IGM-FM串聯模型在高鐵路基沉降預測中的應用

張獻州，夏晨翕，陳 霄，蔣英豪，陳建營

(1. 西南交通大學 地球科學與環境工程學院，四川 成都 611756;2. 高速鐵路運營安全空間信息技術國家地方聯合工程實驗室，四川 成都 611756)

0 引 言

我國首條高速鐵路——京津城際，開通運營距今已十年，在工程建設、裝備制造、運營管理等方面建設者們積累了不少經驗。為了保障高速鐵路高平順、高穩定運行，對于路基、橋涵、隧道等線下工程的工后沉降近乎苛刻，在設計建設中甚至有“工后零沉降”的理念。高速鐵路路基變形嚴重制約列車行車速度，對沉降變形標準歷經了認識-實踐-再認識的過程。高速鐵路路基沉降初期沉降速率快，沉降量大，后期趨于穩定，總體呈現“變形量級小、數據相對波動大”的特點，根據Q/CR 9230—2016《鐵路工程沉降變形觀測與評估技術規程》(下簡稱《規程》)將適用于路基段的評估指標總結于表1。此外，沉降過程管理中的監測時間、監測頻次，設計總沉降量和最終沉降量等也是重要評估指標。

表1 無砟軌道路基沉降評估過程指標

路基沉降預測方法主要有3類：理論公式法、數值計算法和以實測數據為基礎的曲線回歸法。《規程》中推薦了包括雙曲線法[2]、三點法、指數曲線法、Asaoka法等國內外比較成熟曲線回歸法，及灰色系統、神經網絡在內的系統理論法[3]。

因基準點和工作基點修正、施工破壞、測點轉移、接管等情況造成的沉降監測點前后兩期數據差異變化的情況稱為斷高。這種異常處理不當會影響高速鐵路路基工程沉降評估的判斷和分析，當前修正斷高普遍采用“歸零法”，即假設在斷高時無沉降量產生，將當期觀測成果歸零處理。葉茂[4]提出卡爾曼濾波迭代法，分別使用高程數據和高差數據來修復斷高，以此提高了預測精度。高速鐵路路基沉降監測數據屬于時序數據，上述各情況產生的斷高可視為確定監測時間序列下連續數據缺失。為避免沉降監測數據的浪費和重要監測信息的缺失，綜合考慮沉降速率、施工工況和時間間隔等因素的影響，利用斷高數據相鄰期實測沉降量建立插值函數來補全斷高當期數據。

1 改進GM(1,1)模型

灰色系統能夠有效解決呈“小樣本、貧信息”的不確定數據，傳統GM(1,1)模型建模步驟如下：

1)將樣本序列x0=(x0(1),x0(2),…,x0(n))一次累加生成，以弱化其隨機性得到1—AGO序列如式(1)：

x1=(x1(1),x1(2),…,x1(n))

(1)

2)由式(1)得白化微分方程如式(2)：

(2)

式中：α為發展系數，μ為灰作用量。

3)GM(1,1)模型的灰微分方程如式(3)：

x0(k)+α·z1(k)=μ

(3)

式中：背景值z(1)(k)為x(1)的均值序列如式(4)：

(4)

4)將白化微分方程積分，利用最小二乘法求解參數α和μ，得到響應序列如式(5)：

(5)

5)利用一次累減得到還原序列如式(6)：

(6)

構建的GM(1,1)模型是否適用于中長期預測，視發展系數α的大小而定。當-α≤0.3時，GM(1,1)模型適用于中長期預測，當0.3≤-α≤0.5時，GM(1,1)模型適用于短期預測。

以上為傳統GM(1,1)模型建模過程，其存在的不足為3個方面：

1)傳統GM(1,1)模型適用于等時距觀測序列，現場釆集的觀測序列一般很難達到等時距要求；

2)傳統GM(1,1)模型以x1(1)作為迭代初值有兩個缺陷缺：①由最小二乘計算之后，擬合曲線并不都通過點(1,x1(1))；②x1(1)是樣本序列中第一個值，并不通過累加生成產生，規律性不強且與未來預測數據時間關聯度最不密切；

3)傳統GM(1,1)模型以緊鄰的2個1-AGO數據均值作為背景值的構造雖然簡單，但對劇烈變化的序列適應性差[5]。

針對上述缺點，筆者分別進行優化。

1.1 非等時距GM(1,1)模型構建

構建非等時距GM(1,1)模型的思想是以觀測序列的時間間隔作為乘子。記觀測序列時間間隔為Δki=ki-ki-1≠const(i=2,3,…,n)，則：

(7)

