關節臂式測量機動態誤差分析與補償

李少芝，楊凱

（馬鞍山市特種設備監督檢驗中心，安徽馬鞍山243000）

0 引言

三坐標測量機因精度高、環境適用性好，廣泛應用于汽車裝配、機械加工制造、精密儀器檢測等領域。但隨著智能制造的發展和工業生產加工過程中對精度、實時性及機動性需求的不斷提高，三坐標測量機的發展受到了制約。關節臂式坐標測量機（Articulated Arm Coordinate Measuring Machine，AACMM）因其機械結構簡單、體積小、重量輕、運行效率高、可測范圍廣、能夠進行現場測量等優勢，成為了新的研究重點。關節臂測量機通常具有6自由度，采用非笛卡爾坐標系［1］實現空間內的廣域測量，通過類似關節機器人的串聯式空間開鏈式連桿機構［2］模擬人體手臂進行工作。受結構影響，該種測量機在工作過程中會產生誤差的逐級累積、傳遞、放大的問題，影響最終測量準確度。其靜態參數誤差主要為所選用模型內的結構參數誤差，屬于模型本身的固有誤差，通常為定值，可通過自標定法或外部標定法進行校準［3-4］。而對于關節臂測量機動態誤差補償的理論研究由于其本身參數的多樣性與過程的復雜性，成為了國內外學者研究的重點。

胡毅［5］等人針對溫度因素，建立了基于神經網絡的熱變形誤差修正模型，實現了對溫度影響的量化補償。于浩［6］等人針對關節臂測量機在齒輪方面的應用，分析了關節臂從測頭到基座的坐標傳遞模型，并討論了測量平臺與被測工件之間的位姿關系。朱嘉奇［7］等人針對柔性臂坐標測量機誤差溯源及不同誤差之間呈現非線性化的問題，提出將模擬退火融入BP神經網絡的方法，實現了對動態誤差的補償。

文章在眾多學者的研究基礎上，進一步分析關節臂坐標測量機各誤差的來源，對測量過程中動態誤差部分相關參數進行研究，并提出一種模糊神經網絡（Fuzzy Neural Network，FNN）與模擬退火算法相結合的誤差補償方法，通過與補償前的實驗數據進行對比，論證該方法的可行性。

1 關節臂測量機誤差來源及分析

1.1 測量機工作原理

關節臂式測量機由3個關節臂和1個測頭通過6個旋轉關節組合而成［8］，其結構如圖1所示。

圖1 關節臂式測量機結構圖

本研究采用接觸式測頭，由牽拉測量機測頭聯動整個測臂的移動，通過測量關節的轉角獲得被測點的三維坐標，以角度測量基準取代長度基準，從而建立完整的測量空間系統。

1.2 測量誤差來源及分析

由于關節臂測量機結構上可動點較多，整個關節臂的運動包含旋轉、定軸轉動等，有些型號還包括受力較復雜的管壁活塞運動，因此測量機的誤差來源也復雜且廣泛。目前研究認為對測量結果影響較大的誤差主要分為［8］：

1）測量系統固有誤差

測量系統固有誤差包括由于設備的結構件參數在生產制造過程中與真實值存在一定偏差而引起的結構參數誤差，以及工作過程中測臂自身重量導致測頭發生少許位移而產生的力變形誤差。

2）測量過程環境誤差

測量過程環境誤差主要包括由于外界溫度變化引起測量機測頭、測臂、圓光柵等關鍵部件受熱產生的熱變形誤差，在精度要求更高的場合，還包括由于濕度變化導致的測量誤差。

3）測量過程動態誤差

測量過程動態誤差包括測量力誤差（即由于測量過程中測頭與被測物體接觸所產生的測頭或測臂形變導致的誤差）、測頭系統誤差及角度編碼誤差，其中角度編碼誤差中最重要的誤差來源是關節角度傳感器的安裝偏心誤差［8］。

