破解帶電粒子在電磁場中運動問題的方法

浙江 成金德

帶電粒子在磁場或者電磁場(復合場)中運動的問題是高中物理中最為典型的一類綜合問題，它具有綜合性強、能力要求高、難度較大的特點，不少學生解答這類問題時，不是望而生畏就是無功而返。這類問題在高考中往往作為壓軸題出現，對高考選拔人才有一定的影響。經過多年的教學實踐，筆者認為破解這類問題，關鍵要在以下五個方面予以努力。

一、破解多解問題——重視條件分析

因為設置的條件具有不確定性，或者帶電粒子在磁場中運動存在多樣性等因素，造成多解問題。有效解答此類問題的關鍵在于認真審題，弄清形成多解的原因，從形成多解的不確定條件出發，討論形成多解的各種可能結果，以便準確得出符合題意的相應答案。

【例1】如圖1所示，直線MN下方無磁場，上方空間存在兩個勻強磁場，其分界線是半徑為R的半圓，兩側的磁場方向相反且垂直于紙面，磁感應強度大小均為B。現有一質量為m、電荷量為q的帶負電微粒從P點沿半徑方向水平向左側射出，最終打到Q點，不計微粒的重力。求：

圖1

(1)微粒在磁場中運動的周期；

(2)從P點到Q點，微粒運動的速度大小及時間。

【解析】(1)不計微粒的重力，微粒在磁場中僅受洛倫茲力的作用下做勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力，設圓周運動的半徑為r

(2)微粒從P點運動到Q點，由于條件的不確定性(v、R、B、q、m等大小都未知)，造成微粒在磁場中運動的情境有多種，如圖2所示的4種情景是微粒可能運動情境中的4種。

設微粒的運動軌跡將磁場的邊界分隔成n等分，即n可取n=2，3，4，…。設每等份圓弧所對應圓心角為2θ，由幾何關系可知可能出現的運動情形為：

甲 n=2情形

乙 n=3情形

丙 n=4情形

丁 n=5情形

由對稱性可知，軌跡中的一段大圓弧所對應的圓心角為2π-2θ，一段小圓弧所對應的圓心角為2θ，即微粒經過一段大圓弧和一段小圓弧的時間為一個周期。

二、破解軌跡問題——尋找銜接關系

求解帶電粒子在磁場中運動的問題時，準確作出帶電粒子的運動軌跡無疑是解決問題的關鍵。要準確地作出軌跡圖，不僅要仔細分析帶電粒子的運動情況，而且要充分利用相關的幾何條件，確定各段不同軌跡間的銜接關系，以便為準確作出軌跡提供有效保障。

圖3

(1)兩平行金屬極板間電場強度的大小；

(2)若帶電粒子運動軌跡與小圓相切，求Ⅰ區磁感應強度的大小；

帶電粒子運動的圓軌跡與小圓相切存在兩種情況：

圖4

圖5

作出帶電粒子兩次與大圓相切時，時間間隔的運動軌跡如圖6所示，由對稱性可知，Ⅰ區兩段圓弧所對應的圓心角相同，設為θ1。Ⅱ區內圓弧所對應的圓心角設為θ2，在Ⅰ區兩段圓弧和大圓的兩個切點與圓心O連線間的夾角設為α，根據幾何關系可得θ1=120°，θ2=180°，α=60°

圖6

因此，帶電粒子在Ⅱ區內做半個小圓弧運動后與在Ⅰ區內的大圓弧銜接，而后帶電粒子重復上述交替運動回到H點時，在Ⅱ區內經過6段半圓形運動，這樣，就可作出帶電粒子的運動軌跡，如圖7所示。

圖7

則帶電粒子運動的路程為s=v(t1+t2)

