橢圓界面最優(yōu)控制問(wèn)題的優(yōu)化算法

摘? 要：該文針對(duì)帶界面的橢圓最優(yōu)控制問(wèn)題，先采用拉格朗日方法推導(dǎo)出該最優(yōu)控制問(wèn)題的最優(yōu)性條件，然后運(yùn)用浸入有限元和變分離散相結(jié)合的方法得到離散的最優(yōu)性條件并給出離散最優(yōu)性條件的兩種優(yōu)化算法。對(duì)控制無(wú)約束的情況，離散系統(tǒng)是對(duì)稱非正定的方程組，采用塊對(duì)角預(yù)處理MINRES算法求解。對(duì)控制帶約束的情形，采用不動(dòng)點(diǎn)迭代算法求解非線性非光滑的算子方程。最后給出數(shù)值例子說(shuō)明方法的有效性.

關(guān)鍵詞：橢圓最優(yōu)控制? 浸入有限元? 不動(dòng)點(diǎn)迭代? 變分離散

中圖分類號(hào)：O241.1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文章編號(hào)：1672-3791（2020）09（b）-0205-03

Optimization Algorithms for Elliptic Interface Optimal Control Problems

ZHANG Qian

（School of Artificial Intelligence and Information Technology， Nanjing University of Chinese Medicine， Nanjing， Jiangsu Province， 210023? China）

Abstract： In this paper， for the elliptic optimal control problem with interfaces， the optimality condition of the optimal control problem is derived by the Lagrange method firstly. Then the discrete optimality condition is obtained by the combination of immersion finite element and variational discretization. Two optimality algorithms of the discrete optimal condition are given. For the case of unconstrained control， the discrete system is a system of symmetric and non-positive definite equations， which is solved by block diagonal preprocessing MINRES algorithm. For the case of constrained control， the nonlinear and non-smooth operator equations are solved by fixed-point iterative algorithm. Finally， numerical examples are given to show the effectiveness of the method;

Key Words： Elliptic optimal control; Immersed finite element; Fixed point iteration; Variational discretization

偏微分方程的最優(yōu)控制問(wèn)題是一個(gè)非常活躍的研究分支，在實(shí)際工程領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，例如飛機(jī)的最優(yōu)型設(shè)計(jì)、大氣污染控制、大型柔性結(jié)構(gòu)的波動(dòng)控制等許多方面都需要借助最優(yōu)控制模型來(lái)分析和解決實(shí)際問(wèn)題。這類問(wèn)題實(shí)際上是控制變量受約束的無(wú)窮維最優(yōu)控制問(wèn)題。其精確解很難通過(guò)解析的方式求出來(lái)，因此研究其數(shù)值近似求解方法顯得尤為重要. 這類問(wèn)題的難點(diǎn)是最優(yōu)控制問(wèn)題中的控制變量受到偏微分方程的約束， 數(shù)值求解需要結(jié)合偏微分方程的離散方法和優(yōu)化算法。目前數(shù)值求解最優(yōu)控制問(wèn)題的思路有兩種：一種是先優(yōu)化后離散，另外一種是先離散后優(yōu)化，該文采用的是后者。

對(duì)橢圓型最優(yōu)控制問(wèn)題的研究，已經(jīng)涌現(xiàn)出了許多的研究成果[1-3]，與這些成果不同的是，該文考慮了更加復(fù)雜的情況，也就是區(qū)域帶有界面. 由于界面的存在，傳統(tǒng)的有限元方法得不到最優(yōu)精度，因此該文采用浸入有限元方法[4]。針對(duì)離散后的最優(yōu)性條件，該文考慮了兩種情況：一種是帶約束，一種是不帶約束，分別給出了優(yōu)化的算法。對(duì)控制無(wú)約束的情況，離散系統(tǒng)是對(duì)稱非正定的方程組，采用塊對(duì)角預(yù)處理MINRES算法求解。對(duì)控制帶約束的情形，采用不動(dòng)點(diǎn)迭代算法求解非線性非光滑的算子方程。數(shù)值例子驗(yàn)證了數(shù)值優(yōu)化算法是有效的。

1? 問(wèn)題模型和最優(yōu)性條件

考慮最優(yōu)控制問(wèn)題。

（1）

對(duì)所有的滿足橢圓界面問(wèn)題

-?.（β（x）?y（x））=u（x）Ω/Γ內(nèi)

