把握試題情境特點，落實學生“四翼”考查

廣東 劉 偉

2020年教育部考試中心編寫的《中國高考評價體系說明》指出，情境：高考評價體系的考查載體.這里的“情境”指的是高考評價體系中的“問題情境”，即以真實的問題為背景，以問題或任務為中心構成的活動場域.學生通過“問題情境”能夠識別數學問題或任務，建立適切的數學模型，解決數學問題，開展“情境活動”.高考數學通過巧設“情境”，考核學生的“四翼”，即基礎性、綜合性、應用性以及創新性，以期達到落實“四基”“四能”的要求.現以高考數學試題為例，辨析情境作為高考評價體系的考查載體在高考數學命題中的應用.

一、設置基礎層面的問題情境，落實基礎性的考查

在此類問題情境中，以學生熟悉的情境呈現，該情境涉及單一的數學知識點或某種基本能力，通過對基礎層面的問題情境概括，強調基本概念、原理、思想方法的重要性，體現高考試題的“基礎性”.

【例1】(2020·全國卷Ⅰ文·5)某校一個課外學習小組為研究某作物種子的發芽率y和溫度x(單位：℃)的關系，在20個不同的溫度條件下進行種子發芽實驗，由實驗數據(xi,yi)(i=1,2,…,20)得到下面的散點圖：

由此散點圖，在10℃至40℃之間，下面四個回歸方程類型中最適宜作為發芽率y和溫度x的回歸方程類型的是

( )

A.y=a+bxB.y=a+bx2

C.y=a+bexD.y=a+blnx

答案：D.

本題通過散點圖考查學生對高中階段幾個常用初等函數圖象的掌握情況，對散點進行分析可知該圖滿足對數函數的圖象特征，考查單一知識點.

【例2】(2020·全國卷Ⅱ文·3)如圖，將鋼琴上的12個鍵依次記為a1，a2，…，a12.設1≤i

( )

A.5 B.8

C.10 D.15

答案：C.

根據原位大三和弦滿足k-j=3,j-i=4，原位小三和弦滿足k-j=4,j-i=3.從i=1開始，利用列舉法即可解出．本題僅考查列舉法的應用，以及對新定義的理解和應用，突出對基本數學方法的應用能力的考查，強調基礎性.

設置基礎層面的問題情境，考查單一知識或技能.讓學生在熟悉的情境活動中重視學科的基礎內容，確保基礎扎實.

二、設置綜合層面的問題情境，實施綜合性的考查

綜合層面的“問題情境”涉及多個知識點或多個基本能力，由一個“情境”發散性地生長出多個關聯的知識點或基本能力.注重學科知識體系的完整性，關注同一學科不同知識之間、不同學科相同知識之間的聯系，引導整合所學知識并培養學生的實踐思維，實施綜合性考查.

(Ⅰ)求該地區這種野生動物數量的估計值(這種野生動物數量的估計值等于樣區這種野生動物數量的平均數乘以地塊數)；

(Ⅱ)求樣本(xi，yi)(i=1，2，…，20)的相關系數(精確到0.01)；

(Ⅲ)根據現有統計資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大.為提高樣本的代表性以獲得該地區這種野生動物數量更準確的估計，請給出一種你認為更合理的抽樣方法，并說明理由.

答案：(Ⅰ)該地區這種野生動物數量的估計值為12 000.

(Ⅱ)相關系數r≈0.94.

(Ⅲ)分層抽樣：根據植物覆蓋面積的大小對地塊分層，再對200個地塊進行分層抽樣.理由略.

從問題情境出發涉及兩到三個知識點，各個知識點間的關聯性較弱，屬于多個單一知識的考查范疇.結合考查需要，選擇生產生活中的真實案例，對比學生的實際認知水平，進行合理的簡化或處理來設計綜合性層面的問題情境，由此實現在多模塊或多學科知識的背景下，有效考查學生綜合運用知識和能力的水平，從而體現高考試題的“綜合性”.

三、設置生活實踐問題情境或學習探究問題情境，執行應用性的考查

生活實踐問題情境是與日常生活以及生產實踐密切相關的情境，考查學生運用所學知識解釋生活中的現象、解決生產實踐中的問題的能力.解決此類問題需將問題情境與學科知識方法建立聯系，應用學科工具解決問題.學習探究問題情境是指情境源于真實的研究過程或實際的探索過程，涵蓋學習探索與科學探究過程中所涉及的問題.學生在解決這類情境中的問題時，必須啟動已有知識開展智力活動，同時在解決問題的過程中運用創新的思維方式.

【例4】(2019·全國卷Ⅰ理·21)為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進行動物試驗．試驗方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比試驗．對于兩只白鼠，隨機選一只施以甲藥，另一只施以乙藥．一輪的治療結果得出后，再安排下一輪試驗．當其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時，就停止試驗，并認為治愈只數多的藥更有效．為了方便描述問題，約定：對于每輪試驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得-1分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得-1分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分．甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β，一輪試驗中甲藥的得分記為X.

(Ⅰ)求X的分布列；

(Ⅱ)若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4分，pi(i=0,1,…,8)表示“甲藥的累計得分為i時，最終認為甲藥比乙藥更有效”的概率，則p0=0，p8=1，pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1,2,…,7)，其中a=P(X=-1)，b=P(X=0)，c=P(X=1)．假設α=0.5，β=0.8．

(ⅰ)證明：{pi+1-pi}(i=0,1,2,…,7)為等比數列；

(ⅱ)求p4，并根據p4的值解釋這種試驗方案的合理性．

答案：(Ⅰ)

X-101P(1-α)βαβ+(1-α)(1-β)α(1-β)

.

