例析跨滑輪連接體的疊加問(wèn)題

安徽 董廷燦

一、跨滑輪連接物體間繩長(zhǎng)不變

1.含有定滑輪

【例1】如圖1所示，木板質(zhì)量為M、長(zhǎng)度為L(zhǎng)，可看作質(zhì)點(diǎn)的小木塊質(zhì)量為m，水平地面光滑，一根不計(jì)質(zhì)量的輕繩跨過(guò)定滑輪分別與木板和小木塊連接，小木塊與木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，開(kāi)始時(shí)小木塊靜止在木板最右端，現(xiàn)用水平向右的力F拉木板直到小木塊運(yùn)動(dòng)到木板最左端，則拉力做功至少為

圖1

( )

A.μmgLB.2μmgL

【點(diǎn)評(píng)】本題考查拉力做功問(wèn)題，解決好本題的關(guān)鍵在于理解并掌握以下三點(diǎn)：

1.“拉力至少做多少功”對(duì)應(yīng)的臨界條件是小物塊緩慢運(yùn)動(dòng)，即受力平衡；

2.繩子跨過(guò)滑輪拉力大小處處相等，因?yàn)槔K長(zhǎng)不變，所以與繩子直接相連的兩個(gè)物體在沿著繩的方向上具有相同的速率；

3.板塊相對(duì)地面的位移大小均為相對(duì)位移即板長(zhǎng)的一半。

【變式1】如圖2所示，A、B、C三個(gè)物塊質(zhì)量分別為mA=1 kg、mB=2 kg、mC=3 kg，三個(gè)物塊間及C與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ=0.1，最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，輕繩與滑輪間的摩擦可忽略不計(jì)，輕繩兩端跨過(guò)定滑輪分別與A、C兩物塊相連接。(取g=10 m/s2)

圖2

(1)若要用力將物塊C拉動(dòng)，則作用在物塊C上水平向左的拉力F最小值為多少？

(2)若要用力將物塊C從物塊B下面拉出，則作用在物塊C上水平向左的拉力F最小值為多少？

【解析】(1)由于A和C用輕繩相連，故AC有相同的速率；而物塊B分別受到A和C的摩擦力，B、C之間的滑動(dòng)摩擦力為FfBC=μ(mA+mB)g=3 N，A、B之間的滑動(dòng)摩擦力為FfAB=μmAg=1 N，因?yàn)镕fBC>FfAB，所以，B相對(duì)C靜止，簡(jiǎn)化模型如圖3所示。

圖3

要將物塊C拉動(dòng)，則B、C整體與A相對(duì)滑動(dòng)，對(duì)B、C整體分析可知其受到A施加的水平向右的滑動(dòng)摩擦力為FfAB=μmAg=1 N，由相互作用條件可知BC整體對(duì)A施加的水平向左的滑動(dòng)摩擦力FfBA=1 N，地面對(duì)B、C整體施加的水平向右的滑動(dòng)摩擦力為Ff地=μ(mA+mB+mC)g=6 N，要使拉力F最小，則物塊緩慢滑動(dòng)，即平衡狀態(tài)，由平衡條件得輕繩拉力為FT=FfBA=1 N，作用在物塊C上水平向左的拉力最小值為F=FT+FfAB+Ff地=8 N。

對(duì)B分析，根據(jù)牛頓第二定律得FfCB-FfAB=mBaB

即μ(mA+mB)g-μmAg=mBaB

解得aB=1 m/s2

對(duì)A受力分析，根據(jù)牛頓第二定律得

對(duì)C分析，根據(jù)牛頓第二定律得

聯(lián)立解得F′=14 N

【點(diǎn)評(píng)】變式1與例1相比，研究對(duì)象更多，綜合性更強(qiáng)，難度更大。第(1)問(wèn)的難點(diǎn)在于分析“用力將物塊C拉動(dòng)”時(shí)，物塊B是隨物塊C一起向左運(yùn)動(dòng)，還是隨物塊A一起向右運(yùn)動(dòng)，還是仍然處于靜止?fàn)顟B(tài)。遇到此類(lèi)問(wèn)題通常采用假設(shè)法，即假設(shè)A、B相對(duì)靜止，B、C之間相對(duì)滑動(dòng)；也可以假設(shè)B、C相對(duì)靜止，A、B之間相對(duì)滑動(dòng)。應(yīng)當(dāng)注意，當(dāng)A、B相對(duì)滑動(dòng)時(shí)，B、C之間的摩擦力小于最大靜摩擦力，如果B、C之間相對(duì)滑動(dòng)，B、C之間的摩擦力為3 N(達(dá)到最大摩擦力，或者說(shuō)是滑動(dòng)摩擦力)，那么A、B之間的靜摩擦力為至少3 N，不符合題意，綜上所述，B、C相對(duì)靜止。合理地利用簡(jiǎn)化模型圖，并與例1類(lèi)比處理可以達(dá)到事半功倍的效果。第(2)問(wèn)與第(1)問(wèn)相比，對(duì)應(yīng)的臨界條件有所不同，應(yīng)特別注意前者對(duì)應(yīng)的臨界條件是C的加速度比B的大，后者對(duì)應(yīng)的臨界條件是B相對(duì)于C靜止并隨C一起向左緩慢運(yùn)動(dòng)。

