交替博弈中兩類循環(huán)優(yōu)勢系統(tǒng)的動力學(xué)行為

劉 靜， 劉春燕， 陸征一， 楊 鳴

（1.武警警官學(xué)院部隊管理系，四川成都610213； 2.四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，四川成都610066；3.中國科學(xué)院成都計算機應(yīng)用研究所，四川成都610041）

復(fù)制系統(tǒng)與 Lotka -Volterra 系統(tǒng)［1］是進化博弈中的 2 個重要模型.1998 年，Sigmund［2］在國際數(shù)學(xué)家大會（ICM）報告中將Lotka-Volterra系統(tǒng)與復(fù)制系統(tǒng)作為2 個主題分別進行了總結(jié)，綜述了永久生存性、穩(wěn)定性、異宿環(huán)、極限環(huán)存在性等一系列結(jié)果且說明了兩者之間存在等價性.利用兩系統(tǒng)的等價性和中心流形定理［3］，楊靜等［4］用異于前人的方法得到了三維Lotka -Volterra 系統(tǒng)極限環(huán)的存在性，汪芳［5］得到三維復(fù)制系統(tǒng)在正平衡點處存在中心或全局穩(wěn)定的充分必要條件.

進化博弈［6-7］中具有循環(huán)優(yōu)勢的博弈是近年來學(xué)術(shù)研究的熱點，其有效地解釋了策略的選擇和進化.人們發(fā)現(xiàn)循環(huán)優(yōu)勢博弈不僅能夠深入的解釋自然選擇理論，還能解釋物種空間分布復(fù)雜性［8］和物種進化［9］.實例表明，物種多樣性也可以用循環(huán)優(yōu)勢博弈來解釋.學(xué)者們還不斷拓寬著經(jīng)典的石頭-剪刀-布三循環(huán)優(yōu)勢博弈的研究，不僅研究了其吸引性理論［10-11］，還將其應(yīng)用到微觀競爭群體［12］和大范圍生物群落［13-14］.四物種循環(huán)演化博弈［15］也具有與石頭-剪刀-布博弈相似的結(jié)論，即過快的流動性會破壞系統(tǒng)的生物多樣性.而在四循環(huán)優(yōu)勢博弈中，還會出現(xiàn)三循環(huán)優(yōu)勢博弈中不存在的中性策略對，即存在2 種策略互不入侵的情形.

進化博弈中可考慮同步博弈和交替博弈.同步博弈是指兩位參與者同時做決定，而交替博弈是兩位參與者先后做決定進行博弈.現(xiàn)在的大多數(shù)研究基于同步博弈中較為簡單的策略相互博弈展開的，但對交替博弈中更復(fù)雜的策略相互博弈所產(chǎn)生的循環(huán)優(yōu)勢系統(tǒng)的研究還不豐富.本文將在交替博弈中對新規(guī)定下的16 種策略相互博弈產(chǎn)生的三、四循環(huán)優(yōu)勢系統(tǒng)的性質(zhì)展開研究.先給出了基于行為誤差的交替博弈在不同成本收益比k 值情形下，具有三、四循環(huán)優(yōu)勢的系統(tǒng)的數(shù)量，得到了三循環(huán)優(yōu)勢系統(tǒng)的完全分類和四循環(huán)優(yōu)勢系統(tǒng)的永久生存性；再利用Lotka-Volterra 系統(tǒng)與復(fù)制系統(tǒng)的等價性，中心流形定理和實根分離等理論，考慮基于行為誤差的交替囚徒困境中，具有四循環(huán)優(yōu)勢的系統(tǒng)［S4，S8，S10，S15］的極限環(huán)的存在性.

1 三循環(huán)優(yōu)勢系統(tǒng)

在雙人博弈中參與者Ⅰ和參與者Ⅱ每次博弈都有2 種選擇：合作C 或背叛D，博弈中可出現(xiàn)4種狀態(tài)：（C，C）、（C，D）、（D，C）、（D，D），其對應(yīng)的收益分別為 R、S、T、P.用 qR、qS、qT、qP來表示上一輪獲得收益 R、S、T、P 本輪選擇合作的概率.如果只考慮反應(yīng)規(guī)則（qR，qS，qT，qP）的空間，這個單位方形由它的 16 個頂點張成，即由向量（uR，uS，uT，uP）張成，其中 ui取 0 或 1 決定于獲得收益 i∈｛R，T，P，S｝后策略選擇是背叛還是合作.將這些策略記為 Sj，j ＝0，1，…，15.而（uR，uS，uT，uP）由二進制給出，例如回報者 TFT ＝ （1，0，1，0）表示為 S10.通過文獻［16］計算方法可以得到交替囚徒博弈中16種策略相互博弈所對應(yīng)的收益，見表1 所示.

