高三壓軸題講評，講好思維的“卡殼”處
——以2020屆成都三診理科數學第20題解法探究為例

四川 張 君

高三壓軸題講評，要順應學生思維慣性，及時抓住學生思維“卡殼”處，和學生一起深度研究，找準“卡殼”原因，突破“卡殼”思維，幫助學生走出困境，跳出題海，贏得勝利！

1.試題

已知函數f(x)=aex-m，其中a,m∈R.

(1)當a=m=1時，設g(x)=f(x)-lnx，求函數g(x)的單調區間；

(2)當a=4，m=2時，證明：f(x)>x(1+lnx).

試題為成都市2020屆高中畢業班第三次診斷性檢測數學理科第20題，題干設置有兩問，有難度梯度，背景常規，但內涵豐富、切入點多、解法靈活、區分度高,常規中見新奇，是一道非常具有講評和研究價值的函數壓軸題.

2.分析“卡殼”原因，講好思維“卡殼”處

考后筆者分析學生答卷，第(1)問答得非常好，第(2)問成了本次考試的“重災區”！與部分學生交流得知，第(2)問是一道函數不等式的證明題，問法常規，容易尋找解題思路，但出現了思維“卡殼”，深入下去較難，加上考試時間有限，沒有寫出完整、嚴謹的解題過程.經過具體分析，第(2)問出現思維“卡殼”的思路主要有兩種：

2.1“卡殼”思路一：變形作差，構造新函數，用隱零點研究

當a=4，m=2時，f(x)=4ex-2，

要證f(x)>x(1+lnx)，

即證4ex-2>x(1+lnx).

令g(x)=4ex-2(x-1)-x(x>0)，

則g′(x)=4xex-2-1，

因為g″(x)=4ex-2(x+1)>0，所以g′(x)在(0,+∞)上單調遞增，

所以當x∈(0,x0)時，g′(x)<0，g(x)單調遞減；

當x∈(x0,+∞)時，g′(x)>0，g(x)單調遞增.

而g(1)=-1<0，g(2)=2>0，

思路一“卡殼”原因：放大了隱零點x1的范圍，怎樣恰當地縮小x1的范圍是此種思路突破的難點.因為p(x)在(1,2)上單調遞減，所以我們只需要考慮區間右側，尋找一個比2小且比x1大的數n，使得p(n)>0.我們可以通過二分法，嘗試尋找逼近x1的n，解法探究如下：

2.2“卡殼”思路二：移項作差，直接構造函數，用隱零點研究

要證f(x)>x(1+lnx)，只需證4ex-2>x(1+lnx).

所以當x∈(0,x0)時，h″(x)<0，所以h′(x)單調遞減；當x∈(x0,+∞)時，h″(x)>0，所以h′(x)單調遞增.

所以當x∈(0,x1)和x∈(x2,+∞)時，h′(x)>0，所以h(x)單調遞增；當x∈(x1,x2)時，h′(x)<0，所以h(x)單調遞減.

由h′(x2)=0，即4ex2-2=lnx2+2，得h(x)的極小值h(x2)=4ex2-2-x2(1+lnx2)=lnx2+2-x2(1+lnx2)，

即證得f(x)>x(1+lnx).

評注：移項作差直接構造函數，函數結構復雜，三次用到隱零點，還要構造不等式放縮，對學生能力要求高，難度非常大，深入做下去的學生很少.通過與思路一比較，讓學生體會到變形構造比直接構造更簡潔，要學會恰當合理的構造函數.

3.進一步解法探究

思路一、二是證明不等式常見的構造方法，思路簡單，但所構造的函數結構復雜，計算量大，耗時過多，同時要構造不等式進行放縮，技巧性強，不易想到.在了解學生思維“卡殼”處的基礎上，和學生一起再次探究，分析錯因，尋找突破,走出困境，讓學生明白不同的思路選擇，其解答過程的復雜程度不一樣，要學會選擇.有沒有更好的解題思路，正是這道題研究的價值所在.

3.1思路三：一分為二，凹凸性的反轉

要證f(x)>x(1+lnx)，

只需證4ex-2>x(1+lnx).

當x∈(0,2)時，h′(x)<0，所以h(x)單調遞減；當x∈(2,+∞)時，h′(x)>0，所以h(x)單調遞增.

所以h(x)min=h(2)=1.

當x∈(0,1)時，φ′(x)>0，所以φ(x)單調遞增；當x∈(1,+∞)時，φ′(x)<0，所以φ(x)單調遞減.

