Babbage 方程解的進一步討論

2020-11-16 06:27:08余志恒

四川師范大學學報(自然科學版) 2020年6期

關鍵詞：系統

劉娜，李松，余志恒

（1.成都工貿職業技術學院通識教育學院，四川成都611731； 2.西南交通大學茅以升學院，四川成都611756；3.西南交通大學數學學院，四川成都611756）

早在百年以前，Babbage［1-2］、Abel［3］等就開始了迭代根的研究.隨著動力系統理論的深入發展，多年來這一課題一直被人們廣泛關注.設φ：E→E是集合X到自身的一個映射，稱φ是一個已知映射F：E→E的n次迭代根，如果φ和F滿足函數方程

例如，φ（x）：＝x2+2 是 F（x）：＝ x4+4x2+6 的二次迭代根.

廣義的說，迭代根事實上是一種特殊的迭代，即分數次迭代.由于它涉及到嵌入流問題，映射迭代根的研究更加引人入勝.1950 年，Isaacs［4］完成了一個奠基性的工作，即給出了抽象集上自映射的迭代根存在的充分必要條件.關于復函數，在Koenigs［5］局部結果的基礎上，1950年，Kneser［6］做出了整函數ez的二次迭代根的全局結果，之后Rice等［7］對復函數做了進一步的結果.關于實函數，1968年及1990年，Kuczma等出版了他的專著［8 -9］，系統的介紹了單變量函數方程，其中不僅研究了滿足某些特殊方程的函數類，還對區間上嚴格單調連續函數的迭代根給出了一些很好的結果.關于迭代根的更多進展，可以參考文獻［10-15］.

特別的，如果F：＝id，（1）式被稱作Babbage方程［1］，是由 Babbage 在 1815 年第一次提出來的，他告訴我們對于Babbage 方程的任意解φ，存在可逆函數h，使得與φ拓撲共軛的函數h-1οφοh亦為方程（1）的解.1916 年，Ritt［16］討論了 Babbage 方程的一類實連續解，并對其進行了分類.1980 年，McCarthy［17］得出了Babbage方程在迭代次數為奇數時無非平凡的連續解，而迭代次數為偶數時，其連續解必定是迭代次數為2 時方程的連續解的結論，此外，他還舉例討論了Babbage 方程的不連續解.更多針對一維Babbage 方程可微解、解析解的問題，可以參考文獻［18 -20］.

本文在 McCarthy［17］工作的基礎上，利用多項式代數理論并借助多項式代數系統Singular軟件［21］進一步討論了一維Babbage 方程的一類不連續解.此外，本文的主要部分研究了平面Babbage 方程的多項式解.將首先給出平面二次Babbage 方程的二次多項式解，并進一步證明該二次多項式解亦為n次Babbage 方程的解.最后，舉例驗證文中主要結果的正確性.

1 預備知識

本文主要討論的是一維Babbage 方程的一類不連續解以及平面Babbage 方程多項式解的存在性問題.最終將其轉化為考慮其所對應的代數簇是否非空的問題，即由一維Babbage 方程和平面Babbage方程所導出的多項式代數系統是否有解的問題，并且如果有解，有多少解，又如何求出并表示它的所有解.下面介紹代數簇和不可約分解的基本理論.

通俗地講，代數幾何學上的代數簇是多項式集合的公共零點解的集合.代數簇是經典（某種程度上也是現代）代數幾何的中心研究對象.

定義 1［22-24］設 K 是一個域并且 f1，f2，…，f s是環 K［x1，x2，…，xn］中的有限多個多項式.由多項式f1，f2，…，fs所定義的仿射代數簇（簡稱為代數簇）是如下集合

由以上定義可知，一個代數簇即為Kn的一個子集V，并且這個集合滿足：存在有限個多項式，使得 V ＝ V（f1，f2，…，fs）.換句話說，代數簇 V（f1，f2，…，fs）?Kn就是Kn

中的包含有限個多項式方程的系統

的解的集合.當然，這個集合依賴于域Kn，例如，如果取 K ＝R，那么 V（x2+y2+1）＝?，但是取 K ＝C則不然.另外，不論取K為什么數域，V（x2+y2+1，x，y）＝?.

令 F：＝｛f1，f2，…，fs｝，并將系統（2）簡記為F ＝0.易知 V（F）＝ V（〈F〉）.設理想〈F〉的 Gr?bner基［22-24］為 G，由文獻［23］定理 1 知道〈F〉＝〈G〉，進一步，有 V（〈F〉）＝V（〈G〉）.因此，F ＝0 的解集由多項式集合F所生成的理想唯一確定，它的研究可以轉化為相應理想的 Gr?bner 基的研究.根據Hilbert 弱零點定理（參見文獻［23］的定理1.3.10），F ＝0 無解當且僅當 1∈〈F〉.可以通過計算 F ＝0 的約化 Gr?bner 基來判斷 1∈〈F〉是否成立，并進一步判斷F ＝0 是否有解.事實上，通過計算約化Gr?bner基，總可以判定一個多項式代數系統是否有有限個解，并在解的個數有限的情況下將其全部表示出來.這就需要進一步考慮代數簇的不可約分解.