表1 具有行為誤差的交替的囚徒困境博弈Tab. 1 Alternating prisoner’s dilemma game with behavioral errors

當(dāng)支付成本為 c，收益為 b，且 b ＞c時，即

該博弈稱捐贈博弈，其收益見文獻［16］.由達爾文選擇定律可知群體中策略的單位增長率可由（AX）i-X·AX 給出，其中

為當(dāng)群體處于狀態(tài) X ＝ （x1，x2，…，xn）時，策略 i的收益，X·AX為群體的平均收益.由此，可得單形

上的復(fù)制方程

考慮復(fù)制系統(tǒng)（1）當(dāng) n ＝2 時的情形，其正平衡點

滿足 xi＞0（i ＝1，2）的解.又由于收益矩陣添加任意函數(shù) f（x），復(fù)制系統(tǒng)（1）不會改變.因此，當(dāng)只有2 種策略相互博弈時，可假設(shè)其收益矩陣A 為如下形式

引理 1［16］在收益矩陣為 A 的系統(tǒng)中，如果a、b 不同時為 0 且 ab≤0 時，則當(dāng) a ＞ b 時，策略 x1占優(yōu)；當(dāng) a ＜b時，策略 x2占優(yōu).

由引理1 可以得到任意兩策略相互博弈的占優(yōu)情形，為實現(xiàn)對成本收益比的完全分類，根據(jù)收益矩陣的特殊性可將 k 分為4 個區(qū)間：

［0，1］，［0，3］，［0，4］，［0，5］，［0，6］，［0，7］，［0，9］，［0，12］，［0，13］，［0，15］，［1，5］，［1，6］，［1，7］，［1，12］，［1，13］，［1，14］，［1，15］，［3，1］，［3，2］，［3，13］，［3，14］，［3，15］，［4，2］，［4，3］，［4，5］，［4，6］，［4，7］，［4，12］，［4，13］，［4，15］，［5，2］，［5，6］，［5，7］，［5，13］，［5，14］，［5，15］，［6，2］，［6，15］，［7，2］，［7，3］，［7，6］，［7，10］，［7，14］，［7，15］，［8，1］，［8，3］，［8，4］，［8，5］，［8，7］，［9，1］，［9，5］，［9，7］，［9，13］，［9，15］，［10，0］，［10，1］，［10，2］，［10，8］，［11，1］，［11，2］，［11，3］，［11，5］，［11，8］，［11，9］，［11，10］，［11，13］，［12，7］，［12，13］，［12，15］，［13，14］，［13，15］，［14，2］，［14，8］，［14，10］，［15，10］.

由此可以得到在具有行為誤差的交替捐贈博弈中的16 種策略相互博弈所形成的三循環(huán)優(yōu)勢系統(tǒng)與四循環(huán)優(yōu)勢系統(tǒng).

2 三循環(huán)優(yōu)勢系統(tǒng)完全分類

其中，三循環(huán)優(yōu)勢系統(tǒng)1、2、3、6 和 7 存在孤立正平衡點.

引理2［5］當(dāng)復(fù)制系統(tǒng)（1）存在正平衡點時，其存在中心的充分必要條件是

且下列條件之一成立：

考慮具有行為誤差的交替捐贈博弈系統(tǒng)，合作者（ALLC）S15總是提供幫助；背叛者（ALLD）S0，總是不提供幫助；回報者（TFT）S10當(dāng)且僅當(dāng)對手上一回合不提供幫助時，本回合不提供幫助.三循環(huán)優(yōu)勢系統(tǒng)2 中3 個策略相互博弈具有收益矩陣：

因此，由引理2 知三循環(huán)優(yōu)勢系統(tǒng)2 正平衡點處存在中心.

同理，可驗證三循環(huán)優(yōu)勢系統(tǒng) 8、9、10、11 存在中心.

