揭開三道高考試題背后的“秘密”
——同構法求解函數問題

陜西 侯有岐

一、試題再現與簡解

題目1(2020·全國卷Ⅰ理·12)若2a+log2a=4b+2log4b，則

( )

A.a>2bB.a<2b

C.a>b2D.a

簡解：因為2a+log2a=4b+2log4b=22b+log2b，

而22b+log2b<22b+log2b+1=22b+log22b，

所以2a+log2a<22b+log22b.

令f(x)=2x+log2x，由指數、對數函數的單調性可得，f(x)在(0,+∞)上單調遞增，且f(a)

題目2(2020·全國卷Ⅱ·理11文12)若2x-2y<3-x-3-y，則

( )

A.ln(y-x+1)>0 B.ln(y-x+1)<0

C.ln|x-y|>0 D.ln|x-y|<0

簡解：由2x-2y<3-x-3-y，可得2x-3-x<2y-3-y.

令f(x)=2x-3-x，由指數函數的單調性可得，f(x)在R上單調遞增，且f(x)0.

因為y-x+1>1，所以ln(y-x+1)>ln1=0.故選A.

題目3(2020·新高考Ⅰ卷(供山東省使用)·21)已知函數f(x)=aex-1-lnx+lna.

(Ⅰ)當a=e時，求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積；

(Ⅱ)若f(x)≥1，求a的取值范圍.

(Ⅱ)由f(x)≥1，可得aex-1-lnx+lna≥1，即ex-1+lna-lnx+lna≥1，

亦即ex-1+lna+x-1+lna≥lnx+x=elnx+lnx.

令g(t)=et+t，則g′(t)=et+1>0，所以g(t)在R上單調遞增，

且g(x-1+lna)≥g(lnx)，所以x-1+lna≥lnx，即lna≥lnx-x+1.

當00，所以h(x)在(0,1)上單調遞增；

當x>1時，h′(x)<0，所以h(x)在(1,+∞)上單調遞減.

所以h(x)≤h(1)=0，所以lna≥0，所以a≥1.

故a的取值范圍為[1,+∞).

二、試題規律分析

在題目1中，通過添加常數1，進行放縮變形，使等式變為不等式，且不等式兩邊具有相同的f(x)=2x+log2x結構；在題目2中，經過移項變形，使不等式兩邊具有相同的f(x)=2x-3-x結構；在題目3中，經過指對轉換、移項變形，使不等式兩邊具有相同的g(t)=et+t結構.然后利用函數的單調性就可以順利解決問題.

共同規律：首先將題目中的等式或不等式經過適當的整理變形，表示成兩側具有相同的結構，然后利用這個結構式構造相對應的函數，再利用函數單調性解題，我們通常稱這種解題方法為“同構”.

三、常見的同構類型及應用舉例

研究近幾年的高考真題和模考題，可歸納同構的常見類型和技巧如下.

類型一：地位同等要同構，主要針對雙變量

含有地位同等的兩個變量x1,x2，或x,y的等式或不等式，如果進行整理(即同構)后，等式或不等式兩邊具有結構的一致性，往往暗示應構造函數，應用單調性解決.

【感悟】(1)對于含有二元變量x1,x2的函數，可以使變量x1,x2分別位于不等式兩邊，呈現出不等式左右兩邊結構一樣的對稱形式，便于構造函數模型解決問題.

(2)若a≤x1g(x1)在[a,b]上恒成立?g(x)在[a,b]上單調遞增，所以g′(x)≥0在[a,b]上恒成立.

(3)含有二元變量x1,x2的函數，常見的同構類型有以下幾種：

①g(x1)-g(x2)>λ[f(x2)-f(x1)]?g(x1)+λf(x1)>g(x2)+λf(x2)，構造函數φ(x)=g(x)+λf(x)；

【變式1】設函數f(x)=x2+ln(x+1).

當x≥1時，h′(x)≥0，所以函數h(x)在[1,+∞)上單調遞增.

由已知，不妨設1≤x1

類型二：指對跨階想同構，同左同右取對數

對于一個指數、直線、對數三階的問題可以通過跨階函數的同構，轉化為兩階問題解決.通常在一些求參數的取值范圍、零點個數、證明不等式中應用跨階同構來快速解題.跨階同構需要構造一個母函數，即外層函數，這個母函數需要滿足：①指對跨階；②單調性和最值易求.

當0e時，h′(x)>0，h(x)在(e,+∞)上單調遞增.因此h(x)min=h(e)=e，所以-a≤e，a≥-e.

所以，實數a的最小值為-e.

【感悟】指對跨階同構的基本模式有：

(1)積型：aea≤blnb，一般有三種同構方式：

①同左：aea≤blnb?aea≤(lnb)elnb，構造函數f(x)=xex；

②同右：aea≤blnb?ealnea≤blnb，構造函數f(x)=xlnx；

③取對數：a+lna≤lnb+ln(lnb)，構造函數f(x)=x+lnx.

說明：在對“積型”進行同構時，取對數是最快捷的，而且同構出的函數，其單調性一看便知.

③取對數：a-lna

(3)和差型：ea±a>b±lnb，一般有兩種同構方式：

①同左：ea±a>b±lnb?ea±a>elnb±lnb，構造函數f(x)=ex±x；

②同右：ea±a>b±lnb?ea±lnea>b±lnb，構造函數f(x)=x±lnx.

【變式2】下列說法正確的是________.

類型三：無中生有去同構，湊好形式是關鍵

對于有些式子無法直接進行變形同構，往往需要湊常數、湊參數或湊變量(如：同乘x或同加x)等方式轉化為類型二解決.

【例3】(2019·衡水金卷)已知a<0，不等式xa+1·ex+alnx≥0對任意的實數x>1恒成立，則實數a的最小值是

( )

【感悟】此種類型常見模式有：

(1)式子兩邊同乘x.如aeax>lnx，一般在式子兩邊同乘x(無中生有)，變形為axeax>xlnx，后面的轉化同類型二(1).

【變式3】(2020·安徽六安一中模考)已知函數f(x)=ex-aln(ax-a)+a(a>0)，若關于x的不等式f(x)>0恒成立，則實數a的取值范圍為

( )

A.(0,e] B.(0,e2)

C.[1,e2] D.(1,e2)

類型四：同構放縮需有方，切放同構一起上

對解決有些指對混合不等式問題，往往要結合切線放縮，或換元法，進行局部同構，這樣可以大大降低這類問題的難度，但要注意取等號的條件以及常見變形等.

【例4】已知函數f(x)=x·ex-a(x+lnx+1)，若f(x)≥0恒成立，則正數a的取值范圍是________.

【解析】由題意得f(x)=ex+lnx-a(x+lnx+1)≥0，

①當x+lnx+1≤0時，恒成立；

所以0

【感悟】同構基礎上的切線放縮模型常見的有：

(1)ex≥x+1,ex≥ex型：

xex=ex+lnx≥x+lnx+1,xex=ex+lnx≥e(x+lnx)；

xnex=ex+nlnx≥x+nlnx+1，xnex=ex+nlnx≥e(x+nlnx).

x+lnx=ln(xex)≤xex-1，x+lnx=ln(xex)≤xex-1；

x+nlnx=ln(xnex)≤xnex-1，x+nlnx=ln(xnex)≤xnex-1.

【變式4】已知函數f(x)=x·ex+e-a(x+lnx+1)，若f(x)≥0恒成立，則正數a的取值范圍是________.

【解析】由題意得f(x)=ex+lnx+e-a(x+lnx+1)≥0，

①當x+lnx+1≤0時，恒成立；

所以0