平穩過渡，兼具創新
——2020年江蘇高考數學試題評析與啟示

江蘇 孟 彪

2020年是江蘇省高考自主命題的收官之年，自2008年以來江蘇卷已匆匆走過13載，經過13年的不斷摸索和創新，2020年江蘇省高考數學試卷讓人耳目一新，縱觀整卷，試題大氣、結構穩定、內容創新、思想內斂.試題以《2019年普通高等學校招生全國統一考試大綱的說明》(以下簡稱《考試說明》)為綱，圍繞新課程的理念，立足教情和學情實際，科學有效地考查了考生的基本數學素養和能力，突出反映了高考立德樹人、服務選才、引導教學的核心立場.全卷渾然天成，層層遞進，清新自然，是一份難得的佳作.

1.試卷整體評價

“平穩過渡、兼具創新”是今年江蘇卷數學試題的顯著特點.試題在基礎知識、基本技能、基本思想和基本活動經驗方面全面兼顧，試題中問題的呈現樸實但又不失新穎，選材寓于教材而又高于教材，有力地踐行了新課程下的數學教學改革，發揮了積極的導向作用.試題立足數學學科本質，立足學科整體選材，根據數學A、B、C知識等級設定考查權重，追求合理的知識結構和能力層次，整個試卷層次分明，試卷以《考試說明》為綱，試題均采用起點低、入口寬、多層次、高立意的方式，以期獲得較好的梯度和區分度.不僅注重考查基礎知識，也突出考查主干內容，既全面考查數學核心素養，又綜合考查基本能力.在肯定和堅持2018、2019年成功命題的基礎上，對試題的難度和區分度做了一定的微調，以進一步優化整張試卷的結構，有利于指導中學教學與改革，有利于高校選拔人才，具有濃厚的江蘇特色.

1.1結構穩定，特色鮮明

試卷堅持了自2008年起的成功經驗，即江蘇省高考數學Ⅰ卷采用“14道填空題+6道解答題”的題型結構并延續至今.試題涵蓋了《考試說明》中要求的主要內容，從整體結構上看，試卷包含了《考試說明》(必做題部分)中的全部8個C級考點(要求掌握)，38個B級考點(要求理解)中的35個，25個A級考點(要求了解)中的19個；從考查的內容上看，高中數學的主干知識，如向量與三角、立體幾何、解析幾何、數列、函數等仍然是支撐整份試卷的主體內容，這五大塊內容和數學應用題構成試卷中六道解答題.真正做到重要知識點重點考查的命題方式，有利于對一線教師的正確引導，有利于一線師生在備考中做到方向明確、重點突出，實現科學備考.

自2008年以來，江蘇卷的填空題中1～8題是基礎題，主要考查集合、復數、算法、統計、概率、方差(標準差、平均數)等，9～11題是中檔題，12～14題是把關題，9～14題主要考查8個C級考點，即兩角和與差的正余弦、正切公式，平面向量、等差數列、等比數列、基本不等式、一元二次不等式、直線方程、圓的方程以及函數知識.

江蘇卷主觀題的命題規律更強，考題具有試題位置和內容相對穩定兩大特點.今年也不例外，第15題考查線面平行和面面垂直的證明，第16題考查解三角形及三角恒等變換，第17題考查成本問題的應用題，第18題考查直線與圓錐曲線的位置關系，第19題考查函數與導數、不等式綜合問題，第20題考查數列新定義，等差、等比兩類基本數列及其綜合應用.

1.2回歸教材，貼近實際

試卷中有一部分試題是通過對課本例題、習題、探究問題改編而來，試題呈現方式常規、不落俗套，配圖規范美觀，閱讀無障礙，解題無陷阱，考查的就是教和學的基礎知識和基本方法.如試卷的1～10題、15～16題、17～20題第一問，以及附加卷的第21,22題等主要是對基礎知識、基本方法的直接考查，計算量小，思維度低，基本是數學知識的直接再現，沒有陷阱也沒有為難學生.中檔題和把關題11～14題，難度逐漸增加，貼近學生實際能力，但整體難度較去年有所降低.把關題第19(3)，20(3)難度大，雖然問題也是熟悉的知識背景，側重考查邏輯推理能力，但大部分學生無法順利做出，成功體現了高考選拔性原則，對中學數學教學具有良好的導向作用.

例1.(2020·江蘇卷·11)設{an}是公差為d的等差數列，{bn}是公比為q的等比數列，已知數列{an+bn}的前n項和Sn=n2-n+2n-1(n∈N*)，則d+q的值是________.

分析：本題主要考查等差數列和等比數列的前n項和公式，該試題來源于蘇教版必修5數學教材2.2.3節和2.3.3節等差數列和等比數列前n項和公式的特點.

1.3試題平和，方法多樣

縱觀整張試卷，可以發現全卷試題平和，背景樸實.客觀題中，即使是填空題中的把關題，第12～14題，考查的也是通性通法，難度較往年偏低.雖然試題平和，但是把關題設計靈活、解法多樣，不同層次的學生根據自己的實際能力可以選擇不同的解法.但若思想方法選擇恰當，則過程簡潔、計算量小，表現出的數學能力就強.真正地體現了多考一點想的，少考一點算的.

例2.(2020·江蘇卷·12)已知5x2y2+y4=1(x,y∈R)，則x2+y2的最小值是________.