所以f(x)>x(1+lnx).

評注：通過在所證不等式兩邊同時除以x2，構造兩個凹凸性相反的函數，滿足h(x)min≥φ(x)max，且不在同一點處取等號，從而使問題得到快速解決.此法簡潔、新穎，讓學生感受到恰當構造函數的重要和美妙！

3.2思路四：函數隔離法

要證4ex-2>x(1+lnx)，

只需證4ex-2≥x2≥x(1+lnx)，

先證右邊：x2≥x(1+lnx)，即證x≥1+lnx，

再證左邊：4ex-2≥x2(x>0)，對此不等式，有如下構造證明方法：

方法1：移項直接構造差函數

令q(x)=4ex-2-x2(x>0)，

則q′(x)=4ex-2-2x，

令p(x)=q′(x)，則p′(x)=2(2ex-2-1)，

由p′(x)=0，得x=2-ln2，

所以當x∈(0,2-ln2)時，p′(x)<0，q′(x)單調遞減；當x∈(2-ln2,+∞)時，p′(x)>0，q′(x)單調遞增.

又q′(2)=0，所以當x∈(0,x0)和x∈(2,+∞)時，q′(x)>0，q(x)單調遞增；當x∈(x0,2)時，q′(x)<0，q(x)單調遞減.

所以4ex-2≥x2≥x(1+lnx)，因為不等式左右兩邊不在同一點取等，所以4ex-2>x(1+lnx).

方法2：取對數，化指數為對數

要證4ex-2≥x2(x>0)，只需證ln(4ex-2)≥lnx2，即證：ln4+x-2≥2lnx，

令t(x)=ln4+x-2-2lnx，

所以當x∈(0,2)時，t′(x)<0，t(x)單調遞減；當x∈(2,+∞)時，t′(x)>0，t(x)單調遞增.

所以t(x)min=t(2)=ln4+2-2-2ln2=0，所以t(x)≥0，即4ex-2≥x2(當且僅當x=2時取等).原式得證.

方法3：合理變形，構造商函數

當x∈(0,2)時，h′(x)<0，所以h(x)單調遞減；當x∈(2,+∞)時，h′(x)>0，所以h(x)單調遞增.

所以h(x)min=h(2)=1，所以h(x)≥1，即4ex-2≥x2(當且僅當x=2時取等).原式得證.

評注：在所證不等式中間插入一個函數，實現兩個函數的隔離，把問題轉化成證明兩個相對比較簡單的不等式，化繁為簡，跳出泥潭，使問題得到順利解決.用三種不同方法對左邊不等式4ex-2≥x2進行構造證明，再次讓學生感受到構造在函數不等式證明中的魅力！

3.3思路五：利用切線不等式放縮

令h(x)=ex-x-1，則h′(x)=ex-1，

所以h(x)在(-∞,0)上單調遞減，在(0,+∞)上單調遞增，

所以h(x)≥h(0)=0，即ex≥x+1(當且僅當x=0時取等).

用x-1替換x得ex-1≥x(當且僅當x=1時取等)，

用lnx替換ex≥x+1中的x得x≥lnx+1(當且僅當x=1時取等)，

因為x>0，所以x2≥x(lnx+1)(當且僅當x=1時取等)②，

由①②式得，4ex-2≥x2≥x(1+lnx)，由于兩式不在同一點處取等號，

所以4ex-2>x(1+lnx)，

所以f(x)>x(1+lnx).

評注：通過兩個相關聯的切線不等式ex≥x+1和x≥lnx+1的替換、放縮，巧妙證明目標不等式，此法對學生的數學素養要求較高，解法很有創新性，值得學習、思考.

4.教后反思

思路一、二通過移項作差、構造和變形作差直接構造新函數，是函數不等式證明的通性通法，學生入手容易深入難，這也正是高考壓軸題的常見命題手法，對學生的能力和素養要求高、區分度強.講評時順應學生的思維慣性，通過通性通法的研究，深度剖析題目本質，挖掘試題的思想和方法，找準學生思維“卡殼”的原因，認清命題陷阱，尋求思維突破.

思路三、四、五通過一題多解，深刻體會題目內涵及命題意圖，進行思路引導，多視角分析，合理構造、放縮，提出更加自然、簡潔、美妙、創新的解法，從而突破“卡殼”思維，幫助學生走出困境、跳出題海.