引理 3［5］當(dāng)復(fù)制系統(tǒng)（1）存在正平衡點，即滿足引理2 中的條件1）～3）且

時，該系統(tǒng)全局穩(wěn)定的充分必要條件為下列條件之一成立：

三循環(huán)優(yōu)勢系統(tǒng)7 中具有野心（這個策略只有在相互背叛后才合作，一旦遇到傻瓜便都無情的背叛）的只滿足于 T 的策略 S1＝（0，0，0，1），與 S10、S15博弈構(gòu)成三循環(huán)優(yōu)勢系統(tǒng)，現(xiàn)討論其動力學(xué)行為.

系統(tǒng)［S1，S10，S15］具有收益矩陣

故三循環(huán)優(yōu)勢系統(tǒng)7 滿足引理3 中條件6），具有全局穩(wěn)定性.

保留系統(tǒng)［S1，S10，S15］中的策略 S1與回報者S10，將合作者S15替換成與策略S1恰好完全相反的策略S14（該策略稱為“滯后的傻瓜”只有在相互背叛后才選擇背叛），三策略組成系統(tǒng)6，此系統(tǒng)仍是三循環(huán)優(yōu)勢系統(tǒng)且具有全局穩(wěn)定性.

具有正平衡點的三優(yōu)勢循環(huán)系統(tǒng)，如果其正平衡點不存在中心且非全局穩(wěn)定，那么其平衡點為不穩(wěn)定焦點，即三循環(huán)優(yōu)勢系統(tǒng)1、3 的正平衡點為不穩(wěn)定焦點.

三循環(huán)優(yōu)勢系統(tǒng)1 具有收益矩陣

做負變換有收益矩陣

滿足引理3 中條件1）.因此三循環(huán)優(yōu)勢系統(tǒng)1 做負變換后是全局穩(wěn)定的，原系統(tǒng)1 除正平衡點外異宿環(huán)全局吸引的.由此可知：當(dāng)時，三循環(huán)優(yōu)勢系統(tǒng)2、8、9、10、11 存在中心，三循環(huán)優(yōu)勢系統(tǒng)6、7 具有全局穩(wěn)定性，三循環(huán)優(yōu)勢系統(tǒng)1、3除正平衡點外異宿環(huán)全局吸引.同理，結(jié)合引理1 ～3，得到定理.

定理1在具有行為誤差的交替捐贈博弈中，當(dāng)成本收益比k∈（0，1）不同取值時，可以對具有正平衡點的三循環(huán)優(yōu)勢系統(tǒng)關(guān)于動力學(xué)行為進行完全分類，見表2 所示.對應(yīng)相圖如圖1 所示，其中空心表示不穩(wěn)定駐點，實心表示穩(wěn)定駐點.

圖1 三循環(huán)優(yōu)勢系統(tǒng)動力學(xué)行為相圖Fig. 1 Phase diagram of dynamic behavior of three-cycle superior system

表2 具有行為誤差的交替捐贈博弈中不同成本收益比三循環(huán)優(yōu)勢系統(tǒng)的完全分類Tab. 2 A complete classification of three-cycle advantage systems with different cost-benefit ratios in an alternating donation game with behavioral errors

3 四循環(huán)系統(tǒng)永久生存性

經(jīng)運算得到了不同成本-收益比下交替捐贈博弈中四循環(huán)優(yōu)勢系統(tǒng)的數(shù)量，下面將進一步討論存在正平衡點的四循環(huán)優(yōu)勢系統(tǒng)的永久生存性.具有正平衡點的四循環(huán)優(yōu)勢系統(tǒng)如表3 所示.

表3 存在正平衡點的四循環(huán)優(yōu)勢系統(tǒng)Tab. 3 Four-cycle advantage systems with positive equilibriums

定義1［17］對于Sn上的復(fù)制方程

（4）式的永久生存性即存在 δ ＞0 使得對所有 i，只要 xi（0）＞0，就有

對于（5）式永久生存性還需存在D，使得

引理 4［17］復(fù)制系統(tǒng)（1）為永久生存的，如果存在向量P∈int Sn使得

對所有駐點x∈bd Sn成立.