分析：本題考查了基本不等式在求最值問題中的應用，利用基本不等式求最值時，一定要正確理解和掌握“一正，二定，三相等”，本題可以從多角度進行破解，方法如下：

1.4強調通法，凸顯思想

試題平和，強調通性通法的考查，加強對中學數學知識中所蘊含的基本數學思想方法的考查；試題入口寬，易上手，由簡到繁，層層遞進.試題對學生的基本思想的考查有深刻的體現，如第10,13,14,16，17，18，19題考查數形結合的思想；第19(2),20(3)題考查分類與整合的思想；第6，12,13，17,18,20題以及第22題附加題考查函數與方程的思想；第7,8,11,12，14，19,20題以及第23題附加題考查化歸與轉化的思想.

分析：本題考查垂徑定理、利用導數求最值，考查綜合分析及運算求解能力.近幾年江蘇卷高考題中直線與圓的考查很具有規律性，2015～2018年考查的是隱形圓，而2019～2020年考查的是明圓.本題作為填空題的壓軸題，入口較寬，方法多樣，但是若設計的解題程序合理，則可達到事半功倍的效果.幾種處理方法如下：

方法1.利用平面幾何關系，將面積問題轉化為關于長度或者角度的函數問題，求解函數最值即可，方法如下：

連接PC，PA=PB,CA=CB,所以PC⊥AB，延長PC交AB于點D.

當然，本題還可以直接用解析幾何方法處理，即聯立方程、利用韋達定理、弦長公式求解，雖然思路簡單，但計算量太大，作為填空題不提倡，此處不再呈現.

1.5能力立意，適度創新

高考命題的一貫指導思想是“能力立意，科學選才”.江蘇省高考數學《考試說明》提出的“數學基本能力”是指：抽象概括、空間想象、運算求解、推理論證和數據處理.2020年江蘇卷對數學基本能力的考查貫穿始終，如第3,5題主要考查數據處理能力；第6，8,10,13,14，18題主要考查運算求解能力；第10,15,23題主要考查推理論證和空間想象能力；第14,18～20,23題綜合考查了抽象概括、推理論證和運算求解能力.《考試說明》中也明確要求注重考查學生的應用意識，17題應用題主要考查學生數學建模的應用能力.而數學能力的考查主要體現在思維能力的考查，即思維的深度和廣度的考查.

創新也是高考命題的指導思想，命題既要遵循課標，符合考生實際，又要以恰當載體對學生的創新能力、綜合能力和核心素養進行考查.如第19題推陳出新，其新意主要體現在題干中函數為多項式函數，還涉及“夾逼”思想，具有高度抽象性，但考查的內容還是高中階段的切線問題、不等式恒成立問題、導數證明不等式問題，本題將函數、方程、導數、不等式等有機融合，體現了在“知識點交匯處命題”的思想，凸顯思維和能力考查，體現較好的創新性.第20題為數列綜合題，是數列新定義題，以新定義為載體，將新定義的“λ～k”數列與等差、等比數列結合，主要考查等差、等比數列的定義、通項公式等基礎知識，考查推理論證、運算求解及綜合運用數學知識探究與解決問題的能力，考查學生的創新意識、考查化歸與轉化的思想.19,20題均采用問題串的命題形式，注重梯度，層層遞進，第一問簡單，第二問難度中等，設問和方法常規；第三問難度較大，但方法有繼承性、發展性，對思維和能力的要求較高，對于數學成績優秀的學生也有一定的挑戰性，有較好的區分度.這種設問方式為不同水平的考生均提供了發揮空間，踐行了“人人都能獲得良好的數學教育，不同的人在數學上得到不同的發展”的理念.

分析：本題主要考查利用導數證明不等式，考查分類討論的數學思想方法，難度較大.先由f(x)≥h(x)，求出|t|的取值范圍，由方程g(x)-h(x)=0的兩個根，求得n-m的表達式，利用導數證得不等式成立.

令M(x)=x2+2tx+3t2-2，

當00,-1<-t<1，

當1≤t2≤2時，Δ=-8t2+8≤0，

設4x2-4(t3-t)x+(3t2+4)(t2-2)=0的兩根為x1,x2，

構造函數P(λ)=λ3-5λ2+3λ+8(λ∈[1,2])，P′(λ)=3λ2-10λ+3=(λ-3)(3λ-1)，

所以當λ∈[1,2]時，P′(λ)<0，P(λ)單調遞減，P(λ)max=P(1)=7.

2.對高中數學教學的啟示

2.1用好教材，夯實基礎

江蘇省高考卷十分重視基礎知識、基本技能、基本思想方法和基本活動經驗的考查，有相當一部分試題源于教材.在新授課時必須嚴格按照課程標準、教學要求，引導學生重視基礎，落實數學學科本質，啟發學生從現象到本質，從孤立到系統的辨析數學概念，理解數學本質，感悟數學思想.在教學過程中學生不僅要學習新知識，更要形成基本的數學思維模式，教師要利用好教材資源，要充分挖掘教材中蘊含的數學思想方法，讓學生感受知識生成、生長的過程，真正培養學生的數學思維能力.

2.2立足課堂，提升素養

《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂)》將數學核心素養確定為數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象、數據分析.數學核心素養是高于數學知識的思維品質和關鍵能力，而數學核心素養的主陣地就是課堂.因此，在課堂教學過程中要有意識地培養學生發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力.引導學生構建新舊知識之間的聯系，如試卷第11題，考查等差、等比數列前n項和公式的特點，在課堂教學時，可以把等差數列與一元一次函數，等差數列前n項和與一元二次函數建立關系；等比數列、等比數列前n項和與指數函數建立關系.只有在平時的課堂教學中，樹立以發展學生數學核心素養的教學意識，讓數學核心素養根植于課堂，才能優化課堂教學，提高課堂效率.

2.3重視探究，激活思維