最小二乘法進行求解待估參數如式(8)：

[α,μ]T=(BTB)-1BTY

(8)

式中：

在初始條件x1(k1)=x0(k1)下，解得時間響應序列，一次累減后還原值如式(9)：

(9)

1.2 基于背景值的優化

對區間[k-1,k]上的白化微分方程積分，如式(10)：

(10)

式(10)與式(3)比較，誤差來源主要是應為背景值z1(k)的構造不同造成。傳統GM(1,1)構造的背景值z1(k)實則為圖1中梯形abcd的面積，GM(1,1)模型擬合曲線所圍成曲邊梯形面積與梯形abcd面積值差值為ΔS。當樣本序列變化平緩時，背景值z1(k)接近于實際面積，誤差可忽略，認為構造的背景值合適。

1)令：

(11)

構造齊次指數函數如式(12)：

x1(t)=ReAt

(12)

帶入式(11)得式(13)：

(13)

(14)

將式(14)帶入式(13)得式(15)：

(15)

式(15)即為基于齊次指數函數的背景值優化模型。

1.3 基于迭代初值的優化

在傳統模型中調整或修改迭代初值優化。通過最小二乘原理優化初值和添加初值修正因子[9-10]。筆者充分利用已占用的“最少信息”，對原初始值x0(1)增加一個修正參數λ作為迭代初值，將其帶入GM(1,1)的響應函數后經過還原，則非等時距GM(1,1)預測新模型如式(16)[11]：

(16)

(17)

求微分后得式(18)：

(18)

式(18)計算可得式(19)：

(19)

1.4 新陳代謝GM(1,1)模型

高速鐵路路基沉降變形數據中，距預測期次越遠的數據預測效果越差.建立新陳代謝GM(1,1)模型目的為：剔除不能體現系統當前特性的最老信息x0(1)，置入最新信息x0(n+1)，用新組成的一組數據序列進行預測[12]。

筆者將經過上述基于齊次指數函數的背景值優化和初值修正的非等時距GM(1,1)模型稱為IGM(1,1)模型(improved grey model)。IGM(1,1)模型屬于修正后的指數函數模型，可以較好地擬合高速鐵路路基沉降監測數據的變化趨勢。

1.5 精度檢驗

IGM(1,1)模型預測完成后需作精度檢驗，相對誤差和后驗差檢驗指標為[13]：

根據驗差比值和小誤差概率的值，與表2對比檢驗IGM(1,1)精度。

表2 模型精度等級

2 傅里葉變換修正IGM(1,1)模型

對IGM(1,1)模型的預測殘差作傅里葉變換(FFT)，可以有效剔除數據頻譜的噪聲(高頻段)和保留本質信息(低頻段)，提高預測精度。

(20)

C=(FTF)-1FTe1

(21)

式中：

F=

3 馬爾科夫二次殘差模型

IGM(1,1)雖然克服了傳統GM(1,1)建模的缺陷，能夠利用少量樣本數據進行高精度的預測，但該模型應用仍有存在對于隨機波動性強的沉降監測數據，擬合—預測的中長期預測會有較大偏差的局限性。Markov模型能通過樣本序列的波動范圍預測出研究變量的預測范圍[15]。應用Markov對一次殘差進行修正，使其既能反映狀態的隨機過程，又能有效預測出路基未來一次的沉降范圍。

設隨機系統W在時刻t的狀態為in，系統在t+1時刻的狀態只與t時刻狀態有關，即：

p{Wn+1=in+1|W0=i0,W1=i1,…,Wn=in}=p{Wn+1=in+1|Wn=in}

(22)

(23)

描述系統m步狀態轉移概率矩陣(transition probability matrix)為式(24)：

(24)

PT(s)=PT(0)Ps(?)

(25)

因此，已知系統初始分布和轉移概率矩陣，即可對下一期的系統分布進行預測：

M(k+1)=φ1υ1+φ2υ2+…+φnυn

(26)

4 IGM(1,1)-FM組合預測模型

高速鐵路路基沉降預測評估中，諸多單項模型應用條件苛刻，建模過程中只能考慮單一沉降因素，直接應用不能準確反映路基全生命周期內的沉降變形規律。如雙曲線法僅適用于恒載以后的數據，預測結果偏保守；三點法的起始點選取滿足等時距，且要求原始數據隨時間變化收斂等條件[17]。高速鐵路路基工程結構特性不同、地質情況復雜、總體變形量級小，通過單一模型的組合，分散單個預測模型特有的不確定性，取長補短，提高預測整體精度和穩健性，使之有效反映變化規律。