4）測量隨機誤差

隨機誤差在測量過程中總會出現，可以通過多次重復測量減小其影響。如運動誤差、數據采集誤差等。

1.3 測量機數據傳遞建模

針對系統固有的靜態誤差，可以通過D-H模型［9］配合標定法對其進行控制。在單點固定站位的測量中，定義σs為末端傳感器坐標系，σp為測頭基準坐標系，σT為測臂工具坐標系，σBM為底座基準坐標系，四個坐標系的坐標變換構成了整個關節臂的位姿調整環節，如圖2所示。

圖2 固定站點數據傳遞模型

關節臂測量機各部分之間的位姿關系均可由其坐標系與基準坐標系σBM之間的平移與旋轉來表示，即相差一個轉移矩陣

該矩陣表示坐標由N到M的轉換。其中，R為旋轉量，B為平移量。

對于傳感器坐標系σs測得的數據點P0=（x0y0z0）進行上述位姿調整之后，在底座基準坐標系σBM下的點就轉換為

式中：PBM和PS分別為坐標系σBM和σs下的點坐標；為兩坐標系間的轉移矩陣。

此時，測頭傳感器到測量機基座之間的數據傳遞過程建立為一種理想的數學模型，靜態測量誤差得到了有效補償。但是考慮到測量過程的復雜性，動態誤差使用這種方式補償顯然是不合適的。針對關節臂式測量機動態誤差，選取熱變形誤差、測量力誤差與角度編碼誤差三個最主要的影響因素進行分析。

1.4 動態誤差補償預實驗

環境溫度是影響測量準確度的一個重要因素，由于關節臂式測量機的活動點較多且相互間沒有更多的支撐，因此相較于傳統的測量機，其測量結果更容易受到溫度變化的影響。在研究測量力誤差與角度編碼誤差這兩個核心因素之前，通過實驗分析確定最理想的測量環境，使熱變形誤差的影響降到最低。

在進行溫度變化預實驗時，選取固定長度作為對象，以0℃為起點，1℃為測溫步長，記錄0～40℃范圍內的測量誤差變化曲線。每個溫度值點都選取100個測量值，取平均記為L′，真實值記為L，則該點誤差為誤差曲線如圖3所示。

圖3 熱變形誤差曲線圖

從圖3中可以看出，熱變形誤差在約20℃時為明顯極小值點，低于或高于20℃時均單調變化，因此20℃是此關節臂式測量機的理想工作溫度。

后續實驗中，為使關節臂測量機在理想溫度環境下工作，在其6個活動點處安裝溫度傳感器，由四個恒溫出風口對關節臂進行加熱恒溫，使其溫度保持為20℃。且所有實驗均在精密實驗室內進行，所有儀器使用前均經過標準預熱。

2 模糊神經網絡與模擬退火算法

模糊理論與神經網絡相結合誕生了模糊神經網絡（Fuzzy Neural Network，FNN），即采用神經網絡結構實現模糊理論的功能，將二者的優勢相互融合且達到互補。單一模糊系統難以表示明確特征量，如學習、信息處理、視覺識別等，而通過模糊神經網絡則可以解決此問題［10-11］。

Takagi-Sugeno（T-S）模糊神經網絡采用了融合神經網絡與模糊推理的獨特結構。成功實現了模糊理論中模糊規則的自動生成，能夠在自動調整模糊隸屬度函數的同時，通過神經網絡的部分實現原本不具備的大規模運算能力以及自學習能力［12-16］。

在非線性動力學中引入T-S模糊神經網絡是解決測量準確度問題的重要方法之一，而關節臂式測量機動態誤差由動力學引起，具備高度復雜的非線性特征，因此，T-S模糊神經網絡適用于關節臂測量機動態誤差的模型建立。