解以上各式得s=5.5πd

【破解關鍵】本題中作帶電粒子的運動軌跡是一個難點，要準確作圖有兩個關鍵點：其一，從Ⅰ區大圓弧到Ⅱ區小圓弧銜接的幾何關系；其二，帶電粒子再從Ⅱ區小圓弧到Ⅰ區大圓弧銜接的幾何關系。確定兩個特定區域的幾何關系時，必須能熟練應用相關的幾何知識，以及有關軌跡對稱性和周期性的特征。本題中，確定磁場邊界圓和大圓的兩個切點與圓心O連線間的夾角α是解題的核心，這里既要依據帶電粒子的運動情況，又要結合相關的幾何條件，這樣問題才會迎刃而解。不少同學在解決此類問題時，往往草率分析，潦草作圖，因而找不到解題的鑰匙。

三、破解過程問題——弄清細節特點

帶電粒子在磁場中運動的形式多種多樣，有時會涉及一些多過程問題，求解此類問題時，必須弄清帶電粒子在各個過程的受力情況和運動情況等細節，并注意各個過程間的聯系，最好能畫出帶電粒子的運動軌跡，再結合相關的物理規律和數學知識求解。

【例3】如圖8所示，在紙面內有磁感應強度大小均為B，方向相反的勻強磁場，虛線等邊三角形ABC為兩磁場的理想邊界。已知三角形ABC邊長為L，虛線三角形內為方向垂直紙面向外的勻強磁場，三角形外部的足夠大空間為方向垂直紙面向里的勻強磁場。一電荷量為q、質量為m的帶正電粒子從AB邊中點P垂直AB邊射入三角形外部磁場，不計粒子的重力和一切阻力，試求：

圖8

(1)要使粒子從P點射出后在最短時間內通過B點，則從P點射出時的速度v0為多大？

(2)滿足(1)問的粒子通過B后第三次通過磁場邊界時到B的距離是多少？

(3)滿足(1)問的粒子從P點射入外部磁場到再次返回到P點的最短時間為多少？

【解析】(1)當粒子做半個圓周運動直接到達B點所用時間最短。

圖9

(3)粒子從P點射入外部磁場到再次返回到P點的過程中，粒子一共經過13個小過程，即：

①由軌跡1轉向軌跡2，由幾何關系可知，軌跡1中粒子偏轉180°，軌跡2中粒子偏轉60°后進入內部磁場。

②由軌跡2轉向軌跡3(由3-4，由4-5等)具有對稱性，各個軌跡對應偏轉角都為60°。

③由軌跡5轉向軌跡6，由幾何關系可知，軌跡5中粒子偏轉60°，軌跡6中粒子偏轉300°后進入內部磁場。

④由軌跡6轉向軌跡7，由幾何關系可知，軌跡7中粒子偏轉60°后進入外部磁場。

⑤由軌跡7轉向軌跡8，由幾何關系可知，軌跡8中粒子偏轉300°后進入內部磁場。

⑥由軌跡8轉向軌跡9，由幾何關系可知，軌跡9中粒子偏轉60°后進入外部磁場。

⑦由軌跡9轉向軌跡10(由10-11，由11-12等)具有對稱性，各個軌跡對應偏轉角都為60°。

⑧由軌跡12轉向軌跡13，由幾何關系可知，軌跡13中粒子偏轉180°后回到P點。

由此可作出粒子的運動軌跡如圖10所示。從圖中可知粒子運動的時間為

圖10

【破解關鍵】求解本題的第(3)問時，關鍵在于弄清粒子運動過程的細節，即粒子經歷13個小過程中粒子的偏轉角和轉向，其中有八個細節非常重要，如果出現一點差錯，就不可能求得正確結果。

四、破解范圍問題——熟用臨界條件

關于帶電粒子落在某個區間，或者加速電壓(或磁場的磁感應強度)在什么范圍內能使帶電粒子運動到某個區域等問題屬于范圍問題，求解這類問題關鍵在于熟練應用相關的臨界條件，再結合相關的物理規律和數學知識。