【變式2】如圖4所示，一輕質(zhì)光滑定滑輪固定在傾斜木板上，質(zhì)量分別為m和2m的物塊A、B，通過(guò)不可伸長(zhǎng)的輕繩跨過(guò)定滑輪連接，A、B間的接觸面和輕繩均與木板平行。A與B間、B與木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ，設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力。當(dāng)木板與水平面的夾角為45°時(shí)，物塊A、B剛好要滑動(dòng)，則μ的值為

圖4

( )

【解析】當(dāng)木板與水平面間的夾角為45°時(shí)，兩物塊剛好要滑動(dòng)，由題意可知，A相對(duì)B向上運(yùn)動(dòng)，對(duì)A受力分析如圖5，沿斜面方向A、B之間的滑動(dòng)摩擦力Ff1=μFN1=μmgcos45°

圖5

由平衡條件得FT=mgsin45°+Ff1

隔離B受力分析如圖6，沿斜面方向B與木板之間的滑動(dòng)摩擦力Ff2=μFN2=3μmgcos45°

圖6

由平衡條件得2mgsin45°=FT+Ff1+Ff2

聯(lián)立得2mgsin45°=mgsin45°+5μmgcos45°

【點(diǎn)評(píng)】變式2與例1相比，沒(méi)有已知拉力F，而用重力沿斜面向下的分力充當(dāng)拉力，作為2020年山東高考題，本題的難點(diǎn)在于臨界條件下靜摩擦力方向的判定，即對(duì)“相對(duì)運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)”的判定，所謂“相對(duì)運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)”是一種想動(dòng)而沒(méi)有動(dòng)的狀態(tài)，表面上是靜止的，內(nèi)心卻是運(yùn)動(dòng)的。對(duì)“相對(duì)運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)”的判定，常采用假設(shè)法，假設(shè)接觸面光滑，則B相對(duì)于A沿斜面向下運(yùn)動(dòng)，從而作出如圖5、圖6所示受力分析圖，再結(jié)合平衡條件進(jìn)行求解。

2.含有動(dòng)滑輪

【例2】如圖7所示，物體A、B的質(zhì)量分別為mA=6 kg、mB=4 kg，A與B、B與地面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ=0.3，在水平外力F作用下，A和B一起勻速運(yùn)動(dòng)，求A對(duì)B和地面對(duì)B的摩擦力的大小和方向(取g=10 m/s2)。

圖7

【解析】對(duì)A和B組成的系統(tǒng)受力分析，可得水平地面對(duì)B的摩擦力為

Ff地=μ(mA+mB)g=30 N，方向水平向左，所以F=Ff地=30 N

解得FfBA=15 N，方向水平向左；

由牛頓第三定律可知，A對(duì)B的摩擦力大小為FfAB=FfBA=15 N，方向向右。

【變式】如圖8所示，A為放在水平光滑桌面上的木板，質(zhì)量為1 kg。木塊B、C質(zhì)量分別為3 kg和1 kg。接觸面間動(dòng)摩擦因數(shù)均為0.1，不計(jì)細(xì)繩和滑輪的質(zhì)量，設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，g取10 m/s2。欲使物體A的加速度為2 m/s2，則水平拉力F為多大？

圖8

【點(diǎn)評(píng)】例2雖然涉及動(dòng)滑輪，但因?yàn)锳、B相對(duì)靜止，可以采用整體法分析；變式后與繩子兩端相連的兩木塊B、C因?yàn)橄鄬?duì)滑動(dòng)，加速度并不相等，與定滑輪相比，問(wèn)題變得更加復(fù)雜，需結(jié)合動(dòng)滑輪的特點(diǎn)——輕繩的拉力等于水平拉力F的一半，再分別對(duì)A、B和C進(jìn)行隔離法分析。

3.同時(shí)含有動(dòng)滑輪和定滑輪

【例3】如圖9所示，水平桌面上的木板B和物塊A(可視為質(zhì)點(diǎn))用細(xì)繩通過(guò)光滑動(dòng)滑輪和光滑定滑輪與鉤碼C連接，木板B長(zhǎng)L=1 m，動(dòng)滑輪兩側(cè)細(xì)繩保持水平且足夠長(zhǎng)。已知A與B的動(dòng)摩擦因數(shù)μ1=0.4，B與水平桌面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ2=0.1，物塊A、木板B的質(zhì)量分別為mA=1 kg、mB=2 kg，不計(jì)細(xì)繩和滑輪的質(zhì)量，設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，g取10 m/s2。開(kāi)始時(shí)A在B的中間位置且A、B、C均靜止。

