自由變形在水翼外形優化設計中的應用

李靖璐，王鵬，牛宏磊，張寧

(1．西北工業大學 航海學院，陜西 西安 710002； 2. 中國船舶重工集團 山西平陽重工機械有限責任公司,山西 侯馬 043000)

水下滑翔機作為一種水下航行器，具有航行時間久、航行距離遠、耗能低等特點，為監測海洋環境和勘探自然資源提供了方便，因而受到了廣泛關注[1]。對于傳統水下滑翔機，其雙翼是升力的主要提供者，因此開展水翼外形優化設計研究對于提升傳統水下滑翔機性能至關重要。外形優化設計首要的就是參數化方法。自由變形(free form deformation, FFD)參數化方法是一種最初用于計算機圖形圖像上的幾何外形參數化方法[2]，具有良好的光滑性和連續性，可以以較少的設計變量控制較為復雜的外形變形，在幾何外形參數化上極具潛力。近年來，越來越多的學者在工程實際中選擇使用這種參數化方法，機翼的氣動外形優化設計[3-5]、車輛的外形設計[6]、艦船的船型外形設計[7]等。然而傳統的FFD參數化存在著局部擾動能力差等缺陷。為了滿足局部控制的需求，本文采用基于非均勻有理B樣條(non-uniform rational b-splines，NURBS)的FFD參數法[8]，改善了傳統FFD方法局部擾動不足的缺點，光滑性及連續性更好，因而更適合于工程實踐的外形參數化。此外，本文在FFD參數化方法的基礎上，配合CFD求解及序列二次規劃算法(sequential quadratic programming，SQP)搭建了一套外形優化設計框架。利用框架對NACA0012水翼進行了單點及多點外形優化設計，并對優化結果進行了分析與總結。

1 外形優化設計框架

本文搭建的外形優化設計框架是在已有工作基礎上實現的[9]，具體框架如圖1所示。包括以NURBS為基函數的FFD參數化方法、CFD求解及優化3部分。

圖1 外形優化設計框架Fig.1 Optimization framework

1.1 NURBS方法

NURBS方法是由B樣條曲線方法通過加權、有理化發展而來[10]，具體原理如下。

對于u方向為p階、v方向為q階的NURBS曲面表示為：

式中：Pi,j為控制網格上的控制點;wi,j為權值;Ni,p(u)和Nj,p(v)分別為節點矢量U和V上的無理B樣條基函數;U、V的表達式為：

且有：

r=n+p+1,s=m+q+1

有理基函數的表達式為：

那么曲面方程可改為：

(1)

由式(1)可以看出，NURBS曲面是由u方向的(n+1)個控制點，v方向的(m+1)個控制點組成的(n+1)×(m+1)個控制點網格面，如圖2所示。

圖2 NURBS曲面Fig.2 NURBS surface

1.2 FFD參數化方法

本文采用基于NURBS的FFD參數化方法[11-13]，與FFD方法相比，其變形基函數由Bensteine基函數變為NURBS基函數，其基本原理如下:

首先在FFD控制體上添加一個局部坐標系O′-STU，則全局坐標系下任意點X，有：

X=X0+sS+tT+uU

式中X0為局部坐標系的原點在全局坐標系下的向量表示。局部坐標(s,t,u)寫成向量形式為：

接下來在FFD控制體上建立網格點Pi,j,k，則初始模型與FFD控制體的映射關系為：

式中：wi,j,k為權因子；Ni,p(s)、Nj,q(t)、Nk,r(u)為以s、t、u為變量的p、q、r次基函數。

1.3 SQP優化算法

SQP是目前公認的求解非線性優化問題的最有效方法之一，可以很好地處理等式約束及不等式約束。其不僅具有全局收斂性，而且收斂速度快、計算效率高[14-15]。對于含不等式約束的優化問題：

在迭代過程中，首先將原問題轉化為二次規劃子問題：

(2)

式中：xk是第k次迭代的解;dk表示第k次迭代的搜索方向；Hk為Hessian矩陣的近似。

求解式(2)，求得搜索方向dk，更新下次迭代解:

xk+1=xk+αkdk

(3)

式中αk可由線搜索方法得到。

修正Hessian矩陣近似Hk，重復上述迭代過程直至收斂。

2 外形優化仿真實例

利用外形優化設計框架對NACA0012水翼進行外形優化設計研究。其中數值模擬采用RANS方程作為控制方程，采用k-ω湍流模型，收斂條件為迭代2 000步或殘差收斂小于1×10-6。