【例4】如圖11所示，矩形abcd區域內有磁感應強度為B的勻強磁場，ab邊長為3L，bc邊足夠長。厚度不計的擋板MN長為5L，平行bc邊放置在磁場中，與bc邊相距L，左端與ab邊也相距L。質量為m、電荷量為e的電子，由靜止開始經電場加速后沿ab邊進入磁場區域。電子與擋板碰撞后完全被吸收并導走。

圖11

(1)如果加速電壓控制在一定范圍內，能保證在這個電壓范圍內加速的電子進入磁場后在磁場中運動時間都相同。求這個加速電壓U的范圍。

(2)調節加速電壓，使電子能落在擋板上表面，求電子落在擋板上表面的最大寬度ΔL。

當電子的軌道半徑逐漸增大，與擋板下表面相切時，其圓周運動的半徑r1=2L，圓心為O1，如圖12所示，要使電子在磁場中的運動時間相等，必須滿足r≤r1<2L

圖12

當電子恰好繞過擋板從ad邊離開磁場，設其做圓周運動的半徑為r2，如圖13所示。

圖13

(2)電子能打到擋板上表面必須滿足以下臨界條件：

圖14

解得r3=2.5L

(ⅱ)電子打在P點后，隨著軌道半徑逐漸增大，要使電子打在擋板的上表面，則不能從bc邊射出，設電子軌跡與bc邊相切時的半徑為r4，圓心為O4，電子打在上板的Q點，如圖15所示。則有r4=3L

圖15

所以，電子落在擋板上表面的最大寬度ΔL

【破解關鍵】求解本題的關鍵在于把握四個臨界條件：①電子恰好過M點；②電子恰好過N點；③電子運動軌跡與磁場上邊界bc相切；④電子運動軌跡與擋板下表面相切。只有熟練利用這四個臨界條件，再結合相關的幾何關系，就可以作出正確的分析和求得正確的結果。

五、破解臨界問題——抓住邊界條件

求解帶電粒子在電磁場中運動的臨界問題，既要作出問題存在的可能情況的一般分析，又要結合邊界條件作出臨界分析，從而找到解決問題的方法。

圖16

(1)若正離子的比荷為k，求該離子到達CD極時的速度大小；

(2)該裝置可以測出離子從AB極出發，經過Ⅰ區、Ⅱ區和Ⅲ區，最后返回EF端的總時間為t，由此可以確定離子的比荷為k，試寫出k與t的函數關系式；

圖17

(2)正離子在Ⅰ區受到電場力的作用，正離子做勻加速直線運動，設所用時間為t1，由平均速度定義式得

正離子運動的總時間為t=t1+t2+t3

(3)設質量分別為M和m的正離子在磁場中做勻速圓周運動的半徑為R1和R2，洛倫茲力提供向心力，根據牛頓第二定律可知

作出兩種離子在磁場中運動的軌跡，如圖18所示。要符合題目提出的使兩種離子在收集板上完全分離、收集更多離子和狹縫盡可能大的條件，通過作圖可知，選取R1=2R2及如圖19所示的邊界條件(即質量為M的正離子在收集板上的最低點與質量為m的正離子在收集板上的最高點重合)能符合題目要求。

圖18

圖19

此時狹縫的最大值x應滿足x=2R1-2R2，d=2R1+x

【破解關鍵】本題中的第(3)問，要求將兩種離子在收集板上完全分離，同時要收集到更多的離子，則狹縫的寬度應盡可能大。求解時，必須對離子在磁場中的運動進行一般分析，如圖18所示，通過作圖和分析可以看到兩個離子在磁場中做勻速圓周運動的半徑差別越大，收集到的離子數就越大；結合離子打在收集板上的分界位置(如圖19中的c點)，再注意三個邊界條件(如圖19中的a、b和d點)，這樣就可以得到滿足題目要求的條件為x=2R1-2R2和d=2R1+x，因此，即可順利解決問題。