加強變式教學，提升高三復習的有效性

廣東 李文東

高三數學復習任務重，課時緊，學生的作業多，很多學生每天都疲于完成老師布置的作業，而很少有時間去靜下心來總結一天復習的內容，這就導致高中學生常常出現這樣一個怪現象：老師上課講的知識和方法都能聽懂,可是類似的課后作業做起來總是很吃力,錯誤百出，沒有一點思路.甚至考試考到和課堂一模一樣的例題，還是會失分.這種怪現象困擾了很大一部分同學，這正是學生數學學習中經常遇到的一種現象——“懂而不會”現象.其主要原因是大部分學生的懂只是浮于表面的懂，似懂非懂，甚至是不懂裝懂，而沒有達到深層次的懂，做題也只是簡單的模仿老師，稍有變化就不適應.為了消除這種現象，除了學生在學習方式方面做出一些改進外，我們教師也要采取有效的教學措施，如變式教學.變式教學在很多時候能夠提高課堂教學的效率.

一、采用一題多變的變式教學強化知識的整體性和關聯性，達到舉一反三的作用

數學是一個有機的整體，它的各個部分之間存在著聯系，學生在學習每一分支時,若注意橫縱向聯系,把知識關系結成一張網,就可覆蓋全部內容,使之融會貫通,而變式教學正好適合這種知識的橫縱向聯系.在復習完函數的奇偶性的基本知識之后，我們可以上一節如下的總結課(片段).

意圖：這是一個比較簡單的涉及指數函數的奇偶性判斷問題，容易驗證f(-x)=f(x)，事實上f(x)=2x+2-x，則f(-x)=2-x+2x，表達式中前后部分正好調換了一下位置，因此學生很容易判斷出f(x)為偶函數.這也符合習題課變式教學的設計起點低的特點和要求.

【變式2】判斷函數f(x)=2x-2-x的奇偶性.

意圖：這是變式1的簡單變形，容易得到f(x)為奇函數，既為后面得出h(x)=f(x)-f(-x)為奇函數做鋪墊，同時也可以得到如下的變式3.

注意：這里還是需要學生回歸到用奇偶性的定義證明一遍，完整體會其中指數和分式的運算.這是一個很重要的含指數的奇函數，很多問題都跟它相關，比如接下來的變式5—7.

二、采用一題多解的變式教學，培養學生思維的發散性

“一題多解”是指對同一道題，從不同的角度出發，運用不同的思維形式，采用不同的方法去分析，從而獲得多種解題途徑.進行這種變式教學，既可以暴露學生解題的思維過程，又能夠拓寬學生的解題思路，使學生能熟練掌握知識的內在聯系，有利于培養學生思維的發散性.例如在復習三角函數求最值的專題時，給出如下教學設計.

這是一道看似簡單的三角函數求最值的問題，有些同學不假思索地回答出答案為-5，然而又有一些同學立刻就否定了這個答案，輔助角公式是大家最熟悉的做法，于是有下述解法.

除了這個做法外，我們還可以從以下角度去思考該問題.

一道看似簡單的數學問題，卻能演繹出不同的精彩解答，同學們在這個過程中不僅開闊了思維，而且能以欣賞的眼光去看待這些解法，對數學的學習興趣也上來了.

三、采用拓廣變式教學，培養探究和創新能力

拓廣變式就是從數學中一個簡單的基本問題出發，將題目中的條件或者結論進行適當的改變，從特殊到一般的結論的方法.這個方法特別適合于解析幾何部分的教學，圓錐曲線由于其內部的相似性，很多問題可以歸結到同一個問題.

【例3】過拋物線y2=2px(p>0)的頂點作直線OA，OB交拋物線于A，B兩點，若kOA·kOB=-1，則直線AB恒過定點(2p,0)．

這是一個典型問題，據此我們進行如下變式推廣：

【變式1】若kOA·kOB=m(m≠0)，則直線AB過定點.

【變式2】若kOA+kOB=n(n≠0),則直線AB過定點.

這兩個是從斜率的角度來考慮的，還可以從點的角度進行拓展.

【變式3】過拋物線y2=2px(p>0)上任意定點M(x0,y0)作直線MA，MB交拋物線于A，B兩點，當kMA·kMB=-1時，直線AB過定點(x0+2p,-y0).

由于圓錐曲線的相似性，我們還可以將上述問題拓展到橢圓和雙曲線.

至此，學生們對于圓錐曲線中跟斜率之和、之積、之商有關的問題有了一個全面的認識.

四、采用反例變式教學，培養學生的辯證思維

反例，就是故意變換肯定例證的本質屬性，使它質變為其他事物，即否定例證，在引導對比和思辨中，從反面突出事物的本質屬性，準確、深刻地理解概念.有時在概念的教學中，有意識的引入一些反例或者易錯題，能取得很好的效果.

比如函數的極值是導函數的變號零點，導數為零只是取得極值的必要不充分條件，為了強化這一點可以設計如下變式題組.

【例4】函數f(x)=(x2-1)3+2的極值點是

( )

A.x=1 B.x=-1

C.x=1或-1或0 D.x=0

答案：D.

【變式1】已知函數f(x)的導函數為f′(x)=a(x+1)·(x-a)，若f(x)在x=a處取得極大值，則a的取值范圍為________.

答案：(-1,0).

【變式2】已知函數f(x)=x3+ax2+bx+a2,在x=1時有極值10，那么a,b的值分別為________.

解：f′(x)=3x2+2ax+b,f′(1)=2a+b+3=0,f(1)=a2+a+b+1=10,

【變式3】若函數f(x)=x(x-c)2在x=2處有極大值，則常數c的值為________.

答案：6.

答案：(-∞,1).

又如在三角函數的周期教學中，我們有如下問題：

【例5】函數f(x)=|sinx|的最小正周期為________.

答案：π.

答案：π

這也提醒我們在變式教學時，應該注意變式的一般性和普遍性，否則反而可能會起到誤導作用，這點值得我們特別注意.