2.1 T-S網絡動態誤差補償模型輸入量分析

設計模擬神經網絡模型時，需要先對測量力誤差與角度編碼誤差的影響因素進行分類，從眾多因素中篩選出最主要的因素作為補償模型的輸入量。

對于測量力誤差而言，測頭從起始處移動至被測物體的運動過程是測頭產生形變的最大誤差來源。在此過程中測頭先加速達到最高速度點，再減速到達被測物體，最終與物體接觸。為了方便分析接觸力的大小，將整個運動過程與測頭的受力大小建立聯系，利用測頭運動的最大定位誤差（MPE）和殘余定位誤差（RPE）表征測頭受到并使之產生形變的力的大小，MPE與RPE越小，測頭定位越準確，物體對測頭施加的力也就越小，產生形變也相應較小。

影響關節臂測量機角度編碼誤差的因素通過6個關節轉角值（JA）來表征［7］。

2.2 T-S網絡動態誤差補償模型結構設計

T-S模糊神經網絡的輸入量模糊劃分決定了系統的復雜程度，過多的劃分會使得學習時間呈指數型增長。根據實際需要，本文將影響結果的最簡化8個動態參數構造T-S網絡模型，其結構如圖4所示。其中，P為各后件網絡輸入節點；μ為對應模糊分量的隸屬度；α為前件網絡中與層各節點；y為后件網絡中m個獨立節點的模糊規則。

圖4 T-S動態誤差網絡模型

1）前件網絡設計

前件網絡共分為四層：輸入層、隸屬度層、“與”層和歸一化層。其中，輸入層將8個動態誤差因子輸入量X=［x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8］傳給隸屬度層，故包含8個輸入節點；隸屬度層接收到輸入變量后，按照模糊規則對其進行模糊化，并同時賦給每個模糊分量相應的隸屬度函數值，對于本文的8個輸入維度，設計3個模糊分割層次，即負、零、正，使用高斯函數賦予隸屬度值，因此本層的節點數應為N2=3×8=24；“與”層的功能是計算模糊規則的隸屬度，其節點數應與設計的模糊規則總數相等，為N3=m=∏i=1mi=38=6561；最終通過歸一化層加快訓練網絡的收斂性得到前件輸出，其節點數N4=6561與前層相等。

2）后件網絡設計

后件網絡由三層構成，其中8個影響因子加上一個為模糊后件提供常數項的x0=1共同構成第一層，即后件網絡的輸入層。輸入變量通過輸入層傳遞給第二層計算模糊規則下的后件。該層中每個節點都表示一個獨立的模糊規則，共計m個節點，即

將第二層的計算結果傳遞給第三層輸出層，同時引入前件網絡的計算結果作為該各項規則后件的加權系數，該系數稱為模糊規則的激活度，因此整個網絡的輸出為各項規則后件的加權和y為

對需要辨識的后件網絡連接權值pj，模糊隸屬度函數的中心值cij以及寬度σij（j=1，2，…，6561；i=1，2，…，8）三個參數進行算法設計。

算法中誤差函數取為

式中：ydk為期望輸出；yk為實際輸出。

具體參數辨識步驟如下：

①為三個辨識參數pj，cij，σij隨機賦起始值。

②對訓練樣本數據按照如下方式進行迭代：

式中：β為訓練模型的學習率；k為迭代次數；t為迭代的當前值。

③當訓練結果單組數據的誤差小于預設誤差時，則誤差準確度達到了要求，停止該組數據的迭代訓練，否則繼續進行。

④誤差準確度達標的實驗組，停止迭代。轉入②將下一組訓練樣本繼續迭代，直至整組樣本集完成訓練。

2.3 融合模擬退火算法優化的T-S模糊網絡模型

模擬退火（Simulated Annealing，SA）算法起源于蒙特卡洛算法，并于1953年由Metropolis等人提出，是一種主要應用于大空間中尋找最優解的概率算法。傳統的爬山算法也能夠快速地尋找臨近解的極大值，但當遇到函數極大值非最大值點時，爬山算法對比極值點兩端數據大小之后，極易將該點誤認為最大值點，從而陷入局部最優的僵局。而SA算法在局部尋優的基礎上隨機性地加入一定擾動，有一定幾率讓這個局部最優解跳出局部解空間，從而繼續對全局最優解進行搜尋，在多次于函數最值周圍振蕩徘徊后，最終確定該最值點為函數的全局最優解，可巧妙避開局部最優的陷阱。