上

弱形式：最優(yōu)控制問(wèn)題（P）：

滿足狀態(tài)方程的約束以及控制約束。

問(wèn)題（P）存在唯一的最優(yōu)控制、狀態(tài)和伴隨態(tài)滿足狀態(tài)方程：

伴隨方程：

和變分不等式：

另外，變分不等式等價(jià)于投影方程：這里代表在區(qū)間[ua，ub]上的投影。 狀態(tài)方程、伴隨方程和變分不等式共同0組成了問(wèn)題（P）的最優(yōu)性條件，即原問(wèn)題（P）等價(jià)于最優(yōu)性條件。

接下來(lái)進(jìn)行數(shù)值離散，由于界面的存在，為了避免離散精度的損失，采用浸入有限元[5]進(jìn)行離散，再結(jié)合變分離散[6]可得到離散后的最優(yōu)化問(wèn)題如下：

問(wèn)題（）：對(duì)所有受控于（為浸入界面有限元空間[4]），且控制滿足約束條件ua≤u≤ub類似于問(wèn)題（P），問(wèn)題（）具有唯一最優(yōu)解：控制，相應(yīng)的狀態(tài) 和伴隨態(tài)分別滿足狀態(tài)方程：

伴隨方程：

和變分不等式：

且變分不等式等價(jià)于投影方程. 通過(guò)轉(zhuǎn)化，要求問(wèn)題（）的解，只需求解上面3個(gè)方程，即狀態(tài)方程、伴隨方程和投影方程。

2? 優(yōu)化算法

在這一節(jié)，我們給出求解有限維最優(yōu)控制問(wèn)題（）最優(yōu)解的優(yōu)化算法實(shí)現(xiàn)細(xì)節(jié)。

在控制無(wú)約束情況，投影方程變成，它的向量形式是。因此，我們得到下面的大型線性方程組：

這個(gè)方程組是對(duì)稱但是非定的， 因此我們用MINRES方法求解它。為了得到較好的收斂性， 我們先采用了一個(gè)塊對(duì)角的預(yù)處理子[7]， 即：

在的情況（帶控制約束的情況）， 問(wèn)題（）的最優(yōu)性條件可以寫成關(guān)于控制的非光滑算子方程然后采用不動(dòng)點(diǎn)迭代算法求解這個(gè)非光滑且非線性方程。

算法步驟如下。

（1）給定初始值

（2）通過(guò)求解， 得到。

（3）通過(guò)求解得， 到。

（4）通過(guò)投影方程得到， 其中。

（5）如果|u0-u1|≤1.0×10-6，那么令， 否則u0=u1令并重復(fù)步驟2。

在步驟2，經(jīng)過(guò)若干次迭代后不再屬于原空間，因此方程作為右端項(xiàng)是不再有效的。有些單元被控制可行集的邊界切割成多個(gè)小的單元，函數(shù)在這些單元上是分片線性的。為了計(jì)算右端項(xiàng)的積分， 我們把單元按照可行集邊界分割成多個(gè)子單元，然后在子單元上分別進(jìn)行數(shù)值積分。上面算法在α足夠大的時(shí)候是收斂的。

3? 數(shù)值算例

算例1。考慮界面是是以原點(diǎn)為中心半徑的圓，在這個(gè)例子中， 我們選擇，和。在這個(gè)例子中我們構(gòu)造了精確的最優(yōu)解。數(shù)值解誤差估計(jì)的結(jié)果如下圖所示，從圖1可以看出該文的離散方法和優(yōu)化方法得到的誤差（實(shí)線）比用傳統(tǒng)有限元誤差（虛線）收斂要快。本文的優(yōu)化數(shù)值方法是有效的。

算例2。把算法應(yīng)用到一個(gè)復(fù)雜的五角星界面問(wèn)題上， 這個(gè)例子是復(fù)合材料上穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)過(guò)程的優(yōu)化問(wèn)題上， 間斷系數(shù)代表不同介質(zhì)材料的導(dǎo)熱系數(shù)函數(shù) 代表外部的熱源。我們需要優(yōu)化的問(wèn)題就是尋找合適的熱源來(lái)控制復(fù)合材料的溫度使得復(fù)合材料上處處都能達(dá)到同樣的理想溫度。如果沒(méi)有界面， 解看起來(lái)像一個(gè)梯形棱柱， 它的底部滿足偏微分方程的齊次邊界條件。當(dāng)時(shí)， 狀態(tài)的解在界面外趨于平緩， 這是因?yàn)椋?反之亦然。解的數(shù)值模擬如圖2所示。

參考文獻(xiàn)

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