在介紹代數簇分解的相關理論之前，首先討論這樣一個例子.考慮理想 I ＝〈x3y3，x2y2〉，顯然，它的代數簇V：＝V（I）是另外2 個代數簇的并集，即V ＝ V1∪V2，其中，V1是平面 x ＝ 0，V2是直線｛（x，y，z）：y ＝0，z ＝0｝.從幾何的角度，可以清楚的看到V1和V2不能再分解為更小的代數簇的并，這里把V ＝V1∪V2稱作不可約代數簇.

定義2［22-24］非空代數簇V?Kn被稱作是不可約的，如果對于另外兩個代數簇 V1和 V2，V ＝V1∪V2，僅當 V1＝ V 或 V2＝ V 時成立.

如前文所述任意理想〈xpyq，xrys〉，p，q，r，s∈N的代數簇是一個平面和一條直線的并集.一個自然的問題是：是否每一個代數簇都可以分解為一些不可約代數簇的并集？下面的引理給出了肯定的答案.

引理 1［23］令 V?Kn是一個代數簇.則 V 是有限多個不可約代數簇的并集.

由引理1，對任意代數簇V?Kn，存在有限個不可約代數簇 V1，V2，…，Vm?Kn，使得 V ＝ V1∪V2∪…∪Vm.特別地，若對任意 i≠j 都有 Vi?Vj，則稱V1∪V2∪…∪Vm為V的極小不可約分解.

引理 2［22，25］每個代數簇 V?Kn都有一個極小不可約分解

若不計Vj的次序，這個分解是唯一的.

對于域 K 的特征為 0 時，1988 年，Gianni等［26］給出了第一個關于代數簇極小不可約分解的有效的可執行算法.1996 年，Shimoyama 等［27］提出了一種由Gr?bner基理論實現的算法.這些算法均可在計算機代數系統Maple和Singular中實現.

2 一維情形

文獻［17］對一維Babbage 方程的連續解給出了完整的討論，并在文章的最后舉例說明一維Babbage方程存在不連續解.本節將討論Babbage 方程的一類不連續解，即有理函數解.從分式線性函數開始，經過簡單的計算有如下結果：

定理 1設其中 a，b，c，d∈C，a2+b2≠0，c2+d2≠0，a2+c2≠0，b2+d2≠0，b2+c2≠0，（ax+b，cx+d）＝1，則

（i）f2＝ id 當且僅當 a ＝d ＝0，bc≠0；

（ii）f3＝ id 當且僅當 a2+bc +ad +d2＝ 0，bc（bc-ad）≠0；

（iii）f4＝ id 當且僅當 a2+ 2bc + d2＝ 0，bc（bc-ad）≠0 或 a ＝ -d，bc-ad≠0.

證明經過簡單的計算易得結論（i）.關于結論（ii），計算 f3可得

令 f3（x）＝x，得出代數系統 F：＝｛f1，f2，f3｝，其中

運用Singular的庫primdec.lib中的命令minAssGTZ計算F 的代數簇的極小不可約分解，并由此獲得Babbage方程f3＝id存在分式線性函數解的條件：

1）b ＝ c ＝ a-d ＝ 0；

2）a2+bc+ad+d2＝0.

由條件 1）可得 f（x）＝ x 與 b2+c2≠0 矛盾，故f3＝id 當且僅當 a2+bc +ad +d2＝0，bc（bc -ad）≠0.同理易證結論（iii）.定理證畢.

注1定理1 的證明方法可推廣到Babbage方程迭代次數n≥5 的情形.此外，還可運用上述方法找出Babbage方程的一般有理函數解，即形如

的解，其中

即所有正整數的集合，并且 ai，bi∈C，i ＝ 0，1，…，m，使得以及（Am（x），Bm（x））＝1.以 m ＝2 為例，運用定理 1 的證明方法，可得如下結論.

定理2Babbage方程f2＝id存在形如

的解，并且滿足（4）式中系數條件要求，當且僅當下述條件之一成立：

事實上，定理1 的證明方法可以找出Babbage 方程中迭代次數≥3 的情形其有理函數解.

3 二維情形

對于平面線性多項式映射

以及平面二次多項式映射

的解.針對方程（5），尋找其形如φβ的解實際上就是找出ai和bi最簡代數關系，使得φβ的n次迭代恰好等于F.實際上，為了找尋ai和bi最簡代數關系，利用多項式代數理論［21，24］，有如下算法：

輸入：平面多項式映射φβ和F.

輸出：關于多項式φβ系數ai和bi的最簡代數條件，使得（5）式成立.

過程如下：

步驟 2 設定項序為分次字典序，變元序為ai＞ bi，計算 PS 的 Gr?bner 基 G，若 G ＝｛1｝，則輸出：函數方程（5）無平面二次多項式解；否則，轉步驟3.

步驟 3 設定項序為分次字典序，變元序為ai＞bi，計算 PS 的 Gr?bner基 G，若 G ＝｛0｝，由 Hilbert弱零點定理［21，28］，運用 Singular 的庫 primdec.lib中的命令minAssGTZ 計算PS′的代數簇的極小不可約分解，并由此獲得函數方程（5）有多項式解關于多項式φβ系數ai和bi的最簡代數條件.

步驟4 將步驟3 中獲得的條件重新帶入函數方程（5），并判定由這些條件所確定的φβ是否為Babbage方程的解，以確定是否由增根，最終找出平面Babbage方程的平面二次多項式解.

作為上述算法的應用，我們討論當n ＝2 時，Babbage方程（5）的平面二次多項式解有：

定理 3當n ＝2 時，方程（5）存在平面二次多項式解，當且僅當下列條件之一成立：