4.1 殘差修正型串聯式組合模型

模型組合方法從結構上可分為串聯、并聯、嵌入和混合式[18]。串聯式組合預測模型認為，沉降變形數據符合變形趨勢項、變形周期項和變形隨機項疊加的規律[19]，即

xt=Qt+Zt+St

(27)

式中：Qt為變形趨勢項，代表數據的發展趨向，有一定的延續性和連貫性；Zt為變形周期項，代表數據的規律性波動；St為變形隨機項，是因隨機噪聲引起的數據變動。

高速鐵路路基沉降量級小，若數據分解不合理會終導致殘差量級過小甚至小于測量誤差，反映不出路基沉降規律。筆者研究高速鐵路路基沉降變形數據的合理化分解，選取適當模型對數據進行預測，提取趨勢項保留隨機項，則周期變化存在于其殘差序列中。建立一種殘差修正型串聯式組合模型在理論上具有可行性，模型流程如圖2。

模型建立具體步驟如下：

筆者將上述構造的組合預測模型定義為IGM(1,1)-FM殘差模型。

4.2 模型效果評價

為了反映筆者建立的組合預測模型效果，筆者擬采用平均絕對百分比誤差(mean absolute percentage error，MAPE)和《規程》中相關系數η來評價指標進行檢驗：

(28)

(29)

5 工程實例

某高速鐵路路基DK0511+610斷面沉降板0551610L采用天寶DiNi03電子水準儀按二等水準測量方法進行水準測量，實測數據共126 d，對應的荷載-時間-沉降(P-T-S)曲線如圖3，其中負值表示下沉。

5.1 沉降數據補插

圖3中，第8、14、21、70、82、84 d經過“接管”處理，傳統的方法是將當天沉降量“歸零”。擬合起點為第84 d(填筑完成日期)，故當期沉降量至關重要，不能直接“歸零”，筆者采用線性插值法實現數據補插。第8、14、21、70、82、84 d線性補插之后單次沉降量為0.63、0.60、0.57、0.35、0.30、0.269 mm，重新計算得累計沉降量如表3。

表3 某高鐵路基0551610L1累計沉降量

5.2 IGM(1,1)-FM組合預測

進行兩步預測，具體思路為：首先，選取前39天路基沉降觀測數據x0={x0(1),x0(2),…,x0(39)}作擬合建模，使用IGM(1,1)-FM模型預測第40 d沉降量；接著將預測的第40 d沉降量置入模型中，剔除第1d數據，得到新的序列x0={x0(2),x0(3),…,x0(40)}，對第41 d沉降量進行預測。依次剔除更新，最終完成第41 d預測。以下為預測第40 d沉降量過程：

IGM(1,1)模型驗后差比值θ=0.346 9，小概率誤差Ω=1.00，模型精度等級為一級；發展系數-α<0.3，適合于中長期預測。

上述區間已包含整個殘差范圍，根據Markov原理首先對一步狀態轉移個數進行統計，如表4。

表4 一步狀態轉移個數統計

表5 狀態轉移表

5.3 預測效果評價

將第40 d的IGM(1,1)模型和IGM(1,1)-FM擬合值和預測值如表6按照3.2求得δMAPE和相關系數η，進行效果評價。

表6 模型擬合40 d預測值

將預測的最后兩期模型精度列于表7。

表7 模型精度對比

δMAPE值能反映預測值的精度，δMAPE<10為精度極佳。由此可分析，IGM(1,1)-FM模型優化精度得到進一步提高。相關系數R能反映預測趨勢的一致性，根據《規范》“曲線回歸相關系數不應低于0.92”[1]的要求，IGM(1,1)-FM模型的R值更高，說明預測和實測相關性滿足規范要求，且一致性更高。

6 結 論

1)針對“斷高”數據筆者考慮利用斷高數據相鄰期實測沉降量建立插值函數來補全斷高當期數據，避免了沉降監測數據的浪費和重要監測信息的缺失。

2)GM(1,1)模型建模過程中尚存諸多缺陷，筆者構建了基于齊次指數函數的背景值優化和初值修正的非等時距IGM(1,1)模型(improved grey model)，運用“剔就添新”的新陳代謝思想預測高速鐵路路基沉降第40、41 d數據。

3)對于隨機波動性強的高速鐵路路基沉降監測數據，IGM(1,1)模型呈單一指數型變化，擬合—預測的中長期預測效果會有較大偏差。筆者基于高速鐵路路基沉降變形數據的合理化分解，利用傅里葉級數和Markov狀態轉移矩陣對一次殘差進行二次組合預測，更好地擬合高速鐵路路基沉降監測數據的變化趨勢。