小學高年級數學邏輯思維養成教學案例
——以“比較圖形的面積”為例

王飛飛

（江蘇省南京市丁家莊小學，江蘇南京 210028）

引 言

在小學高年級數學學習中，圖形幾何知識是學習的重點內容，學生已經了解了一些關于圖形的基本知識，能夠計算正方形、長方形等圖形的面積。“比較圖形的面積”的教學關鍵是通過課堂教學實踐，讓學生在“做”的過程中體會比較圖形大小的基本方法——數格法，并掌握重合法、拼接法和分割法等多種比較圖形面積的方法，建立數學分析能力，從而在探究過程中全面培養學生的數學邏輯思維[1]。

一、案例呈現

（一）教學目標

（1）知識技能目標：能借助方格紙，直接判斷圖形面積的大小；通過交流，了解比較圖形面積大小的基本方法；體驗圖形形狀的變化與面積大小變化之間的關系。

（2）能力培養目標：通過觀察、比較和交流分析的方式，了解、比較圖形面積大小的多樣性方法；在圖形面積重疊、拼剪和組合的過程中積累經驗，探索圖形面積大小變化的關系，初步形成幾何推理能力和空間概念，形成數學邏輯思維。

（二）案例過程

新課導入的關鍵是引導和幫助學生構建以往知識和新課之間的聯系，讓學生在回憶舊知識的同時激發自身對新知識的學習興趣。

師：大家還記得什么是面積嗎？

生：面積是物體的表面，封閉圖形表面的大小就是其面積。

師：我們已經學習過長方形、正方形、三角形及梯形等圖形，如果想在方格紙上比較這些圖形的大小，該怎么做呢？

生：可以把這些圖形從紙上裁剪下來比較。

生：可以數他們在方格紙上誰占的格子多。

師：大家說的都對，這些方法都是我們經常用的比較圖形的方法，今天我們要學習的就是“圖形面積的比較”。

1.觀察與猜想

小組合作探究是培養學生數學邏輯思維的過程，通過合作探究，學生觀察和思考會更加深入，能夠更好地培養學生大膽提問和猜想的能力。在本課教學中，筆者用PPT 展示結合小組討論的方式來培養學生的觀察和分析能力。

