對應法則不同.那么，如何判定兩函數是相等的函數呢，判定標準是什么？

筆者通過下面這個例子來講，提出設問：下列函數中哪個與函數y=x相等？(讓學生就這個問題展開討論，然后找部分學生提出自己的想法)

追問:f(x)=x與g(t)=t，那么它們還是同一函數嗎?(由學生作答)

于是可以得出結論:判斷函數是否相同，只要看它們的三要素是否相同，而值域完全由定義域和對應法則來確定，所以主要是看定義域和對應法則是否相同.定義域和對應法則一經確定，則函數就完全確定了，與表示自變量的字母無關.而判斷兩函數不同，只需要判定定義域、對應法則和值域中有一個要素不同就可以了.

五、“最近發展區”理論在本節使用的反思

1.基于學生現有發展水平的教學設計

首先通過實例創設問題情境，提問學生初中關于函數的定義以及利用初中函數定義判斷實例是否為函數，激起學生對已有知識的回憶與聯想，同時也感受到初中定義的局限性，激發學生學習新知的愿望.引導學生用“初中x在某一確定范圍內去理解非空集合A”，“初中某一變化過程去理解按照一定對應法則f”，這樣處理有利于形成知識的正遷移.通過學生的“觀察分析→比較→歸納→概括”培養學生抽象思維的能力，同時也培養了學生的創新意識.

2.基于學生潛在發展水平的引導

本節課的設置，讓學生一開始就從現有發展水平出發，引發認知上的矛盾與沖突，從而促進學生積極自主地探索與反省，并讓學生處于教師所激發形成的“思維場”中，在教師所創設的符合學生思維水平的一個個“最近發展區”內，讓學生在解決沖突的過程中逐步完善自己的知識結構，提升自己的思維水平和基本數學能力，在“最近發展區”內，真正有效地把學生的現有發展水平轉化為“潛在發展水平”，從而實現自身真正的發展.