(Ⅱ)(ⅰ)證明略.

該題以動物實驗為出題背景，測試藥效，符合真實的研究過程或實際的探索過程.題目閱讀量大，信息提取和整合需較強的抽象概括能力和信息加工能力.第一問針對“約定”求解X的分布列，要求學生能有效地拆分所給信息，捕捉“合乎”題設要求的信息，聯系所學模型——事件的相互獨立性，結合函數的對應思想，通過分類討論得出所求分布列.第二問的第1小問，結合第一問求得a,b,c,得到關于pi-1，pi，pi+1遞推等式，聯系提問，得出答案；第2小問由結論提示及累加法的應用，得到p8，p1等式，求得p4，落實運算求解能力的考查.p4值解釋，考查不同知識點之間的銜接性.通過分析，綜合或創造性地運用統計知識，理解數據蘊含的信息，用恰當的數學語言來闡述結論.由“概率”到“數列”再到“統計”，實現“應用性”的考查.

在社會發展進步的背景下，選取工業生產、產品制造、技術論證及政策討論等實際問題，通過提供適切的材料，結合多個數學知識點，使知識點之間形成網狀結構，圍繞“問題情境”開展“情境活動”增強試題的現實性和探究性，引導學生進行深度思考和判斷，提出解決問題的方案.考查學生學以致用、應對生活實踐問題情境的學科素養，體現高考試題的“應用性”.

四、設置開放性的生活實踐問題或學習探索問題情境，推行創新性的考查

通過提供不同形式的生活實踐材料或學習探索材料組成多個“問題情境”，每個“情境”又輻射出不同知識點.開放性問題情境旨在考查學生獨立思考、對問題或觀點提出不同看法并進行論證的能力，培養學生敢于質疑、敢于批判的思維能力，能創新性地運用知識去發現新規律、研發新理論、開發新技術，為制定新政策、開拓新領域提供支撐的能力.

【例5】(2019·北京卷理·17節選)改革開放以來，人們的支付方式發生了巨大轉變．近年來，移動支付已成為主要支付方式之一．為了解某校學生上個月A，B兩種移動支付方式的使用情況，從全校學生中隨機抽取了100人，發現樣本中A，B兩種支付方式都不使用的有5人，樣本中僅使用A和僅使用B的學生的支付金額分布情況如下：

支付金額(元)支付方式 (0,1 000](1 000,2 000]大于2 000僅使用A18人9人3人僅使用B10人14人1人

(Ⅰ)(Ⅱ)略；

(Ⅲ)已知上個月樣本學生的支付方式在本月沒有變化．現從樣本僅使用A的學生中，隨機抽查3人，發現他們本月的支付金額都大于2 000元．根據抽查結果，能否認為樣本僅使用A的學生中本月支付金額大于2 000元的人數有變化？說明理由．

答案示例1:可以認為有變化.

理由如下:P(ξ)比較小，概率比較小的事件一般不容易發生.一旦發生，就有理由認為本月的支付金額大于2 000元的人數發生了變化.所以可以認為有變化.

答案示例2：無法確定有無變化.

理由如下：事件ξ是隨機事件，P(ξ)比較小，一般不容易發生，但還有可能發生，所以無法確定有無變化.

答案示例3：沒有變化.

理由如下：學校是一個相對消費穩定的地方，每個學生根據實際情況每個月的消費應該相對固定，雖發生了“小概率事件”，但人數相對不變.

這種結論“多樣性”的創新題，考查創新能力.三個答案大相徑庭，需要對具體問題提出不同見解，并說明理由.學生既可根據“小概率事件”來確定“正確”結論，又能結合現實情境(學校環境)來完成解答，不管是哪種均需較強的批判性思維和推理論證能力.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

解法一：

選擇條件①的解析：

選擇條件②的解析：

選擇條件③的解析：

這種“結構不良型”試題是對新高考“創新性問題”的探索.根據題目給出的兩個論斷，可以得到兩個不同的度量即距離的度量(邊)、角度的度量關系.結合題目給出的若干個條件，逐一驗證.

( )

A.若n=1，則H(X)=0

B.若n=2，則H(X)隨著p1的增大而增大

D.若n=2m，隨機變量Y所有可能的取值為1,2,…,m，且P(Y=j)=pj+p2m+1-j(j=1,2,…,m)，則H(X)≤H(Y)

答案：AC.

對于A選項，求得H(X)，由此判斷出A選項的正確性，凸顯基礎性；對于B選項，利用特殊值法進行排除，考查應用性；對于C選項，計算出H(X)，利用對數函數的性質可判斷出C選項的正確性，屬于綜合性的考查；對于D選項，計算出H(X),H(Y)，利用基本不等式和對數函數的性質判斷出D選項的正誤，強調所學知識的創新性應用.本題主要考查對新定義“信息熵”的理解和運用，考查分析、思考和解決問題的能力，涉及對數運算和對數函數及不等式的基本性質的運用，落實創新性的考查.

必備知識的考查變化三明確提出考查方式有所變化，減少對靜態知識的直接考查，而將考查重點放在能力和素養的培養過程中必須具備的可遷移的知識上.由此可見，多選題、邏輯思維題、數據分析題、舉例題、開放題等多種題型會逐漸出現在學生的視野，為“創新題”成為新高考的“常駐民”做好前期準備.

現階段“創新題”較多停留在純數學題命題形式變化上，隨著新高考的推行,創新性試題命制勢必會結合我國社會亟待解決的緊迫問題、科學技術前沿理論、工程技術領域的重大項目等進行編擬，使試題具備時代氣息和中國特色.貫徹高考對創新意識的要求.