給定初始溫度T0，令初始最優解w*=w0，根據干擾產生的新解為wβ，可通過ΔE=E（wβ）-E［w（k）］求優化函數指標。接受判定的條件為：①若ΔE≥0，計算接受概率r=exp［-ΔE/T］，若r＞pp，則w（k+1）=wβ，否則w（k+1）=w（k），pp為區間［0，1］上的隨機數；②如果ΔE＜0，則w（k+1）=wβ，w*=wβ。每次過程令k=k+1，如果k大于設定值N，則開始降溫，最終當達到預設檢驗誤差范圍內或者預設終止溫度時，輸出當前值w*作為最終最優權閾值。融合SA算法的網絡基本步驟如圖5所示。

設計算法補償過程中的各連接點權值Pj時，通過模擬退火算法找到神經網絡權閾值的全局最優解，利用突跳特性避免陷入局部極小值的問題，使得網絡輸出更好的逼近真實值，提高神經網絡的預測準確度。

圖5 模擬退火算法優化神經網絡流程圖

3 實驗設計與結果分析

該動態補償模型取訓練次數為500，學習率定為0.002，訓練的理想化目標定為0.03。為避免輸入量相差過大導致預測誤差過大進而影響實際結果，訓練的初始階段就應對所有樣本數據進行歸一化處理。數據預處理完成后，根據正交實驗L18（27），將前三次實驗所得的數據作為訓練樣本，再針對實際結果驗證模型的有效性，可隨機采集270組結果數據作為測量樣本。隨機選取50組動態誤差參數經模糊神經網絡補償效果如圖6所示。

圖6 （a）和圖6（b）為最大定位誤差和殘余定位誤差補償效果圖，因為6個關節轉角值在補償時獨立、隨機且相互沒有耦合，因此在做結果分析中僅以一個關節的補償效果為例，即圖6（c）所示。

圖6 動態誤差參數模糊神經網絡補償效果

圖6 中的藍色點表示將樣本數據中的輸入數據導入動態誤差模型后計算出的不同組合下動態誤差的預測值；與樣本數據作比較得到補償誤差，用紅色點表示；再計算出測量樣本輸出數據補償前的誤差值，用黑色點表示。觀察圖6發現，預測值與測量值契合度很高，3幅圖像的最大預測誤差均小于6.3μm，異值出現的概率分別為2%，0%和0%（以±5μm為界），所以基于該預測值是切實可行的。同時用測量值和補償后誤差值之間的差與補償前的測量值相比，即可得出該模型的誤差補償效果，如表1所示。由表1可知融合了模擬退火算法的模糊神經網絡建立的動態誤差參數模型具有良好的補償效果。

表1 SA-T-S模糊神經網絡模型誤差對比

實驗結果表明，經模型補償后動態過程誤差分別減小了88.8%，80.2%，71.3%，證明該模型能夠有效提高測量機的動態測量準確度，可為工業現場提高測量效率提供有力保障。

4 結論

1）本文討論了關節臂式坐標測量機結果誤差的眾多影響因素中最主要的三個部分，即熱變形誤差、測量力誤差與角度編碼誤差，并分別進行分析。

2）針對關節臂式坐標測量機動態誤差參數的三個主要影響因子進行分析，即最大定位誤差（MPE）、殘余定位誤差（RPE）和關節轉角值（JA），采用正交實驗探究了各個影響因素對3項動態誤差參數的影響程度，為建立動態誤差補償模型奠定了基礎。

3）將T-S模糊神經網絡與模擬退火算法相結合，應用于三坐標測量機動態測量過程誤差補償，以3個影響因子為輸入向量，3項動態誤差參數作為輸出建立動態誤差模糊神經網絡模型，經實驗證明該模型具備良好的補償效果，拓展了關節臂式測量機動態誤差補償技術，為提高關節臂式測量機動態準確度與測量效率提供了保障。