淺談與平面向量交匯問題的例題解析

甘肅 何偉軍

向量融數形于一體，具備數形兩方面的特征，體現了數形結合思想，常與三角函數、平面幾何、解析幾何等內容融合形成交匯題.圍繞“交匯性”設置的數學問題，兼顧基礎與能力，命題新穎別致，情境自然流暢，能夠促進學生的數學思維發展，有力地提升學生的數學核心素養.

一、與平面幾何的交匯

平面向量與平面的基本圖形(三角形、四邊形、正六邊形等)結合為背景設計問題，既考查向量的概念與運算，又考查向量知識在平面幾何中的運用.問題解決一從向量“形”的特征入手，選擇不共線非零向量為基底；二從向量“數”的特征入手，即建立適當直角坐標系，用坐標法解決.

解析：因為AE=BE，AD∥BC,∠A=30°，所以在等腰△ABE中，∠BEA=120°，

二、與二次函數的交匯

向量與函數交匯，涉及平面向量的數量積與模，用向量的語言與方法重新審視“數學運算”的對象、法則、方法，結果非常明晰.考查重點仍然是函數的概念、圖象和性質及數學運算能力.

三、與導數的交匯

以平面向量的數量積為背景，綜合設置問題，方式多樣靈活.求解需注意分步進行“邏輯推理”，化未知為已知，運用“數學抽象”具體化解答，并借助導數這一重要解題工具進行“數學運算”的問題處理.

(1)點A，B的坐標；

(2)動點Q的軌跡方程.

解析:(1)令f′(x)=-3x2+3=0，解得x=1或x=-1.易知函數f(x)在x=-1處取得極小值,在x=1處取得極大值,故x1=-1,x2=1,f(-1)=0,f(1)=4.所以A(-1,0),B(1,4).

即m2+n2-4n-5=0.①

又因為點Q是點P關于直線y=2(x-4)的對稱點，所以由對稱的性質得

評注：本題運用導數通過求函數的極值得到點的坐標，再以平面向量的數量積和點的對稱為已知條件，采用相關點法求出動點Q的軌跡方程，多個知識點相交匯，形成提升學生思維品質、考查綜合運算能力的試題.

四、與三角函數的交匯

與三角函數交匯是高頻考點，包括與三角函數化簡、求值和證明的交匯、與解三角形的交匯、與三角函數的圖象及性質的交匯等.題型精巧獨到，加強考查雙基知識，同時潛在考查“邏輯推理、數學運算”核心素養.

【例4】已知向量a，b滿足|a|=1,|b|=2，則|a+b|+|a-b|的最小值是________，最大值是________.

評注：本題實質是求三角函數的最值，以向量模“建臺”，共線定理、垂直、數量積、夾角等“搭臺”，模的運算“唱戲”，是這類平面向量交匯性問題的共性.如2015年廣東卷理第16題，2015年江蘇卷第14題，2015年山東卷文第13題，2017年江蘇卷第16題，主要考查學生基礎題型識別與綜合應用能力.

五、與不等式的交匯

與不等式的交匯，常利用數量積的不等關系，涉及有關模的問題，采用平方法轉化為向量的數量積進行“數學建模”解決問題.另外，向量的坐標法可將抽象的邏輯推理轉化為單純的向量的坐標運算，凸顯復雜的字母運算的能力和化歸與轉化的數學思想.

( )

A.∠ABC=90° B.∠BAC=90°

C.AB=ACD.AC=BC

整理可得x2-(a+2)x+a+1≥0恒成立，所以Δ=(a+2)2-4(a+1)≤0，即a2≤0，所以a=0，即C在AB的垂直平分線上，所以AC=BC，故△ABC為等腰三角形，故選D.

所以Δ=(a+1)2-4a=(a-1)2≤0，又(a-1)2≥0，所以a=1，即HB=2，即H是AB的中點，故△ABC是等腰三角形，所以AC=BC，故選D.

六、與線性規劃的交匯

向量與線性規劃的交匯常以線性約束條件為載體，以數量積為目標函數求最值，既考查識圖作圖能力，又考查線性規劃知識.突破口轉化數量積為線性目標函數，通過“數形結合、直觀想象”進行“數據分析”將問題解決.

( )

A.[-1,0] B.[0,1]

C.[0,2] D.[-1,2]

解析1：作出滿足線性約束條件的平面區域，如圖,

將平面區域的三個頂點坐標分別代入平面向量數量積公式

七、與數列相關知識的交匯

向量與數列、不等式的交匯問題，既有向量的模、夾角和數量積等基礎題,也有“抽象”性較強，“數學字母”運算多，思維能力要求高的綜合題.在解題中通過向量間的等量關系，進行“數學建模”(即數列模型)，再利用數列知識進行“邏輯推理”將問題解決，其突破方向側重于向量的代數運算或幾何意義.

(1)若xn+1=f(xn)(n∈N*)，求f(x)的表達式；

八、與平面解析幾何交匯

此類問題通常是以解析幾何為載體，以向量為工具，進行“數學建模”，考查涉及夾角、平行、垂直、共線、軌跡等問題的處理.依文畫出草圖，找準題設條件中突顯或隱含的等量關系、向量語言，將這種“數學抽象”關系進行邏輯推理并“翻譯”出來，將幾何問題坐標化、符號化、數量化，從而將“邏輯推理”轉化為“數學運算”，最后用“數據分析”回答問題，體現了穩中求新的命題視角，整個過程突出對數學核心素養的考查.

(1)求點P的軌跡方程；

評注：本題以橢圓為載體，平面向量等量關系、數量積等為已知條件，考查代入(相關點)法求軌跡方程和證明直線過定點問題.平面向量與平面解析幾何交匯，歷來深受命題專家青睞，圓錐曲線中涉及平行、垂直、三點共線、角等相關問題，均可在向量為工具的新情景下設計問題，精巧結合，求解此類問題的關鍵是把有關向量的問題轉化為解析幾何問題.平面向量與圓錐曲線交匯客觀題、主觀題都有，又如2018年全國卷Ⅲ第20題第(2)問.解答題難度不低，在復習中應該重點突破.

九、與概率的交匯

向量與概率交匯試題背景新穎，把向量概念融合到有關知識中，綜合性強.這類問題的解決需要縝密分析，將“數學抽象”具體化歸與轉化，列舉結果，進行“數據分析”,最后利用相應的概率模型將問題解決.

【例9】設平面向量am=(m,1)，bn=(2,n)，其中m,n∈{1,2,3,4}.

(1)請列出有序數組(m,n)的所有可能結果；

(2)記“使得am⊥(am-bn)成立的(m,n)”為事件A，求事件A發生的概率.

解析：(1)易知，有序數組(m,n)的所有可能結果為(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4).

(2)由am⊥(am-bn)得m2-2m+1-n=0，

即n=(m-1)2.

評注：本小題主要考查古典概型、平面向量垂直等基礎知識；考查運算求解能力、“數學建模”的應用意識，考查化歸與轉化思想、必然與或然思想.