探討高考解析幾何的數學思想方法

吳 慧 吳龍澤

(1.集美大學理學院 福建 廈門 361021) (2.廣東省饒平縣錢東中學 廣東 潮州 515726) (3.華南師范大學 數學科學學院 廣東 廣州 510631)

普高課程標準指出，一方面，根據題意，合理建立直角坐標系，掌握圓錐曲線標準方程和幾何性質等基礎知識。另一方面，代數和幾何能互相轉化，能夠運用多種數學思想方法解決問題。平面解析幾何是高考的寵兒，每年必考。只有知己知彼，才能戰無不勝。只有掌握其考點以及如何考，才能有目的性的學習，爭取做到知根知底、事半功倍。將2010-2019年全國卷Ⅰ(文科)解析幾何考題進行分析和整理。

近10年，高考的文科和理科都是考查3道題。客觀題2道10分，解答題1道12分，共22分。就考查對象而言，直線與方程第Ⅰ卷考查4次，第Ⅱ卷是14次；圓與方程第Ⅰ卷考查0次，第Ⅱ卷是10次；橢圓與方程第Ⅰ卷考查7次，第Ⅱ卷是4次；雙曲線與方程第Ⅰ卷考查5次，第Ⅱ卷是2次，都出現在填空題；拋物線與方程第Ⅰ卷考查7次，第Ⅱ卷是6次，都出現在解答題[1]。考題分布比較平衡。

就考查的知識點而言，標準方程在2010-2018年都考查1次，2019年考查2次。幾何性質在2012、2015年都考查3次，2011、2013、2014、2017和2019年都考查2次，其他年份為1次。直線與圓錐曲線在2011年考查3次，2010、2016、2018和2019年都考查2次，其他年份為1次。一般情況，客觀題考查比較獨立，以幾何性質及基本量的運算為主，計算量不大，屬于得分題。但是如果客觀題以壓軸題呈現，難度大幅度增加，屬于失分題。近10年，解答題有8次在第20題，2013和2019年則是出現在第21題。它分2小題設問，第一問一般比較簡單，易得分，主要考查定義和幾何性質，第二問則與三角函數、平面向量等知識相結合，綜合考查學生能力，屬于中等題或者難題。

解析幾何在高考中有著舉足輕重的地位，其體現的數學思想方法是多種多樣的。以下對試題中所蘊涵的幾種主要數學思想方法給予具體說明。

1.數形結合思想方法

數形結合的內涵是通過“以形助數”或“以數解形”，使繁雜問題簡單化，抽象問題直觀化[2]。

例1(2019全國卷Ⅰ)已知點A，B關于坐標原點O對稱，|AB|=4，⊙M過點A，B且直線x+2=0相切.(Ⅱ)是否存在定點P，使得當A運動時，|MA|-|MP|為定值？并說明理由[3].

【解題思路】本題的考點是定點定值問題。⊙M與x+2=0相切時，可設圓心M(x,y)，半徑r=│x+2│，即是“以形助數”。接著，借助垂徑定理尋找點M的軌跡方程，得到是y2=4x，然后運用拋物線的幾何定義得到定點，即是“以數解形”。

例2(2019全國卷Ⅰ)已知橢圓C的焦點為F1(-1，0)，F2(1,0),過F2的直線與C交于A，B兩點，若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|，則C的方程為( )[3]

【解題思路】本題的難點在于確定點A的位置，破解此難點是過好兩關，一是借形關，即會畫圖、思圖和用圖，通過橢圓的定義先確定A點位置；二是運算關，可由相似三角形或余弦定理求出答案。

2.化歸思想方法

化歸是轉化與歸結的簡稱，化歸思想方法的實質是“轉化”，抽象問題轉化為直觀問題，繁雜問題轉化為簡單問題，從本質來講，就是由難化易，由繁化簡的過程[3]。

【解題思路】解答此題的關鍵是“轉化”橋梁，即把要求的直線方程，轉化為只求其在y軸的截距，通過已知條件即得結果。

例4(2018全國卷Ⅰ)設拋物線Cy2=2x,點A(2，0)，B(-2，0)，求點A的直線l與C交于M，N兩點.(Ⅱ)證明：∠ABM=∠ABN[3].