師：請大家看PPT 上的圖形（見圖1），你能直接通過數方格的方法判斷這些圖形的大小嗎？誰能給這組圖的大小排序？

圖1

師：直觀觀察，大家覺得哪些圖形的面積更大？通過數方格的方式排序之后，和你觀察的結果一樣嗎？上面的圖形有沒有面積相等的？

（通過小組討論和猜想，學生會得出不同的答案，教學中先不判斷學生答案的對錯，而是讓學生自己探索得出結果）

生1：圖中②和⑤三角形面積可能相同。

生2：圖中①和③的面積好像也相同。

生3：圖中⑧和⑨的面積也相同。

在學生給出一些不同答案后，筆者開始引導學生循序漸進地解決問題。

2.分析與解決問題

基于前面的猜想，筆者讓學生四人一組，找出PPT 中面積相等的圖形，并說說自己是怎么找到的。

生1：①和③相等，我是數方格數出來的。

師：請你上來為我們填圖操作一下自己是怎么數的。

學生數出來①和③都占4.5 個格子。

學生在自主探究和積極動手參與的過程中，能夠提升自己對活動的參與度和探究精神。在操作和演示獲得肯定后，也能燃起思考和探究數學知識和方法之間聯系的信心。

生2：我們組用的是重疊法，可以把①平移到③的位置，發現兩個圖形能夠完全重疊，說明它們的面積相同。

筆者板書“重疊法”，讓學生上前進行演示，借助板書和學生實踐，讓學生逐漸發現并總結新的知識。

生3：我們組用數格子的方法，發現②和⑤都占了6 個格子，所以面積相等。

生4：我們組用平移的方法，將②平移到⑥的位置，這兩個圖形可以完全重合，說明它們面積相等。

師：既然②和⑤面積相等，②和⑥面積也相等，那⑤和⑥有什么關系呢？

生（齊聲）：⑤和⑥的面積也是相等的。

通過對圖形面積進行比較推理，學生能夠直觀地認識和理解等號是具有傳遞性的，由此可以樹立起學生邏輯思維中的推理和分析證明的意識。

師：如果兩個圖形的面積都和第三個圖形相等，那么這三個圖形的面積是相等的。

3.實踐操作，總結規律

在數學課堂上培養學生的數學邏輯思維離不開實踐操作。學生只有動手參與問題探究和解答，才能在思考探究中發現自己的錯誤并及時糾正。

師：通過數格子和重疊的方法，我們能比較出部分圖形的面積，但⑧和⑨這樣的圖形并不規則，所以占的格子數不容易數出來，形狀也和其他圖形不同，該怎么辦呢？

生1：我們可以把圖形切割、拼接、組合起來，組合成規則的圖形來比較大小。

生2：⑤和⑥組合起來與⑧的面積是相等的。

生3：圖形⑧⑨和⑩的面積是相等的。

師：那這樣組合起來比較面積，得出的結果正確嗎？我們一起來動手操作一下。

在問題探究中，教師不要對學生答案的正確與錯誤進行直接判斷，而要引導學生動手、動腦驗證推斷是否正確，這樣才能更好地驗證學生的猜想，讓學生在猜想、實踐、驗證的過程中形成更強的邏輯思維，從而打破學生思維的局限性。

學生在多媒體課件上動手操作，其他同學可以在網格紙上按照展示的圖片畫出圖形，自己畫、剪、拼，進行操作比較。

生1：數格子證明圖形⑤和⑥合起來與⑧的面積相等。

生2：數格子證明圖形⑧和⑨的面積相等，都占12 個格。

生3：可以從⑨的中間部分對稱裁剪，裁剪后得到兩個平行四邊形，我們把其中一個翻轉再平移，就可以拼成一個新的圖形，這個圖形和⑧的面積相等。

學生共同感受和思考剪切、拼接、移動和補充的過程，教師在此過程中主要發揮引導和補充說明的作用。通過數格子、對比剪拼和分割移補法，學生比較思考探究圖形⑧和⑨的面積，這樣便能降低學生的認知難度。

師：剛才的演示和操作證明了我們的猜想，我們可以叫這種方法為“剪拼法”。同學們有沒有更好的辦法？

生：還可對圖形⑨進行剪切和平移，變成⑩的樣子（見圖2），這樣⑩和⑧更容易比較面積，也可以得出我們的猜想。

圖2

師：在比較圖形的面積時，要優先選擇簡便的、能夠將不規則圖形變為規則圖形的方法，再進一步用數格子、重疊法等簡單的方法進行比較。

教師在探究過程中要為學生提供更多猜想和驗證的機會，讓學生拓展思路應用多種方法進行圖形面積的比較。教師主要引導學生理解為什么不優先選擇剪拼法，而選擇后來的“分割移補法”，進而讓學生認識到很多思路和方法都能解答題目，但要根據題目特點選擇更簡便的方法。

4.探究作業

作業的布置要給學生提供更多思考和探究的空間，引導學生對課堂內容進行進一步的自主探究和實踐總結。

二、案例反思

“比較圖形的面積”是小學高年數學中學習圖形問題的基礎，主要培養學生的數學邏輯思維，應注意以下三點。

第一，要留給學生充分猜想、探究的空間。培養學生數學邏輯思維的過程是一個發現問題、猜想假設、驗證推理、歸納結果的過程，其關鍵是讓學生在探索中自主獲得答案。所以在課堂教學中，教師要積極發揮引導作用，讓學生有大膽猜想和驗證猜想的機會，從而促進學生邏輯思維的形成。第二，在培養學生數學邏輯思維的過程中，教師要引導和幫助學生樹立“比較”的意識，比較不同思路之間的差異性，比較不同思路解題的便捷性，讓學生在多種解題思路的激發和引導下形成更全面的數學思維，能從多角度思考問題，從而更好地培養學生的數學邏輯思維。第三，數學邏輯思維的訓練需要從抽象轉為具體、對比思考等過程中激發。本課中，如果教師直接對面積這樣較為抽象的數學觀念進行直接講解，學生會難以理解。而將面積比較這種抽象概念轉變為“數格子”“重疊法”“分割移補”這樣的具體操作，學生能更好地理解知識，進而形成邏輯思維能力。

結 語

綜上所述，“比較圖形的面積”在小學高年級數學中非常重要，本節課中教師通過實踐探究活動，讓學生在自己動手的過程中體會多種比較圖形面積的方法，從而使學生自主歸納、總結知識，形成數學分析能力，為后續圖形幾何知識的學習奠定良好的基礎，并高效地培養學生的數學邏輯思維能力。