圖9

(1)求鉤碼的質(zhì)量至少為多大才能使A、B發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)；

【解析】“A、B恰好發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)”對(duì)應(yīng)的臨界條件是A、B的加速度相等且兩者之間的摩擦力恰好達(dá)到最大靜摩擦力，相對(duì)運(yùn)動(dòng)前A、B、C三個(gè)物體加速度大小相同。

(1)設(shè)細(xì)繩對(duì)鉤碼C的拉力為FT，鉤碼的質(zhì)量至少為mC0，分別對(duì)A、B、C受力分析，根據(jù)牛頓第二定律得

mC0g-FT=mC0a

解得a=5.0 m/s2，mC0=3.6 kg

即鉤碼的質(zhì)量至少為3.6 kg，才能使A、B發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)。

根據(jù)位移關(guān)系可得aA+aB=2aC

【點(diǎn)評(píng)】本題同時(shí)含有動(dòng)滑輪和定滑輪，是例2及其變式的進(jìn)一步拓展，難度加大。第(1)問(wèn)中三個(gè)物體是相對(duì)靜止的，加速度相等，可以用整體法分析；第(2)問(wèn)中三個(gè)物體是相對(duì)滑動(dòng)的，加速度不相等，必須用隔離法分析。適時(shí)地選擇整體法和隔離法，并結(jié)合A、B、C三個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)、位移關(guān)系和繩長(zhǎng)關(guān)系確定三個(gè)物體的加速度關(guān)系，是解決好此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵。

二、跨滑輪連接物體間繩長(zhǎng)改變

【例4】如圖10所示，質(zhì)量為m的人手握輕繩的一端站在質(zhì)量為M的木板上，輕繩的另一端繞過(guò)定滑輪拴住木板，木板放在光滑固定的水平臺(tái)面上。當(dāng)人用力F拉繩時(shí)，人和板共同加速前進(jìn)，如果人與木板的質(zhì)量關(guān)系為m>M，則板對(duì)人的摩擦力Ff=________F，對(duì)人做________功；如果是m

圖10

【變式1】如圖11所示，聰明愛(ài)玩的小明將一個(gè)滑輪固定在豎直墻上，另一端固定在自己的滑板車(chē)上，將兩個(gè)滑輪用繩子組裝成滑輪組。小明站在滑板車(chē)上拉動(dòng)手中的繩子，他用10 N的拉力在3 s內(nèi)使自己和滑板車(chē)一起沿水平地面勻速向墻運(yùn)動(dòng)了1.2 m。滑輪重、軸摩擦和繩重均忽略不計(jì)。求：

圖11

(1)滑板車(chē)受到地面的摩擦力；

(2)在3 s內(nèi)小明的拉力做功；

(3)動(dòng)滑輪對(duì)滑板車(chē)?yán)Φ墓β省?/p>

【解析】(1)把小明、滑板車(chē)和動(dòng)滑輪看作一個(gè)整體，由圖11可知，滑板車(chē)受到的摩擦力由三段繩子承擔(dān)，每一段的拉力也等于小明作用在繩子自由端的拉力，當(dāng)系統(tǒng)勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，由平衡條件得：Ff=3F=30 N。

(2)在3 s內(nèi)繩子自由端移動(dòng)的距離s=3x=3.6 m，則拉力所做的功為W=Fs=36 J。

【變式2】如圖12所示，木板質(zhì)量M=4 kg、長(zhǎng)度L=1 m，可看作質(zhì)點(diǎn)的小木塊質(zhì)量m=2 kg，水平地面光滑。一根不計(jì)質(zhì)量的輕繩跨過(guò)定滑輪分別與木板和彈簧連接，剛開(kāi)始彈簧處于原長(zhǎng)，其勁度系數(shù)為k=10 N/m，且右端與小木塊相連；小木塊與木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.3，開(kāi)始時(shí)小木塊靜止在木板右端，不計(jì)細(xì)繩和滑輪的質(zhì)量，設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，g取10 m/s2。現(xiàn)用水平向右的力F拉木板直到小木塊運(yùn)動(dòng)到木板左端，則拉力至少做多少功？

圖12

圖13

【點(diǎn)評(píng)】例4及其變式1中雖然繩長(zhǎng)是變化的，但人板相對(duì)靜止，采用整體法處理后，問(wèn)題簡(jiǎn)化。例4的難點(diǎn)在于摩擦力方向的判定，變式1的難點(diǎn)在于力的作用點(diǎn)的位移與物體位移之間的關(guān)系，變式2中雖然繩長(zhǎng)不變，但是因?yàn)橐欢伺c輕彈簧相連，可以看作彈性繩模型，第一個(gè)過(guò)程因板塊是相對(duì)靜止的，可以采用整體法處理，第二個(gè)過(guò)程可以看作繩長(zhǎng)不變模型，類(lèi)比例1，采用隔離法處理。