【解題思路】本題的難點是如何把∠ABM=∠ABN進行等價轉換。破解此題的關鍵是“轉化”，即把角的關系轉化成直線斜率的關系。利用題意條件，聯立方程組，列出直線BM和直線BN的斜率，設而不求，從而得到傾斜角的關系。

3.函數與方程思想方法

函數與方程思想方法的實質是：把實際問題轉化成數學模型，列出其數學關系，運用函數或方程，轉化為對函數或者方程(組)求解，從而解決問題。

【解題思路】破解此題的關鍵，一是“對稱”入手，由題意的對稱得到點N坐標，然后求得直線ON方程。二是“方程”思想，構建直線ON和拋物線C的方程組，解出方程的根，得H的坐標，接著計算出第I問比值。而第II問是利用直線MH和拋物線C的函數解析式組成方程組，通過根的個數來判斷交點問題，得出是否還有其他公共點。

【解題思路】將直線方程l代入圓C的方程，化簡成為一元二次方程，利用韋達定理及向量數量積構造關于K的方程，求出K，進而得到直線方程l的解析式，最后求得MN長度。

4.分類討論思想方法

分類討論思想方法的內涵是：在求解過程中，對某參數無法進行統一研究，可以把參數按照某種標準進行分類，然后整理計算每類情況，最后總結歸納，得出結論[4]。

【解題思路】破解此題的關鍵是對參數m的分類討論，根據焦點在x軸或者y軸把m分為03兩類情況。分類的關鍵是按同一標準等價分類，不重復不遺漏，接著對分類后的各個類別詳細討論，再綜合所有分類，得出結論。

例8(2013全國卷Ⅰ)已知圓M：(x+1)2+y2=1,圓N：(x-1)2+y2=9,動圓P與圓M外切并且與圓N內切，圓心P的軌跡為曲線C.(Ⅰ)求C的方程；(Ⅱ)l是與圓P，圓M都相切的一條直線，l與曲線C交于A，B兩點，當圓P的半徑最長時，求|AB|[3].

【解題思路】在第Ⅰ問中，⊙M和⊙N的圓心關于原點對稱，曲線C有可能是橢圓或者雙曲線，可以分情況討論，找矛盾，得出答案。第Ⅱ問關鍵是求出⊙P的方程，然后根據直線l與兩圓都相切，求出直線方程。在求直線的過程注意直線斜率分情況討論，存在與不存在問題，最后結合橢圓方程，求出AB長度。

除了以上的4種平面解析幾何常用的數學思想方法，考題中還包括了類比、特殊到一般等思想方法。數學思想方法學習并不是一朝一夕的事，而是需要在整個教學過程中逐漸積累。由此，提出以下幾點教學建議。

首先，教師在教學時要因材施教。對不同層次的學生要采用不同的方法，不能“一刀切”。后進生在鞏固基礎知識的同時滲透數學思想方法，中等生要教會他們能簡單運用數學思想方法，優等生要能靈活運用數學思想方法解答試題。例如在選修1-1的2.3.2拋物線幾何性質的例5，對于后進生可以滲透函數與方程思想進行講解，對于中等生可以多加講解分類討論思想方法，對于優等生不僅要求會掌握運用以上的思想方法，而且可以再進行拓展，提高難度。又如在選修1-1的2.2.2雙曲線幾何性質，講解例5時，后進生可講授數形結合思想。而中等生可用類比思想比較第41頁的例6，得出其第二定義。對于優等生，可由例5和例6，從特殊到一般，總結圓錐曲線的軌跡問題。

接著，教師在教學時要堅持不懈。只有反復強調，學生才能每時每刻想著數學思想方法，用其指導解題。例如在選修1-1的2.2雙曲線，在新授其標準方程可以類比橢圓。類似的，在授課幾何性質時候也可以類比橢圓來展開。焦點在y軸上的性質可以類比焦點在x軸的性質。反復強調，學生不僅記得牢而且不易混淆，還有利于思想方法的運用。又如在必修2的第4章在講解點與圓、直線與圓、圓與圓的位置關系，從它們相似之處強調類比思想。運用代數法和幾何法證明它們之間的關系，反復強調數形結合的重要思想方法。

然后，教師在教學時要注意自然性。在教學過程中，要掌握好講解思想方法的時機，可以在概念講解中，也可以在例題后。注意有機結合，不可生硬照搬。例如在必修2的4.2.2圓與圓的位置關系這節課里，可以類比直線與圓的位置關系引入新課，自然而然引入類比方法。接著用圓心距與兩圓半徑的關系判斷位置，同時用兩圓的解析式構建方程組，由實數根判別式得到兩圓的關系。自然而然的講授數形結合的思想方法。又如在必修2的4.2.3直線與圓的方程的應用，在講解例4和例5后自然而然的引入“轉化”的思想，代數與幾何的轉化步驟。