定理2具有收益矩陣

將邊界駐點分別帶入（8）式有：

又由 p1，p2，p3，p4＞0，且 p1+p2+p3+p4＝1，不等式可簡化為等價形式：

其中，不等式4）～6）恒成立.因此驗證系統(tǒng)的永久生存性只需適當(dāng)?shù)娜∠蛄縋使其滿足不等式1）～3）即可.令則滿足P的所有限制條件，故存在向量P 使得（8）式成立，得證.

系統(tǒng)［S0，S7，S14，S10］具有收益矩陣：

將其邊界駐點帶入（8）式有：

又P∈int Sn，即P是非負的，與1）矛盾.由此，該系統(tǒng)不滿足永久生存性的充分條件.同理，可驗證存在正平衡點的四循環(huán)優(yōu)勢系統(tǒng)的永久生存性，從而定理2 得證.

4 極限環(huán)的存在性

在第二節(jié)中是以交替捐贈博弈為背景展開討論的，接下來在更一般的交替囚徒困境中討論極限環(huán)的存在性和穩(wěn)定性.

在雙人博弈中若收益關(guān)系滿足：S ＜0，S ＜ P ＜R ＜T 和 T+S ＜2R，則稱為囚徒困境.

考慮具有收益矩陣

的復(fù)制系統(tǒng)，由 n 維復(fù)制系統(tǒng)與 n -1 維Lotka -Volterra系統(tǒng)的等價性，具有收益矩陣（11）的復(fù)制系統(tǒng)相對應(yīng)的Lotka-Volterra系統(tǒng)為：

假設(shè)正平衡點存在，則

下面給出本文的主要結(jié)果.

定理3具有收益矩陣（11）的四循環(huán)系統(tǒng)（1）如果有正平衡點，則當(dāng)參數(shù)適當(dāng)選取時，至少存在一個不穩(wěn)定的極限環(huán).

又根據(jù)高（n）維系統(tǒng)構(gòu)造極限環(huán)的一般降維原理，系統(tǒng)線性部分在正平衡點處的特征值具有非正實部，且需 n -2 個負實部.對此問題可由（14）式保證：

又（13）和（14）式等價于

在（15）式條件下，令

則系統(tǒng)的收益矩陣變換為

（16）式具有一個負特征值和一對共軛純虛根特征值［18］當(dāng)且僅當(dāng)

即

對系數(shù)矩陣（16）做變換 y ＝ Tx，

fij、gij是關(guān)于R 的高次多項式，則變換后系統(tǒng)線性部分具有以下形式

其中aij是關(guān)于R 的高次多項式.變換后的線性系統(tǒng)有一對共軛純虛特征值和一個負實特征值，現(xiàn)計算局部中心流形 y3＝ h（y1，y2）.

將 y3＝ h（y1，y2）展開為

并代入不變流形［3］所滿足的方程求得一階焦點量

其中，f1、f2、g1、g2、g3、g4分別是 6、90、31、8、20、9項的多項式.

為得到小擾動極限環(huán)，需在滿足（17）式的條件下判斷一階焦點量的正負性.又（17）式精確到10-100的 3 個區(qū)間形式解分別為［a1，b1］、［a2，b2］、［a3，b3］，其中分?jǐn)?shù)a2、a3的分子分母分別是長度為103、101 位的整數(shù)，分?jǐn)?shù)b2、b3的分子分母是長度為103 和102 位的整數(shù).又（17）式與L1的分子分母的結(jié)式都不為零，因而與L1的分子分母都無公根.即在條件（17）下L1分子分母的所有因子都不為零，故判斷L1的正負性只需通過判斷非平方因子f1、f2、g1的正負性即可.

利用實根分離算法［18］的極大極小多項式方法有

即當(dāng) R 在區(qū)間［a1，b1］上時，L1＜0.同理可得：

f1｜［a2，b2］＞ 0， f2｜［a2，b2］＜ 0， g1｜［a2，b2］＞ 0，f1｜［a3，b3］＞ 0， f2｜［a3，b3］＜ 0， g1｜［a3，b3］＞ 0.因此，當(dāng) R∈［a2，b2］或 R∈［a3，b3］時，L1＞ 0.由Hopf分支［19］可判定 Lotka-Volterra 系統(tǒng)（12）存在不穩(wěn)定極限環(huán)，再由具有收益矩陣（11）的復(fù)制系統(tǒng)與Lotka-Volterra系統(tǒng)（12）的同胚性定理3 成立.