在外形優化之前，需要驗證數值模擬的準確性。對NACA0012三維水翼進行CFD仿真，與文獻[15]中的實驗結果對比，結果如圖3所示的流速為0.3 m/s下的升阻比曲線對比。結果表明在2°攻角下CFD仿真與實驗結果之間誤差最小。因此在采用2°攻角、0.3 m/s流速下的工況作為優化基礎。

2.1 單點外形優化設計

優化設計目的為得到2°攻角、0.3 m/s流速的單個設計點下升阻比最大的水翼外形。其初始網格與FFD控制體如圖4所示。

圖3 升阻比曲線對比Fig.3 Comparisons of the lift-drag ratio

圖4 幾何模型網格與FFD控制體Fig.4 Baseline mesh and FFD volume

2.1.1 優化問題

優化目標函數為最大化NACA0012水翼的升阻比。設計變量為FFD控制點的位移，根據變形程度分為2類:1)單個控制點的位移，用于實現控制體的小變形，包括64個x向運動、64個y方運動、64個z向運動的設計變量(命名為x、y、z)；2)一組控制點的移動，用于實現FFD控制體的厚度大變形(命名為thickness)。2種設計變量如圖5所示。

約束條件分為2類:1)水翼的厚度約束，用于保證水翼的厚度不減；2)體積約束，用于保證水翼的體積不減。整個優化問題的數學表達如表1所示。

圖5 設計變量Fig.5 Design variables

表1 優化問題表述Table 1 Optimization problem formulation

2.1.2 優化結果

優化收斂曲線如圖6所示，共迭代14次，優化后升阻比為19.6。與初始18.1的升阻比相比，提升了8.46%。

比較優化前后的升力系數、阻力系數及升阻比，如表2所示。升力系數有所提升，阻力系數大大降低，整體升阻比獲得了較大的提升，可以認為水翼得到了較好的外形優化結果。

在水翼沿弦長c方向上均勻的取3個截面，對比優化前后截面翼型如圖7所示。可以發現變形主要集中在翼型上下表面及后緣位置。在滿足厚度和體積約束的條件下，水翼厚度變薄的同時，后緣發生了一定的扭轉，這是阻力系數降低,升力系數略微提升的主要原因。

圖6 單點優化迭代收斂Fig.6 Iterative process of single-point optimization

表2 單點優化水動力參數

2.2 多點外形優化設計

在2.1節中進行了水翼的單點優化，而在實際的工作環境中，很難保持水翼的速度為定值，往往伴隨著一定的變化，為了模擬這樣的實際工況，對NACA0012水翼進行了多點外形優化設計。多設計點為0.28、0.3、0.32 m/s。初始幾何模型網格、FFD控制體與單點優化相同。

2.2.1 優化問題

優化目標函數為3個設計點下的平均升阻比。設計變量與約束條件與單點優化相同。最終優化結果要得到1個在3種工況下升阻比都能提升的水翼外形。

圖7 單點優化水翼弦長方向截面對比Fig.7 Comparisons between the initial and the single-point optimized hydrofoil sections along chord length direction

2.2.2 優化結果

優化收斂曲線如圖8所示，共迭代14次，最終平均升阻比為19.6，相比于初始平均升阻比18.1，提升了8.47%。

圖8 多點優化迭代收斂Fig.8 Iterative process of multi-point optimization

比較3個工況優化前后的升力系數、阻力系數及升阻比，如表3所示。

表3 多點優化水動力參數

3個工況下，升力系數均獲得了提升，阻力系數均得到了降低。其中多點優化得到的外形在0.3 m/s工況下的提升程度與單點外形優化結果相同，在其他2種工況下也得到了較好的提升。綜上所述，可以認為得到了較好的水翼外形。類似地，在同樣位置處取3個截面，對比優化前后的翼型變化如圖9所示。可以得到與單點優化相似的結論，即升阻比獲得提升的原因是在滿足約束的條件下水翼厚度變薄的同時，后緣發生了一定的扭轉。

圖9 多點優化水翼弦長方向截面對比Fig.9 Comparisons between the initial and the multi-point optimized hydrofoil sections along chord length direction

3 結論

1)單點優化設計在滿足厚度、體積約束的條件下，升阻比提升了8.46%；

2)多點優化設計在在滿足厚度、體積約束的條件下，平均升阻比提高了8.47%，此外3個工況下的升阻比均獲得了較好提升；

3)水翼厚度減少降低了阻力系數，后緣扭轉增大了升力系數；

本文在之前工作的基礎上，實現了基于NURBS-FFD的外形優化設計框架，并成功用于水翼的外形優化設計。未來研究將在現有框架上進行網格變形、優化算法等功能拓展，以及實現結構優化、多學科優化等。